北京市第十二中学高三下学期第三次模拟练习数学试题-1

北京市第十二中学2022届高三下学期第三次模拟练习数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数z满足，则z的虚部为（

）A． B． C． D．73．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（

）A． B． C． D．4．在等差数列中，若，则（

）A． B． C． D．5．已知直线l过圆的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（

）A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝06．将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（

）A． B． C． D．7．已知点在抛物线上，若以点P为圆心的圆与C的准线相切，且与x轴相交的弦长为6，则点P到y轴的距离为（

）A．4 B． C．5 D．8．设，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件9．若函数的值域为R，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．10．如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题11．二项式的展开式中，常数项为__________．12．己知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为___________.13．已知等比数列满足，且其前n项和，则数列的通项公式可以是___________.（写出一个符合条件的即可）14．为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.15．在棱长为1的正方体中，点P是对角线的动点（点P与不重合），则下列结论正确的有___________.①存在点P，使得平面平面；②存在点P，使得平面；③分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意的点P都有；④对任意的点P，的面积都不等于.三、解答题16．的内角、、的对边分别为、、，已知.(1)求角的大小；(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积.条件①：；条件②：；条件③：；条件④：.17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，平面平面.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离.18．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户.注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.(1)记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）；(2)从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A组的客户的概率；(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.19．已知椭圆过点，离心率为.(1)求椭圆M的方程；(2)已知直线在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两个不同的点，直线AB，AC分别与y轴交于点P､Q，O为坐标原点，求的值.20．已知函数.(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.21．给定正整数m，数列，且.对数列A进行T操作，得到数列.(1)若，，，，求数列；(2)若m为偶数，，且，求数列各项和的最大值；(3)若m为奇数，探索“数列为常数列”的充要条件，并给出证明.参考答案：1．C【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法,求出集合B,根据集合的并集运算求得答案.【详解】,故,故选:C2．B【解析】【分析】先化简复数z，再利用复数的相关概念求解.【详解】解：因为复数z满足，所以，所以z的虚部为-1，故选：B3．B【解析】【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性、在上的单调性即可判断作答.【详解】对于A，函数定义域是，不是偶函数，A不是；对于B，函数定义域为R，是偶函数且在上单调递增，B是；对于C，函数定义域为R，是偶函数且在上单调递减，C不是；对于D，函数定义域为R，是偶函数且在上单调递减，D不是.故选：B4．C【解析】根据，利用“”法求解.【详解】在等数列中，，所以，解得，所以，故选：C5．D【解析】【分析】利用配方法求出圆心坐标，结合垂直直线之间斜率的关系进行求解即可.【详解】由，所以圆心坐标为，因为直线2x＋y－3＝0的斜率为，所以与直线2x＋y－3＝0垂直的直线l的斜率为，所以l的方程为：，故选：D6．B【解析】【分析】根据三角函数图象的平移变换可得到平移后的函数解析式，结合正弦函数的图象和性质可得，，由此求得的值．【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象，根据所得图象关于原点对称，可得，，,，故选：．7．A【解析】【分析】设，由条件结合直线与圆的位置关系结论列方程求其坐标值即可.【详解】设，设圆的半径为，因为点在抛物线上，所以，以点P为圆心的圆与C的准线相切，所以,圆与x轴相交的弦长为6，所以，所以，又，所以，故，,所以点P到y轴的距离为4，故选：A.8．A【解析】【分析】由，，可得，得，利用基本不等式即证，反之可以取值举反例.【详解】先证充分性成立，，，，，得，则，当且仅当时等号成立，所以“”是“”的充分条件；再证必要性不成立，由，，，即令，，得成立，但，所以“”是“”的不必要条件；综上，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.9．D【解析】【分析】由时，，由题意，当时，，对分和两种情况讨论即可求解.【详解】解：由时，，因为函数的值域为R，所以当时，，分两种情况讨论：①当时，，所以只需，解得，所以；②当时，，所以只需，显然成立，所以.综上，的取值范围是.故选：D.10．B【解析】【分析】分类分步排列即可.【详解】由题意1和7是不能漏掉的，所以由以下路线：（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6条，故选：B.11．【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式，即可得到答案；【详解】，当时，，常数项为，故答案为：.【点睛】本题考查二项式定理通项公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.12．【解析】【分析】根据离心率求得b求解.【详解】解：己知双曲线的离心率为，所以，解得，所以双曲线C的渐近线方程为，故答案为：13．（符合条件的一个即可）【解析】【分析】根据等比数列的性质和前n项和公式可得若，则、，举例即可.【详解】由题意知，设等比数列的公比为，由，得，若，则，由得，所以，则可满足上述条件.故答案为：.14．【解析】【分析】以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得的最小值.【详解】因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故，以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，设点，，，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.15．①②④【解析】【分析】当为直线与平面的交点时，根据面面平行的判定定理即可判断①正确；当为直线与平面的交点时，根据线面垂直的判定定理即可判断②；计算出的条件即可判断③；求出△的面积的最小值即可判断④.【详解】对于①，如图，因为，所以平面平面，当直线交平面于点时，有平面平面，故①正确；对于②，如图，设正方体的棱长为2，则，，则，有，，所以，，又平面，所以平面，当直线交平面于点时，有平面，故②正确；对于③，因为设（其中），则△在平面的正投影面积为，又△在平面上的正投影图形的面积与在平面的正投影图形面积相等，所以，若，则，解得或，因为，所以，故存在点，使得；故③错误；对于④，由于固定不变，只要找上的点到的距离最短即可，取中点，连接，由②的分析可证得平面，由平面得；又平面，平面，所以，所以为直线与的公垂线，此时△的面积最小；因为在正方体中，易知，又，所以，因此，；所以对任意点，△的面积都不等于,故④正确.故答案为：①②④16．(1)(2)答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）选①②，利用余弦定理可判断不唯一；选①③或②③或③④，利用三角形的内角和定理可判断唯一，利用正弦定理结合三角形的面积可判断的面积；选①④，直接判断唯一，再利用三角形的面积公式可求得的面积；选②④，利用余弦定理可判断唯一，再利用三角形的面积公式可求得的面积.(1)解：由及正弦定理可得，、，则，，，故.(2)解：若选①②，由余弦定理可得，即，解得，此时，不唯一；若选①③，已知，，，且，则，所以，，则唯一，，，由正弦定理可得，所以，；若选①④，已知，，，此时唯一，；若选②③，已知，，，且，则，所以，，则唯一，，，由正弦定理可得，所以，；若选②④，已知，，，由余弦定理可得，可得，，解得，此时，唯一，；若选③④，已知，，，且，则，所以，，则唯一，，，由正弦定理可得，.17．(1)证明见解析(2)(3)【解析】【分析】(1)根据面面垂直的性质即可证明平面；(2)建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面法向量和的坐标，根据数量积的定义计算即可；(3)直接利用空间向量法即可求出点到平面的距离.(1)四边形为正方形，则，平面平面，平面平面，平面；(2)如图，取的中点为，连接，在正中，，平面平面，平面平面，平面，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，不妨取，则，，，设面的一个法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角为，，，因此直线与平面所成角的正弦值为.(3)由(2)知，设点到平面的距离为，所以.18．(1)；(2)；(3)分布列答案见解析，.【解析】【分析】（1）由图可知组整体数值比组小；（2）利用古典概型及排列组合即可求出“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户的概率”；（3）依题意，可得该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年龄40岁以下的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为，在年龄40岁以上的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为；可知的所有可能值为，，，分别求出相应的概率，由此求出随机变量的分布列和数学期望.(1)；由图可知，“实际平均里程续航数”在附近或小于的组有个，组有个，且组这些数据整体大于组；“实际平均里程续航数”大于的组有个，组有个，且组数据也整体大于组，所以组的数据总和大于组数据总和，即A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值n小于组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值；(2)设“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户”为事件，则，所以从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户的概率是；(3)由题图，知组“驾驶达人”的人数为人，组“驾驶达人”的人数为人，则可估计该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年龄40岁以下的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为，在年龄40岁以上的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为；依题意，所有可能取值为，，.则，，，所以随机变量的分布列为012故数学期望为.19．(1)(2)【解析】【分析】（1）直接由点坐标及离心率求得椭圆方程即可；（2）联立直线与椭圆求得，再表示出直线AB，AC的方程，求得P､Q坐标，再计算即可.(1)由题意知：，则，，则椭圆M的方程为；(2)联立直线与椭圆，整理得，，即，又直线在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两点，则；设，则，，，易得直线AB，AC斜率必然存在，则，令，得，则，同理可得，且，则.20．(1)减区间为，增区间为.(2)【解析】【分析】（1）当时，求得，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；（2）求得，设，得到，求得的单调性，结合，根据题意，列出不等式组或，即可求解.(1)解：当时，函数，其定义域为，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)解：由，可得，设，则，令，即，解得，当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上，单调递减，且，显然，若在上存在极值，则满足或，解得，综上可得，当时，在上存在极值，所以实数的取值范围为.21．(1)(2)(3)，证明见解析【解析】【分析】（1）利用已知条件先求出，将，，，代入：，，，即可求解；（2）由，得到，进而有，