安徽省蚌埠二中高三下学期第四次教学质量（蚌埠四模）检查数学（文）试题

2022届安徽省蚌埠二中高三下学期第四次教学质量（蚌埠四模）检查数学（文）试题一、单选题1．若全集U和集合A，B的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题设韦恩图判断阴影部分与集合A、B的关系，直接写出集合表达式即可.【详解】由图知：阴影部分属于A，不属于B，故为.故选：A2．已知i为虚数单位，复数，则下列复数与z互为共扼复数的是（

）A． B．iz C． D．【答案】A【分析】结合共轭复数的概念，以及复数四则运算逐项分析即可求出结果.【详解】因为的共轭复数为，而，，，，故选：A.3．“”是“直线与直线垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】先根据直线垂直满足的关系是求出“直线与直线垂直”的充要条件，再分析即可【详解】若直线与直线垂直，则，即，故“”是“直线与直线垂直”的充要条件故选：C.4．已知点P是的重心，则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据重心性质和平面向量基本定理判断．【详解】如图，是边中点，则共线且，，所以，D正确，由于选项ABC均不能保证系数相等，故不正确．故选：D．5．若一几何体的三视图如图所示（单位网格），则该几何体的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定三视图，作出几何体，再借助几何体的结构特征计算作答.【详解】依题意，给定三视图所对几何体是底面半径为3，高为4，母线长为5的圆锥，如图，该几何体的表面积为：.故选：B6．已知点O是原点，点F是双曲线C：的右焦点，过双曲线C的右顶点且垂直于x轴的直线与双曲线C的一条渐近线相交于点A，若，则双曲线C的渐近线为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，求得，即可求得，从而写出渐近线方程.【详解】由已知，点的坐标为，故，因为，所以为等边三角形，所以，则，所以双曲线C的渐近线方程为.故选：7．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点不在一条直线上的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点不共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从5个点中任取3个有：,,共种不同取法，3点共线只有与共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点不共线的概率为.故选：D.8．已知，，.则a，b，c的大小顺序为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合对数函数的知识确定正确答案.【详解】因为，所以，又，，所以.故选：D9．若数列满足，，则（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】找到数列的周期，由此求得.【详解】因为，，所以，，，，，…由此可知，数列是周期为4的周期数列，所以.故选：B10．从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据图象可由原点到直线的距离为定值判断即可【详解】由图可知，原点到直线的距离为定值，四个选项中仅有到原点的距离为定值.故选：C11．若幂函数满足，则下列关于函数的判断正确的是（

）A．是周期函数 B．是单调函数C．关于点对称 D．关于原点对称【答案】C【分析】由题意得，利用导数求出方程的根，进而可求出结果.【详解】由题意得，即，故，令，则，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以，因此方程有唯一解，解为，因此，所以不是周期函数，不是单调函数，关于点对称，故选：C.12．阻尼器是一种以提供运动的阻力，耗减运动能量，从而达到减振效果的专业工程装置.如图，是被称为“镇楼神器”的我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移S（cm）与时间t（s）的函数关系式为，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则下列为的单调区间的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据，，得到周期和是函数的一条对称轴方程，进而求得函数的解析式，然后求得其单调区间判断.【详解】解：因为且，，所以，，由，得是函数的一条对称轴方程，则，即，取，所以，林，解得，故其单调增区间是，则减区间是，故选：A二、填空题13．已知，若在点处的切线方程为，___________【答案】【分析】先求出的值，再求出切点坐标，代入切线方程即可.【详解】根据题意得，，所以，解得，所以，所以，将点代入，解得.故答案为：.14．已知实数，满足，则目标函数取得最小值时，的取值范围是________．【答案】【分析】由约束条件画出可行域，可知目标直线在轴的纵截距最小时，取得最小值，当目标直线与直线重合时，取得最小值时，即可得出的取值范围.【详解】解：由于实数，满足，画出可行域如图所示，其中目标函数，即，当目标直线在轴的纵截距最小时，取得最小值，由图可知，目标直线与直线平行，所以当目标直线与直线重合时，取得最小值时，则的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查简单线性规划中目标函数的最值问题，关键是画出可行域，利用目标函数的几何意义进行求值，考查数形结合思想.15．抛物线C：的焦点为F，准线为l，过抛物线C上一点A作l的垂线，垂足为B，设点，AF与BP相交于点E，若，且的面积为，则___________.【答案】3【分析】根据已知条件及抛物线的定义，再利用三角形相似对应边成比例，进而得出三角形面积的关系，结合三角形的面积公式即可求解.【详解】由题意可知，如图所示,，根据抛物线线的定义，得，，解得，设，则，，解得.因为在抛物线上，所以，解得.轴,，，即.因为的面积为，所以，即，解得.所以的值为.故答案为：.16．已知凸四边形中，，，，若四边形的外接圆为圆，则所对的圆弧的长为___________.【答案】【分析】在和中，分别利用余弦定理可构造出方程组求得，进而确定，根据可确定圆弧所对圆心角大小，又半径，由扇形弧长求法可求得结果.【详解】在中，由余弦定理得：；在中，由余弦定理得：；四点共圆，，，，解得：，，，，圆弧所对的圆心角为，又的外接圆半径，的长为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理知识的综合应用；解题关键是能够在不同三角形中利用余弦定理构造出方程组，从而确定角度和长度大小.三、解答题17．已知等差数列中，，，且(1)求数列的通项公式及前20项和；(2)若，记数列的前n项和为，求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）结合，求得等差数列的通项公式，即可得的通项公式，利用分组求和的方法，根据等差数列和等比数列的前项和公式求解即可；（2）由（1）可知，利用错位相减法求解即可.【详解】(1)设等差数列的公差为d，则，所以，从而..(2)∵，∴，，相减得，，所以，即.18．为了研究黏虫孵化的平均温度（单位：）与孵化天数之间的关系，某课外兴趣小组通过试验得到以下6组数据：他们分别用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：经过计算，，，.（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立关于的线性回归方程.（精确到）.参考公式：线性回归方程中，，.【答案】（1）应该选择模型①；（2）【详解】分析：（1）根据残差图分析，得出模型①残差波动小，故模型①拟合效果好；（2）剔除异常数据，利用平均数公式计算剩下数据的平均数，可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得回归方程.详解：（1）应该选择模型①（2）剔除异常数据，即组号为4的数据，剩下数据的平均数；，，，.所以关于的线性回归方程为.点睛：本题主要考残差图的应用和线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19．已知三棱柱中，，，平面ABC，，E为AB中点，D为上一点.(1)求证：；(2)当D为的中点时，求三棱锥与四棱锥的体积之比.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一及线面垂直的性质定理，再结合线面垂直的判定定理即可证明；（2）根据中点得出高的关系，进而得出体积的关系，再利用等体积法及棱锥体积公式即可求解.【详解】(1)因为，E为AB的中点，所以，又平面ABC，平面ABC，则，而，平面，平面，所以平面，而平面，故.(2)因为棱柱三棱柱，，平面ABC所以平面ABC，因为E为AB中点，所以，因为，所以，又平面ABC，平面ABC，则，而,所以平面.因为棱柱三棱柱，，所以平面.又因为D为中点，所以，故.20．已知椭圆C：的右焦点为F，过F作不平行于坐标轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点，AM垂直x轴于点M，BN垂直x轴于点N，直线AN与BM相交于点P.(1)当直线l的斜率为1时，求；(2)求证：动点P的横坐标为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆方程求出焦点坐标，再由直线的斜率写出直线解析式，联立直线和椭圆的方程，根据弦长公式即可求出AB的长度；（2）根据焦点坐标，假设直线方程为，联立直线方程消去，再由直线点斜式求出直线AN的方程和直线BM的方程，联立化简即可求出答案。【详解】(1)由点，直线AB斜率为1，方程为，联立得，设，，，，∴.(2)由点，设直线AB的方程为，联立得，易知，设，，则，，由条件知，，，则直线AN的方程为，直线BM的方程为，联立解得（定值），所以点P的横坐标为定值3.21．已知函数，.(1)判断函数的单调性；(2)当时，判断函数的零点个数.【答案】(1)在上是增函数(2)两个【分析】（1）求出函数的导函数，再求二阶导数，即可得到导函数的单调性，再由，从而得到原函数的单调性；（2）首先可得是方程的一根，求出的导数与二阶导数，令令，，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可；【详解】(1)解：，，，，∵，，∴，∴在上是增函数，且，∴，∴在上是增函数.(2)解：令，，由，知是方程的一根，由，知不是方程的根，又，，令，，①当时，，∴在上为增函数，，，∴存在唯一一个实数，使.②当时，，，.由①②知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∵，，∴存在唯一实数，使，∴当时，，单调递减，当时，，单调递增，∵，，∴存在唯一实数，使，即在区间有唯一零点，所以函数在上有两个零点.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），曲线C与直线相交于M，N两点.(1)求的面积；(2)以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求外接圆的极坐标方程.【答案】(1)(2)【分析】(1)联立方程组求出的直角坐标，由此求解的面积；(2)由(1)求出的外接圆的直角坐标方程，再将其转化为极坐标方程即可.【详解】(1)令，得，即或，将，分别代入，得或，∴点，点.∴∴，即为直角三角形，∵，∴.(2)由（1）可知外接圆的圆心为的中点，∴外接圆的圆心坐标为，半径为3.∴圆的直角坐标方程为，即，由，，代入得，即，∴外接圆的极坐标方程为.23