《正弦定理(1)》示范课教案【高中数学】

正弦定理(1)教学目标教学目标1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系；2.掌握正弦定理及其证明方法，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题．教学重难点教学重难点重点：正弦定理的证明及其简单应用．难点：正弦定理的推导过程，用正弦定理解三角形时的多解问题．教学过程教学过程新课导入回顾：前面，我们定量的探究了三角形边和角的关系，得到了余弦定理，我们是用什么方法探究的？答案：用向量方法探究的．如图在△ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b则：BC=BA+即，a2这节课我们继续探索三角形的边角关系．设计意图：回忆用向量法推导余弦定理的过程，巩固所学知识，并为新课学习做准备．二、新知探究问题1：在△ABC中，我们通过对等式BC探究：在△ABC中，不妨设C为最大角，过点A作AD⊥BC于点D，AC与AD的夹角为α∵BC=∴BC即，0=BA追问：α与C的度数有什么关系？答案：当C为锐角时，α=90°−C当C为直角时，α=0°=90°−C当C为钝角时，α=C追问：根据α与C度数之间的关系，cosα该如何转化答案：当C为锐角或直角时，cosα当C为钝角时，cosα即，无论C为锐角、直角或钝角，都有cosα于是我们把cosα=sin−csin即bsin同理可得asin所以asin综上可得，在任意三角形中，三角形的各边与它所对角的正弦的比相等，这就是三角形中的正弦定理．即，asin问题2：你能用其他方法证明正弦定理吗？分析：根据△ABC的形状分类讨论．若△ABC为直角三角形，即∠根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinA=ac，sinB所以在直角三角形中，边角等式关系为asin追问1：刚才在直角三角形中已经证明了asinA=b答案：推导步骤如下：第一步：如图作任意锐角△ABC，过点A作CD⊥AB，则构造出两个直角三角形第二步：由图可得，在△ABC中，sin在△ADC中，sinC=ADb第三步：同理作AC边上的高，可以得出asin所以，在锐角三角形中，边角等式关系也为asin追问2：若三角形是钝角三角形，等式仍然成立吗？答案：推导步骤如下：第一步：如图，作任意钝角△ABC，∠C为钝角，过点B作AC的垂线，交AC的延长线于点第二步：由图可得，在△ADB中，sin在△CDB中，sin∠BCD=BDa又sinC=sin所以asin第三步：同理作BC边上的高，可以得出bsin所以，在钝角三角形中，边角等式关系同样满足asin说一说：对比以上两种证明正弦定理的方法，哪一种更好些，为什么呢？答案：使用向量法证明正弦定理不用分类讨论，证明过程相对简洁．问题3：正弦定理可以解哪些类型的三角形？答案：根据asinA（1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．追问1：已知两条边的边长和其中一边的对角的大小解三角形，它的解有几种情况？答案：已知a，b和∠A第一步：babababaa仅有一个解有两个解仅有一个解无解解ababababaa仅有一个解有两个解仅有一个解无解解a≥bCH=bsinA<a<ba=CH=bsinAa<CH=bsinAAACHACB1ABACB2CHHH第二步：当A为直角或钝角时，同理可得当a≤b时，无解；当综上可得：（1）若A为锐角时，a<（2）若A为直角或钝角时，a≤想一想：前面的3个问题推导出了什么结果？（1）正弦定理的探索和证明；（2）正弦定理在解三角形中的作用．总结：正弦定理：三角形中的各边与它所对角的正弦的比相等，即asin设计意图：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作.培养学生处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、三角形面积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．【概念巩固】思考:判断正误并说明理由？（1）正弦定理只适用于锐角三角形．（）（2）在某一确定的三角形中，各边与它所对的角的正弦的比值是一定值．（）（3）在△ABC中，∠A（4）在△ABC中，已知A=30°，a=80，分析：判断上述问题的正误需要熟练掌握余弦定理的公式和应用，并且运用到实际问题中．答案:（1）错误，正弦定理适用于任意三角形；（2）正确，根据正弦定理可知，当三角形确定时，则各边与其所对的角的正弦的比值是定值；（3）错误；根据正弦定理可知，sinAsinB（4）正确．因为bsinA三、应用举例例1如图，在△ABC中，A=30°，C=100°，a=10，求b，c解：∵A=30°，C=100°，∵asin∴b=ac=a因此，b，c的长分别为15.32和19.70．例2根据下列条件解三角形（边长精确到0.01，角度精确到0.1°）：（1）a=16，b（2）a=30，b解：（1）由正弦定理，得sinB∴B1≈54.3°∵B2+A=125.7°+30°=155.7°<180°．∴B2也符合要求，从而当B1=54.3°时c1当B2=125.7°时c2（2）由正弦定理，得sinB∴B1=25.7°∵B2+A=154.3°+30°=184.3°>180°．∴B2C=180°−c=例3求证:如图（1）,以Rt△ABC斜边AB为直径作外接圆,设这个外接圆的半径为R,则分析：利用圆心角和圆周角的关系，结合三角函数进行证明.证明：在Rt△ABC中，C=90°又asinA=所以asin追问1：对于钝角三角形（2），锐角三角形（3），上述结论还成立吗？证明：如图（2）、（3），作△ABC的外接圆，O为圆心，连结AO并延长交圆于B'，设AB'=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠ACB'=90°同理，可得asinA=2R所以asin这就是说，在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比等于其外接圆的直径．设计意图：通过例题的讲解，让学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍.四、课堂练习1．在△ABC中，已知a=22，A=30°，BA.2+23B.C.2−23D.2．在△ABC中,a=x，b=2，B=45°，若△A.x>2B.0<x<2C.2<x<22D.3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=60°，a=3，b=A.1B.2C.3−14．在△ABC中，a=23，c=6，A参考答案：1．C=因为asinA=bsin故选A．2．因为△ABC有两解，所以asinB<b<a，即x故选C．3．由正弦定理asinA=即sinB=12，故由a>b，得∠C>∠B，所以∠故选B．4．解：因为asinA=c由csinA<a<c，可得C=当C=60°时，B=当C=120°时，B=五、课堂小结1.在正弦定理的发现及其证明中，蕴涵了丰富的思想方法，既有由特殊到一般的归纳思想，又有严格的演绎推理.在定理证明中我们从直观几何角度探求