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第六章定积分应用第1页第1页第一节

定积分元素法要应用定积分来处理实际问题，就需要处理下面两个问题：（1）什么样量能表示为定积分？（2）如何求出这些量定积分表示式？第2页第2页在前面，我们已经看到：曲边梯形面积，作变速直线运动物体所走路程，都能用定积分来表示。这些量含有什么特性？（i）是非均匀，连续分布在某个区间上。(ii)含有对区间可加性。即：若将区间分为若干个子区间，那么，分布在区间上总量等于分布在各个子区间上部分量之和。普通地，含有上面这两个特性量都能用定积分表示。这就回答了第一个问题。第3页第3页下面，考虑第二个问题。以曲边梯形面积为例。abxyo通过任分，任取，求和，取极限四步，我们得到下面，为了以便应用，我们希望将上面四步进行简化。第4页第4页abxyo为了简朴起见，我们略去下标，那么，上式变为第5页第5页abxyo第6页第6页那么，表示什么呢？xyo在图上表示：小矩形面积它是小曲边梯形面积一个近似值。它有什么特性呢？第7页第7页令，则第8页第8页依据微分定义，知是线性函数，且这就是这个近似值特性。第9页第9页因此，要将曲边梯形面积表示为定积分，关键是：求出表示式.一旦求出了表示式，即：则有这样，就将曲边梯形面积表示为定积分了。面积元素总结一下：将曲边梯形面积表示为定积分环节可简化为下面两步：第10页第10页（1）将区间任分为若干个小区间，然后，任取一个小区间，分布在其上面积（2）第11页第11页普通地，可按下面环节将一个量表示为定积分：（1）将区间任分为若干个小区间，然后，任取一个小区间，分布在其上部分量量U元

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