江苏省苏州市-九年级(上)月考数学试卷(10月份)-

第=page11页，共=sectionpages11页第=page22页，共=sectionpages22页九年级（上）月考数学试卷（10月份）题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A.x+1x2=0 B.3x2−2xy−5=0 C.(x−1)(x+2)=0 D.3x2−2xy−5=0下列方程中有实数根的是（）A.x2+x+2=0 B.x2−x−1=0 C.x2−x+2=0 D.x2−x+3=0如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A.35∘

B.45∘

C.55∘

D.65∘

已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为（）A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A.4

B.5

C.6

D.8

某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（）A.20% B.27% C.28% D.32%下列命题中，真命题的个数是（）

①经过三点一定可以作圆；

②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形．

③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；

④三角形的内心到三角形的三个顶点距离相等．A.4个 B.3个 C.2个 D.1个定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A.a=c B.a=b C.b=c D.a=b=c如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AB=3，则AD的值为（）

A.6 B.35 C.5 D.33如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是（）A.22

B.2+2

C.23

D.2+3

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）方程x2=x的两根分别为______．如果x2-2x-1的值为2，则3x2-6x的值为______．若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为______．已知m，n是方程x2+2x-5=0的两个实数根，则m2-mn+3m+n=______．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O在半圆上，点B在半圆上，边AB，AO分别交半圆于点C，D，点B，C，D对应的读数分别为160°、72°、50°，则∠A=______．

如图，圆⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（2，0），∠CAB=90°，AC=AB，顶点A在⊙O上运动，当直线AB与⊙O相切时，A点的坐标为______．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为______．

三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）解方程：

（1）（2x-3）2-x2=0

（2）3x2+5x+1=0．

已知关于x的一元二次方程（a+1）x2-x+a2-3a-3=0有一根是1．

（1）求a的值；

（2）求方程的另一根．

如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

四、解答题（本大题共7小题，共58.0分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．

如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．

（1）求证：∠E=∠D；

（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．

已知关于x的方程x2-2（k+1）x+k2+2k=0．

（1）求证：k取任何实数值，方程总有不相等的实数根；

（2）若等腰△ABC的周长为14，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求k的值．

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作射线CM且满足∠ACM=∠ABC．

（1）判断CM与⊙O的位置关系，并证明；

（2）延长BC到D，使BC=CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED=2，求△ACE的外接圆的半径．______．

某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低2元，其销量可增加10件．

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

（2）设后来该商品每件降价x元，若商场经营该商品一天要获利润4320元，则每件商品应降价多少元？

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

（1）求证：∠DAC=∠DBA；

（2）求证：PD=PF；

（3）连接CD，若CD=3，BD=4，求⊙O的半径和DE的长．

如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以3cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．

（1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；

（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点？（请直接写出答案）

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A、x+=0，是分式方程，故此选项错误；

B、3x2-2xy-5=0，是二元二次方程，故此选项错误；

C、（x-1）（x+2）=0，是一元二次方程，故此选项正确；

D、3x2-2xy-5=0，是二元二次方程，故此选项错误；

故选：C．

直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．

此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．2.【答案】B

【解析】解：A、∵△=12-4×1×2=-7＜0，∴方程没有实数根，故本选项错误；

B、∵△=（-1）2-4×1×（-1）=5＞0，∴方程有实数根，故本选项正确；

C、∵△=（-1）2-4×1×2=-7＜0，∴方程没有实数根，故本选项错误；

D、∵△=（-1）2-4×1×3=-11＜0，∴方程没有实数根，故本选项错误；

故选：B．

根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系，分别对每一项进行分析即可得出答案．

此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．3.【答案】C

【解析】解：∵AB是△ABC外接圆的直径，

∴∠C=90°，

∵∠A=35°，

∴∠B=90°-∠A=55°．

故选：C．

由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，又由∠A=35°，即可求得∠B的度数．

此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r.由直线和圆的位置关系：r＞d，可知：直线和圆相交．

【解答】

解：半径r=5，圆心到直线的距离d=3，

∵5＞3，即r＞d，

∴直线和圆相交.

故选C.

5.【答案】C

【解析】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，

∴BC=AC=AB=×16=8，

在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC===6，

故选：C．

根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可．

本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是求出BC的长．6.【答案】A

【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，

则可以得到关系式：150×（1-x）2=96

x=0.2或1.8

x=1.8不符合题意，舍去，

故x=0.2

答：平均每次降价的百分率是20%．

故选：A．

如果价格每次降价的百分率为x，降一次后就是降到价格的（1-x）倍，连降两次就是降到原来的（1-x）2倍．则两次降价后的价格是150×（1-x）2，即可列方程求解．

本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“-”．7.【答案】D

【解析】解：①经过不在同一直线上的三点一定可以作圆，故错误，是假命题；

②任意一个圆有无数个内接三角形，故错误，是假命题．

③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，正确，是真命题；

④三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故错误，是假命题，

故选：D．

利用确定圆的条件、三角形的外接圆与内切圆及三角形的内心的定义分别判断后即可确定正确的选项．

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、三角形的外接圆与内切圆及三角形的内心的定义等知识，难度不大．8.【答案】A

【解析】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，

∴△=b2-4ac=0，

又a+b+c=0，即b=-a-c，

代入b2-4ac=0得（-a-c）2-4ac=0，

即（a+c）2-4ac=a2+2ac+c2-4ac=a2-2ac+c2=（a-c）2=0，

∴a=c．

故选：A．

因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得（-a-c）2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系．

一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．9.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查的是圆周角定理，即同弧所对的圆周角相等．

先根据∠BAC=120°，AB=AC求出∠ACB的度数，再根据圆周角定理得出∠ADB的度数，由于BD是⊙O的直径，故∠BAD=90°，在Rt△ABD中，AB=3，利用锐角三角函数的定义即可求出AD的值．

【解答】解：∵∠BAC=120°，AB=AC，

∴∠ACB=30°，

∴∠ACB=∠ADB=30°，

∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD=90°，

∵AB=3，

∴AD===3．

故选D．

10.【答案】B

【解析】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．

∵PE⊥AB，AB=2，半径为2，

∴AE=AB=，PA=2，

根据勾股定理得：PE==1，

∵点A在直线y=x上，

∴∠AOC=45°，

∵∠DCO=90°，

∴∠ODC=45°，

∴△OCD是等腰直角三角形，

∴OC=CD=2，

∴∠PDE=∠ODC=45°，

∴∠DPE=∠PDE=45°，

∴DE=PE=1，

∴PD=．

∵⊙P的圆心是（2，a），

∴a=PD+DC=2+．

故选：B．

过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．

本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．11.【答案】x1=1，x2=0

【解析】解：方程变形得：x2-x=0，

分解因式得：x（x-1）=0，

可得x=0或x-1=0，

解得：x1=1，x2=0．

故答案为：x1=1，x2=0．

方程移项后分解因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12.【答案】9

【解析】解：∵x2-2x-1的值为2，

∴x2-2x-1=2，

∴x2-2x=3，

∴3x2-6x=3（x2-2x）=3×3=9．

故答案为：9．

将x2-2x看作一个整体并求出其值，然后代入代数式进行计算即可得解．

本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．13.【答案】k＞-1且k≠0

【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，

∴△=b2-4ac=（-2）2-4×k×（-1）=4+4k＞0，

∴k＞-1，

∵x的一元二次方程kx2-2x-1=0

∴k≠0，

∴k的取值范围是：k＞-1且k≠0．

故答案为：k＞-1且k≠0．

由关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞0且k≠0，则可求得k的取值范围．

此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．14.【答案】2

【解析】解：如图，⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F；

其中AC=8，BC=6；连接OD、OF；

则OD⊥BC，OF⊥AC；OD=OF；

∵∠C=90°，

∴四边形ODCF为正方形，

∴CD=CF=R（R为⊙O的半径）；

由勾股定理得：

AB2=AC2+BC2=36+64=100，

∴AB=10；由切线的性质定理的：

AF=AE，BD=BE；

∴CD+CF=AC+BC-AB=6+8-10=4，

∴R=2，

它的内切圆半径为2．

如图，作辅助线，首先证明四边形ODCF为正方形；求出AB的长度；证明AF=AE，BD=BE问题即可解决．

该题主要考查了三角形的内切圆的性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、解答．15.【答案】8

【解析】解：∵m、n是方程x2+2x-5=0的两个实数根，

∴mn=-5，m+n=-2，

∵m2+2m-5=0

∴m2=5-2m

m2-mn+3m+n=（5-2m）-（-5）+3m+n

=10+m+n

=10-2

=8

故答案为：8．

根据m+n=-=-2，m•n=-5，直接求出m、n即可解题．

此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．16.【答案】24°

【解析】解：如图，以EF为直径作半圆，延长BO交圆于M，连接OC，

∵点B，C，D对应的读数分别为160°、72°、50°，

∴∠BOA=160°-50°=110°，∠BOF=180°-160°=20°，∠COE=72°，

∴∠COM=72°+20°=92°，

∴∠B=∠COM=46°，

∴∠A=180°-∠B-∠AOB=180°-110°-46°=24°．

故答案为：24°．

以EF为直径作半圆，延长BO交圆于M，连接OC，根据已知度数求出∠BOA、∠BOF、∠AOB的度数，根据圆周角定理求出∠B，根据三角形内角和定理求出即可．

本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理的应用，能求出∠B的度数是解此题的关键．17.【答案】（12，32）或（12，-32）

【解析】解：①当点A位于第一象限时（如右图2）：

连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E，

∵直线AB与⊙O相切，

∴∠OAB=90°

又∵∠CAB=90°，

∴∠CAB+∠OAB=180°，

∴点O、A、C在同一条直线上，

∵OB=2OA，

∴∠ABO=30°，∠AOB=60°，

∴OE=OA=，AE=OE=，

点A的坐标为（，）；

②当点A位于第四象限时，根据对称性可知点A的坐标为（，-）．

综上所述，点A的坐标为（，）或（，-）；

相切时有两种情况，在第一象限或者第四象限，连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E，在Rt△OAE中求出OE，然后就能求出A点坐标．

此题考查了切线的性质与判定、直线与圆的位置关系、等腰直角三角形的性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．18.【答案】213

【解析】解：连结BE，设⊙O的半径为R，如图，

∵OD⊥AB，

∴AC=BC=AB=×8=4，

在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-2，

∵OC2+AC2=OA2，

∴（R-2）2+42=R2，解得R=5，

∴OC=5-2=3，

∴BE=2OC=6，

∵AE为直径，

∴∠ABE=90°，

在Rt△BCE中，CE===2．

故答案为：2．

连结BE，设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC=BC=AB=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-2，根据勾股定理得到（R-2）2+42=R2，解得R=5，则OC=3，由于OC为△ABE的中位线，则BE=2OC=6，再根据圆周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出CE．

本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理．19.【答案】解：（1）（2x-3-x）（2x-3+x）=0，

2x-3-x=0或2x-3+x=0，

所以x1=3，x2=1；

（2）△=25-4×3=13，

x=−5±132×3，

所以x1=−5+136，x2=−5−136．

【解析】

（1）利用因式分解法解方程；

（2）先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程．20.【答案】解：（1）将x=1代入方程（a+1）x2-x+a2-3a-3=0可得（a+1）-1+a2-3a-3=0，

解可得：a=-1，a=3；

a=-1时，原方程是一元一次方程，故舍去；

则a=3；

（2）由（1）得：a=3，

则原方程为4x2-x-3=0，

且其中有一根为1，设另一根是m，

则m•1=m=-34，

故m=-34．

【解析】

（1）将x=1代入方程（a+1）x2-x+a2-3a-3=0可得（a+1）-1+a2-3a-3=0，解得a的值；

（2）根据根与系数的关系，可得两根之积的值，再由其中一根为1，解可得方程的另一根．

主要考查了根与系数的关系．要掌握根与系数的关系式：x1+x2=-，x1x2=．把所求的代数式变形成x1+x2，x1x2的形式再整体代入是常用的方法之一．21.【答案】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100-4x）米．

根据题意得（100-4x）x=400，

解得x1=20，x2=5．

则100-4x=20或100-4x=80．

∵80＞25，

∴x2=5舍去．

即AB=20，BC=20．

答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．

【解析】

设AB的长度为x米，则BC的长度为（100-4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．

本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．22.【答案】（1）证明：连结OA，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∵DA平分∠BDE，

∴∠ODA=∠EDA，

∴∠OAD=∠EDA，

∴EC∥OA，

∵AE⊥CD，

∴OA⊥AE，

∵点A在⊙O上，

∴AE是⊙O的切线；

（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，

∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，

∴四边形AOFE是矩形，

∴OF=AE=4cm，

又∵OF⊥CD，

∴DF=12CD=3cm，

在Rt△ODF中，OD=OF2+DF2=5cm，

即⊙O的半径为5cm．

【解析】

（1）连接OA，因为点A在⊙O上，所以只要证明OA⊥AE即可；由同圆的半径相等得：OA=OD，则∠ODA=∠OAD，根据角平分线可知：∠OAD=∠EDA，所以EC∥OA，由此得OA⊥AE，则AE是⊙O的切线；

（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F，证明四边形AOFE是矩形，得OF=AE=4cm，由垂径定理得：DF=3，根据勾股定理求半径OD的长．

本题考查了切线的判定和性质，在判定一条直线为圆的切线时，分两种情况判定：①当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径即可，②当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，此题属于第二种情况：连接OA，是半径，证明垂直即可．23.【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

∵DC=CB

∴AD=AB，

∴∠B=∠D，

∵∠E=∠B，

∴∠D=∠E；

（2）解：设BC=x，则AC=x-2．

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

∴（x-2）2+x2=4，

解得：x1=1+7，x2=1-7（舍去），

∵∠B=∠E，∠B=∠D，

∴∠D=∠E，

∴CD=CE，

∵CD=CB

∴CE=CB=1+7．

【解析】

（1）由AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=AB，即可证得∠B=∠D，根据圆周角定理即可得到结论；

（2）首先设BC=x，则AC=x-2，根据勾股定理即可得（x-2）2+x2=4，继而求得BC的长，又可证得CE=CB=CD，继而求得答案．

此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．24.【答案】（1）证明：∵△=4（k+1）2-4k2-8k=4＞0，

∴k取任何实数值，方程总有不相等的实数根；

（2）不妨设b是腰，

由题意：b+c=2k+2，b=14-（b+c）=12-2k，c=2k+2-（12-2k）=4k-10，

∵bc=k2+2k，

∴（12-2k）（4k-10）=k2+2k，

∴k=4或103．

【解析】

（1）直接利用根的判别式结合完全平方式得出答案；

（2）直接利用周长结合根与系数的关系得出答案．

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：①当△＞0，方程有两个不相等的实数根；②当△=0，方程有两个相等的实数根；③当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系．25.【答案】6

【解析】（1）证明：如图，连接OC

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，

又∵∠ACM=∠ABC，∠OAC=∠OCA，

∴∠OCA+∠ACM=90°，

∴CM是⊙O的切线；

（2）解：∵BC=CD，

∴OC∥AD，

又∵OC⊥CE，

∴AD⊥CE，

∴△AEC是直角三角形，

∴△AEC的外接圆的直径是AC，

又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，

∴△ABC∽△CDE，

∴=，

⊙O的半径为3，

∴AB=6，

∴=，

∴BC2=12，

∴BC=2，

∴AC==2，

∴△AEC的外接圆的半径为．

故答案为：．

（1）利用圆周角定理结合等腰三角形的性质利用∠ACM=∠ABC求出答案；

（2）首先得出△AEC的外接圆的直径是AC，进而结合相似三角形的性质得出AC的长，进而得出答案．

此题主要考查了直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．26.【答案】解：（1）原来一天可获利润是：（200-160）×100=4000元；

（2）依题意得（200-160-x）（100+5x）=4320．

解得：x1=4，x2=16．

则每件商品应降价4元或16元．

【解析】

（1）根据总利润=单件利润×销量即可列式计算；

（2）分别表示出销量和单件的利润即可表示出总利润，从而列出方程求解．

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够表示出销量和单件的利润，难度不大．27.【答案】（1）证明：∵BD平分∠CBA，

∴∠CBD=∠DBA，

∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，

∴∠DAC=∠CBD，

∴∠DAC=∠DBA，

∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，

∴∠ADB=∠AED=90°，

∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，

∴∠ADE=∠DBA，

∴∠DAC=∠ADE，

∴∠DAC=∠DBA；

（2）证明：∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∵DE⊥AB于E，

∴∠DEB=90°，

∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC=90°，

又∵∠ADE=∠DAP，

∴∠PDF=∠PFD，

∴PD=PF；

（3）解：连接CD，

∵∠CBD=∠DBA，

∴CD=AD，

∵CD=3，∴AD=3，

∵∠ADB=90°，

∴AB=5，

故⊙O的半径为2.5，

∵DE×AB=AD×BD，

∴5DE=3×4，

∴DE=2.4．

即DE的长为2.4．

【解析】

（1）根据角平分线的性质得到∠CBD=∠DBA，根据圆周角定理得到∠DAC=∠CBD，∠ADB=∠AED=90°，等量代换即可得到结论；

（2）证明根据圆周角定理得到∠ADB=90°，由垂直的定义得到∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DA