山西省吕梁市交城县高三核心模拟下学期数学（理）（一）试题

2022届山西省吕梁市交城县高三核心模拟下学期数学（理）（一）试题一、单选题1．若复数（为虚数单位），则在复平面内，对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】求得，从而求得，进而求得结果.【详解】复数，故，对应点的坐标为，位于第二象限.故选：B.2．若全集为R，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合A，B，再根据补集交集的定义即可求出.【详解】因为，，所以．故选：C．3．（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的诱导公式和倍角公式，计算求解即可【详解】．故选：C4．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由指数函数与对数函数的单调性比较与的大小关系.【详解】，，，所以．故选：B5．执行如图所示的程序框图，则输出的（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根据程序框图得到求解.【详解】解：由程序框图知：，，，，故选：D6．“，使得成立”的充要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题可得等价于，求出最大值即可.【详解】，，等价于，又，当且仅当时等号成立，即，故．故选：A．7．已知点M，N分别在圆C：和直线l：上运动，若的最小值为7，则t的值为（

）A．36 B．37 C． D．或36【答案】D【分析】求出圆心到直线的距离即可得出.【详解】由题意知圆心，则C到l的距离，所以或36．故选：D．8．一个三棱锥的正视图如图①所示，则下列图形中可以是相应几何体的侧视图和俯视图的组合为（

）A．③④ B．③⑤ C．②④ D．②⑤【答案】A【分析】根据三视图的定义和性质，逐个判断即可【详解】由题意及正视图可知，三棱锥只能在如图所示的三棱柱中，且三棱锥的靠后的一个顶点必然被前面的面遮住，最下面的顶点一定在上，右边的顶点在上，左边靠前的顶点在上，故侧视图不可能为②④⑤．故侧视图为③，三棱锥只可以为如图所示的三棱锥，此时俯视图为④．故选：A9．已知函数，则下列结论不正确的是（

）A．的最小正周期为B．C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象D．当时，恰有两个解，则【答案】C【分析】利用辅助角公式化简，再由三角函数的图象与性质分析判断.【详解】，所以其最小正周期为，故A正确；，所以，故B正确；将函数的图象向左平移个单位长度后得到，故C错误；当时，，由正弦函数的图象可知，若满足恰有两个解，则，故D正确．故选：C．10．已知抛物线：的焦点为F，C的准线与对称轴交于点D，过D的直线l与C交于A，B两点，且，若FB为∠DFA的角平分线，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据抛物线的定义，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，，然后利用，得到，进而利用，化简，可求出的值【详解】：，则，所以．过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为，，则，因为FB为∠DFA的平分线，则，又，所以，所以，又，所以．故选：B11．伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由同时除以x，再利用展开式中的系数可求出.【详解】由，两边同时除以x，得，又展开式中的系数为，所以，所以．故选：A．12．将x，x，y，y，z，z填入2行3列的表格中，每格填一个字母，若随机变量X表示列字母相同的数量，则（

）（注：横为行，竖为列）A．X的可能取值有0，1，2，3 B．C． D．【答案】C【分析】分析X的取值可判断A；排列时可考虑先排第一列，然后简单分析可知第二列排法数，通过计算可得相应概率，可判断B；再由期望和方差公式计算后可判断CD.【详解】对于A，若2列字母相同，余下的一列字母一定相同，故X的取值不可能为2，故A错误；对于B，将x，x，y，y，z，z放入2行3列的表格中，先填x有种，再填y有种，最后填z有种，所以总填法有种.每列字母均不相同的填法有：第一行字母均不相同，有种，第一行有两个字母相同有种，所以，所以，故B错误；因为，，所以，，故C正确，D错误．故选：C．二、填空题13．已知向量，，若，则___________．【答案】【分析】由可知，，代入坐标求解即可.【详解】因为，所以，即，代入坐标得，解得，故答案为：.14．写出一个离心率为2且焦点在y轴上的双曲线的标准方程为___________．【答案】（答案不唯一，符合条件即可）【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得，即，双曲线的焦点在轴上，假设，求出双曲线的标准方程，即可得答案．【详解】设所求双曲线方程为，设为焦距，因为，所以，假设，可得，所以，所以，故双曲线方程可以为．故答案为：15．在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，边BC上的高为，则___________．【答案】【分析】由，利用余弦定理求得，再由，得到c，b的关系，然后由求解．【详解】解：因为，所以，又，所以，所以，所以，所以．故答案为：16．四棱锥的顶点都在球心为的球面上，且平面，面为矩形，，分别为，的中点，，，则下列说法正确的是___________．（填序号）①平面平面；②四棱锥的外接球的半径为；③平面截球所得截面的面积为．【答案】②③【分析】根据直线与直线必相交，可判断①；取的中点，证明为四棱锥的外接球的球心，再计算半径可判断②；利用等体积法求出球心到截面的距离，再根据勾股定理求出截面圆的半径可判断③.【详解】对于①，因为为的中点，，，所以直线与直线必相交，所以平面与平面必有交点；所以平面与平面不平行，故①不正确；对于②，因为平面，所以，，，因为，，所以平面，所以，因为，，所以平面，所以，取的中点，在直角三角形中，有，在直角三角形中，有，在直角三角形中，有，所以为四棱锥的外接球的球心，因为，，所以，所以，所以，即四棱锥的外接球的半径为，故②正确；对于③，设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，因为，分别为，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，又在上，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，等于点到平面的距离，因为，，，所以，所以，所以，，点到平面的距离为，由得，得，得，所以截面圆的半径，所以截面圆的面积为，故③正确，故答案为：②③．三、解答题17．某公司生产医用外科口罩，由于国内疫情得到了较好地控制，口罩的销量有所下降，因此该公司逐步调整了口罩的产量，下表是2021年5～11月份该公司口罩产量（单位：万箱）：月份x567891011产量y（万箱）3由散点图可知产量y（万箱）与月份x具有线性相关关系．(1)求线性回归方程，并预测12月份的产量；(2)某单位从该公司共购买了6箱口罩（其中有4箱5月份生产，2箱为6月份生产），随机分发给单位研发部门和销售部门使用，其中研发部门4箱，销售部门2箱，使用中发现5月份生产的口罩不符合质量要求，单位要求该公司给予更换，求分发给销售部门的2箱口罩中至多有1箱需要更换的概率．附：，；参考数据：，，．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据最小二乘法直接求解即可得出；（2）求出从6箱中抽取2箱的基本事件数，再求出至多有1箱为5月份生产的事件数即可求出.【详解】(1)，，所以，，所以．所以当时，故预测12月份的产量为1.07万箱．(2)从6箱中抽取2箱共有种，即基本事件总数为15，至多有1箱为5月份生产的事件数为，故所求概率．18．如图，在中，，，，M，N分别为AB、BC的中点，将沿MN向上折起到点P处，使得．(1)求证：平面平面ACNM；(2)求二面角M-PC-A的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据面面垂直的判定定理证明；(2)建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用法向量的夹角与二面角的平面角的关系求解.【详解】(1)在中，M，N分别为AB、BC的中点，则，所以折叠后有，．因为，所以．又，所以．又，所以，即．平面，，所以平面，又平面，所以平面平面ACNM．(2)由（1）知MA，MN，MP两两垂直，分别以MA，MN，MP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，，所以，，．设平面PAC的一个法向量，则，即，解得，令，得，所以．设平面PCM的一个法向量，则，即，解得，令，得，所以．所以，由图知二面角M-PC-A为锐二面角，所以二面角M-PC-A的余弦值为．19．在①；②，；③这三个条件中任选一个，补充到下面横线处，并作答．已知正项数列的前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，记表示x除以3的余数，求．注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分．【答案】(1)(2)【分析】（1）选条件①时，利用，可求出数列的通项公式；选条件②时，化简可得为常数列，进而求出数列的通项公式；选条件③时，利用，可求出数列的通项公式；（2）依题意可知，所以，再利用二项式定理解决整除和余数问题.【详解】(1)选条件①时，当时，，解得，所以．当时，，，两式相减得，即，，当时满足上式，所以．所以当时，，又，所以．选条件②时，因为，当时，，当时，，两式相减，得，所以，又，所以，所以数列为常数列，又，所以，所以．选条件③时，当时，，因为，所以．由，当时，，两式相减，得，整理得，所以．因为，所以，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以．(2)由题知，所以，又，而所以．20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，为C上一点，过点且与y轴不垂直的直线l与C交于A，B两点．(1)求C的方程；(2)在平面内是否存在定点Q，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）由题意可得，解方程组即可求出结果；（2）设l的方程为，与椭圆的方程联立，结合韦达定理表示出，然后根据题意可得，，，进而可求出结果.【详解】(1)设C的半焦距为，由题意得，解得，所以C的方程为．(2)假设存在定点，使得为定值，设，．由（1）知，因为l不垂直于y轴，故设l的方程为，联立，得，消去x并化简，得．则，且，，，，所以．所以，所以，，，所以，，．所以存在，使得为定值．【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．已知函数．(1)若，求证：；(2)若对任意正数x恒成立，求a的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）求导，由，得到在上单调递增，且证明；（2）由（1）知时，不成立；将，转化为时，，时，恒成立求解．【详解】(1)证明：因为，所以．当时，在上单调递增，且，当时，；当时，，所以在上单调递减；所以在上单调递增．因此．(2)当时，由（1）知不合题意，因为，所以当时，，当时，．当时，，令，则，显然在上单调递减．又因为，综合，所以，所以，，解得．所以存在唯一实数，使得，即，所以．因为在上单调递减，所以在上，；在上，，所以在上，（即）单调递增，在上（即）单调递减．又因为，若，在上，，在上，，所以在上，单调递增，，所以在上，，不合题意；若，在上，，所以在上单调递增，又，所以在上，，与题意不符；若时，在上，，在上，，所以在上，单调递减，在上，单调递减，又，所以在上，，在上，，符合题意．所以，所以．【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；；22．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)若点，曲线与曲线的交点为A，B两点，求的值．【答案】(1)；；(2).【分析】（1）根据同角的三角函数关系式把曲线化成普通方程，根据直角坐标方程与极坐标方程互化公式求出曲线的直角坐标方程即可；（2）根据参数的几何意义进行求解即可.【详解】(1)由，消去参数得，所以曲线的普通方程为．因为，所以．所以曲线的直角坐标方程为．(