第章连续时间信号的处理

第三章连续时间信号处理3.1线性时不变连续系统的时域数学模型

3.1.1微分方程的建立

3.1.2微分方程的求解

3.2计算零状态响应的卷积积分法

3.2.1零输入响应与零状态响应

3.2.2冲激响应

3.2.3用卷积积分计算零状态响应

3.3系统函数

3.3.1系统函数的定义

3.3.2系统的三种描述方式

3.3.3用系统函数计算系统的零状态响应

3.3.4由系统函数的零极点分布确定时域特性

3.4信号的频域处理第一页，共七十六页。3.4信号的频域处理

3.4.1系统的频率响应

3.4.2信号的无失真传输条件

3.4.3理想低通滤波器

3.4.4实际模拟滤波器第二页，共七十六页。信号处理方法：时域、复频域、频域。线性时不变系统的响应＝零输入响应＋零状态响应线性时不变系统分析的一个重要思想：将输入信号表示为某个基本信号的线性组合，当系统对该基本信号的零状态响应已知，根据叠加原理和时不变性，系统的零状态响应则为基本信号响应的组合，其组合规律与输入信号的相同。输入为零，仅由初始状态产生的响应初始状态为零，仅由输入信号产生的响应第三页，共七十六页。例如，若已知系统对基本信号输入时的零状态响应为，又已知输入可以表示为则输入为时的零状态响应为时域：单位冲激信号就是这样一种基本信号，任一信号都可以用冲激信号的积分形式表示，即冲激信号的线性组合。→卷积积分频域：信号分解为

的线性组合。→频率响应复频域：信号分解为的线性组合。→系统函数第四页，共七十六页。3.1线性时不变连续系统的时域数学模型——微分方程3.1.1微分方程的建立＊基尔霍夫定律（KCL、KVL）＊元件的电压电流约束关系（VCR）依据：例：图示RLC串联电路中，e(t)为激励信号，输出响应为回路中的电流i(t)。试求该电路中响应与激励的数学关系。第五页，共七十六页。解：根据KVL，得由元件VCR，有二阶线性常系数微分方程，对应于一个二阶系统

第六页，共七十六页。对于一个n阶系统，设激励信号为x(t)，响应为y(t)，可用一个n阶常系数线性微分方程来描述。

LTI系统的时域数学模型：LTI系统x(t)y(t)式中，an-1,…,a0和bm,…,b0均为常数，n≥m。第七页，共七十六页。3.1.2微分方程的求解1、时域经典解法

齐次解为齐次微分方程的解，其函数形式由微分方程的特征根决定。齐次解的形式仅取决于系统本身的特性（特征根），与激励信号的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应；特解的函数形式由激励信号决定，称为系统的强迫响应。

全解：齐次解

特解

第八页，共七十六页。例：描述某线性时不变连续系统的微分方程为试求系统的响应。解：特征方程为其特征根λ1＝－1，λ2＝－2。该方程的齐次解为

激励，且a＝－1与特征根λ1相同，故该方程的特解为

将特解代入微分方程，比较方程两边系数可得C0=0，C1=1。所以特解

因此方程的完全解为

第九页，共七十六页。代入初始条件

解得C1=－1，C2=1。从而系统的响应为

2、应用拉普拉斯变换法解微分方程

描述n阶系统的微分方程的一般形式为

系统的初始状态为y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。第十页，共七十六页。思路：用拉普拉斯变换微分特性s域的代数方程t域的微分方程零输入响应零状态响应y(t)若在t=0时接入系统，则第十一页，共七十六页。例.某LTI系统由微分方程描述求响应解：对方程进行单边拉氏变换：代入可得:第十二页，共七十六页。其中，第一项为强迫响应，其它为自然响应。第十三页，共七十六页。3.2计算零状态响应的卷积方法3.2.1零输入响应和零状态响应零输入响应

完全响应：零状态响应

零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态所引起的响应。由于激励为零，故有零状态响应是系统的初始状态为零时仅由激励所引起的响应。在t=0-时刻激励尚未接入，故应有

第十四页，共七十六页。零输入响应中，初始状态是指系统没加外部激励时系统的固有状态，反映的是系统以往的历史信息。区别：零状态响应的求解有经典法和卷积法。第十五页，共七十六页。例：描述某线性时不变连续系统的微分方程为，求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。由特征方程有λ1=-2，λ2=-3。则齐次解

代入初始条件解得C1=10，C2=－10。于是零输入响应为

解：（1）求零输入响应yzi(t)当激励为零时，满足齐次方程第十六页，共七十六页。（2）求零状态响应yzs(t)则方程的特解由于齐次解为则

由于激励为阶跃函数，在t=0时不会使系统发生突变，因此，解得C1=－3，C2=2。于是零状态响应为

（3）全响应

由于激励第十七页，共七十六页。1.定义：系统在单位冲激信号激励下的零状态响应，简称冲激响应，以h(t)表示.2.求解：用常系数微分方程描述的系统，其冲激响应满足当则：式中，待定系数采用冲激平衡法确定3.2.2冲激响应第十八页，共七十六页。3.特点：4.冲激响应在系统分析中的作用：1).冲激响应由系统的特征根组成；2).冲激响应的形式与齐次解的形式相同；3).冲激响应中的待定系数由冲激函数平衡法决定；4).冲激响应中可能含有冲激函数。1).用冲激响应求解系统的零状态响应；2).h(t)可以表征系统本身的特性。第十九页，共七十六页。例1：已知某线性时不变系统的动态方程为：试求系统的冲激响应h(t)。解：由冲激响应定义，当时，y(t)即为h(t),原动态方程为：特征根s1=-3，且n>m,则冲激响应h(t)为：

其中，A为待定系数，将h(t)代入原方程式有：

第二十页，共七十六页。筛选特性解得A＝2，则系统的冲激响应为：第二十一页，共七十六页。例2：已知某线性时不变系统的动态方程为：试求系统的冲激响应h(t)。解：由冲激响应定义，当时，y(t)即为h(t),原动态方程为：特征根s1=-6，且n=m,为保持动态方程左右平衡，冲激响应h(t)必含则冲激响应h(t)为：

其中，A、B为待定系数，将h(t)代入原方程式有：

第二十二页，共七十六页。筛选特性解得A＝－16，B＝3。系统的冲激响应为：总结：冲激响应h(t)中是否含冲激信号及其高阶导数，是过观察动态方程右边的的导数最高次与方程左边h(t)的导数次来决定。对于h(t)中的项，其形式由特征方程的特征根来定。第二十三页，共七十六页。方法二：拉普拉斯变换法

由于对上式作拉氏逆变换，得系统的冲激响应为方程两边取拉氏变换，得第二十四页，共七十六页。3.2.3用卷积积分计算零状态响应

1、连续时间信号的冲激表示任一信号x(t)可用无限多个不同加权的冲激函数的“和”表示：

2、求解LTI系统零状态响应的卷积方法原理：将信号分解为冲激信号的加权和，借助冲激响应，求解系统对任一信号的零状态响应。卷积定义：

对于任意两个信号f1(t)和f2(t),两者的卷积运算定义为第二十五页，共七十六页。任意信号x(t)分解为单位冲激信号的线性组合系统的冲激响应h(t)系统的时不变特性线性特性的均匀性卷积与零状态响应第二十六页，共七十六页。即：yzs(t)等于x(t)与h(t)的卷积积分线性特性的叠加性在输入信号x(t)作用下，系统的零状态响应为输入信号与冲激响应的卷积积分。

第二十七页，共七十六页。3、卷积运算的性质卷积的代数性质交换律交换律表示两个函数卷积，其顺序可以交换。有时可使卷积简便。在系统分析中，这意味着一个冲激响应为h(t)的LTI系统对输入x(t)的响应与一个冲激响应为x(t)的LTI系统对输入h(t)的响应是一样的。第二十八页，共七十六页。分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应，等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和。x(t)h1(t)h2(t)分配律第二十九页，共七十六页。结合律结合律用于系统分析，相当于级联系统的冲激响应，等于组成级联系统的各子系统冲激响应的卷积。改变两个系统的级联顺序，系统总的响应保持不变。

h1(t)

h2(t)x(t)第三十页，共七十六页。卷积的时移性质h(t)x(t)y(t)h(t)y(t-t1)x(t-t1)h(t-t2)x(t-t1)y(t-t1-t2)h(t-t2)x(t)y(t-t2)时不变性质与冲激函数的卷积第三十一页，共七十六页。卷积的微积分性质（1）卷积的微分

与冲激偶信号的卷积

（2）卷积的积分特别地：特别地：与阶跃信号的卷积第三十二页，共七十六页。与冲激信号的卷积，等于x(t)本身；

与冲激偶信号的卷积，等于x(t)的导数；

与阶跃信号的卷积，等于x(t)的积分。小结：x(t)与奇异信号的卷积第三十三页，共七十六页。例1：求解：根据时移性质和微积分性质，有第三十四页，共七十六页。例2:

已知系统的冲激响应求输入时的零状态响应yzs(t)。

解：

第三十五页，共七十六页。

例3:

已知系统的冲激响应求输入时的零状态响应yzs(t)。

解：

第三十六页，共七十六页。3.3系统函数3.3.1系统函数的定义系统函数H(s)定义为它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比。●系统函数的来源第三十七页，共七十六页。由描述系统输入输出关系的微分方程(零状态)产生由时域卷积产生由系统冲激响应产生由s域电路模型产生（初始条件为0）I1(s)I2(s)U1(s)U2(s)++－－第三十八页，共七十六页。3.3.2系统的三种描述方式时域输入输出关系微分方程经典法时域的冲激响应h(t)卷积法s域的系统函数H(s)拉氏变换在这三种描述中，能够根据其中任一种形式推导出另外两种形式。第三十九页，共七十六页。例:

已知当输入x(t)=e-t(t)时，某LTI因果系统的零状态响应

y(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)(t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。解：h(t)=(4e-2t-2e-3t)(t)微分方程为y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2x'(t)+8x(t)s2Y(s)+5sY(s)+6Y(s)=2sX(s)+8X(s)取逆变换yzs"(t)+5yzs'(t)+6yzs(t)=2x'(t)+8x(t)

第四十页，共七十六页。3.3.3用系统函数计算系统的零状态响应

y(t)=h(t)*x(t)H(s)=L[h(t)]Y(s)=H(s)X(s)X(s)=L[x(t)]零状态根据系统函数的定义，任意激励下，系统的零状态响应的象函数可以表示为系统函数与激励信号的象函数的乘积。

我们可以利用系统函数，在复频域中求得系统零状态响应的象函数，然后对其作拉普拉斯逆变换，求得时域中零状态响应的原函数。第四十一页，共七十六页。例:如图所示电路，激励信号求电路的零状态响应u2(t)。

解:令第四十二页，共七十六页。1、系统函数的零、极点LTI系统的系统函数是复变量s的有理分式，即

3.3.4由系统函数的零极点分布确定时域特性D(s)=0的根p1，p2，…，pn称为系统函数H(s)的极点；N(s)=0的根z1，z2，…，zm称为系统函数H(s)的零点。

第四十三页，共七十六页。例:将零极点画在复平面上得零、极点分布图。

由于多项式的系数为实数，因此系统函数的零极点为：实数、共轭虚数、共轭复数零点：z=-2极点：p1=-1,p2,3=±j第四十四页，共七十六页。研究系统函数的零、极点有下列几个方面的意义:（1）从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率,进而了解系统冲激响应的模式,也就是说可以知道系统的冲激响应是指数型,衰减振荡型,等幅振荡型,还是几者的组合,从而可以了解系统的响应特性及系统是否稳定。（2）从系统的零、极点分布可以求得系统的频率响应特性,从而可以分析系统的正弦稳态响应特性。系统的时域、频域特性都集中地以其系统函数或系统函数的零、极点分布表现出来。第四十五页，共七十六页。2、系统函数H(s)与时域响应h(t)

冲激响应的函数形式由H(s)的极点确定。所讨论系统均为因果系统。主要讨论单极点的情况。

第四十六页，共七十六页。

H(s)按其极点在s平面上的位置可分为:

在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。

（1）在左半开平面：衰减若系统函数有负实单极点p=–α(α>0)，则N(s)中有因子(s+α)，其所对应的响应函数为Ke-αtε(t)(b)若有一对共轭复极点p1,2=-α±jω0，则N(s)中有因子[(s+α)2+ω0

2]Ke-αtcos(ω0

t+θ)ε(t)

以上两种情况：当t→∞时，响应均趋于0。第四十七页，共七十六页。（2）在虚轴上：等幅(a)单极点p=0，则响应为Kε(t)(b)共轭虚数极点p1,2=±jω0

则响应为Kcos(ω0

t+θ)ε(t)（3）在右半开平面：均为递增函数。

正实单极点p=α(α>0)，则响应为Keαtε(t)(b)一对共轭复极点p1,2=α±jω0

则响应为Keαtcos(ω0

t+θ)ε(t)

第四十八页，共七十六页。综合结论：LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。①H(s)在左半平面的极点所对应的响应函数为衰减的。即当t→∞时，响应均趋于0。②H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数不增不减。③H(s)在右半平面上的极点，其所对应的响应函数都是递增的。即当t→∞时，响应均趋于∞。第四十九页，共七十六页。

H(s)的极点的实部决定了冲激响应随时间的衰减或增长情况。极点距离虚轴越远，即极点的实部的绝对值越大，冲激响应的衰减或增长越快，反之越慢。而极点的虚部决定了冲激响应随时间的正弦振荡情况。当极点距离实轴越远，即极点的虚部的绝对值越大，冲激响应正弦振荡的角频率越高，反之越低。

H(s)的零点分布影响冲激响应的幅度和相位，但不影响冲激响应的变化规律。

第五十页，共七十六页。3.4信号的频域处理3.4.1系统的频率响应零状态频率响应H()可定义为系统零状态响应的傅里叶变换Y()与激励x(t)的傅里叶变换X()之比，即傅里叶变换法H()称为幅频特性（或幅频响应）；称为相频特性（或相频响应）。H()是的偶函数，

是的奇函数。

第五十一页，共七十六页。●频率响应H()的求法1.H()=F[h(t)]

2.H()=Y()/X()由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由电路直接求出。

例：某系统的微分方程为y´(t)+2y(t)=x(t)求（1）系统的频率特性（2）x(t)=e-tε(t)时的响应y(t)。解：（1）微分方程两边取傅里叶变换jY()+2Y()=X()（2）第五十二页，共七十六页。3.4.2系统的无失真传输条件系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输，一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。1、失真线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成●幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减；●相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。信号经系统传输，要受到系统函数的加权，输出波形发生了变化，与输入波形不同，则产生失真。第五十三页，共七十六页。●线性系统的失真——幅度，相位变化，不产生新的频率成分；●非线性系统产生非线性失真——产生新的频率成分。

对系统的不同用途有不同的要求：●（1）无失真传输；（2）利用失真波形变换。2、无失真传输

（1）定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。即：输入信号为x(t)，经过无失真传输后，输出信号应为

y(t)=Kx(t–t0)第五十四页，共七十六页。幅度可以比例增加可以有时移波形形状不变第五十五页，共七十六页。（2）无失真传输的系统条件即幅频特性H()=K,各分量衰减一致相频特性，各分量时延一致第五十六页，共七十六页。几点认识：●要求幅度为与频率无关的常数K，系统的通频带为无限宽。●相位特性与

成正比，是一条过原点的负斜率直线。●不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。第五十七页，共七十六页。只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的延迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。延迟时间t0

是相位特性的斜率：群时延或称群延时在满足信号传输不产生相位失真的情况下，系统的群时延特性应为常数。

相位特性为什么与频率成正比关系？第五十八页，共七十六页。此系统不满足信号失真第五十九页，共七十六页。3、利用失真——波形形成第六十页，共七十六页。系统的无失真传输条件总结时域频域为常数第六十一页，共七十六页。理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。

滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带（passband），完全不允许信号通过的频段称为阻带（stopband）。第六十二页，共七十六页。3.4.3理想低通滤波器具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。

理想低通滤波器的频率响应可写为：c称为截止角频率。信号中所有高于c的频率分量将被完全阻止而不能通过系统，而低于c的频率分量会无失真地通过系统。

第六十三页，共七十六页。●理想低通滤波器的冲激响应可见，理想低通滤波器的冲激响应为一个延时的Sa函数，其峰值较激励信号延迟了t0时刻。

该系统实际上是物理不可实现的非因果系统。第六十四页，共七十六页。由傅里叶变换可得:1第六十五页，共七十六页。理想滤波器是非因果系统。因而是物理不可实现的；尽管从频域滤波的角度看，理想滤波器的频率特性是最佳的。但它们的时域特性并不是最佳的。有起伏、旁瓣、主瓣，这表明理想滤波器的时域特性与频域特性并不兼容在工程应用中，当要设计一个滤波器时，必须对时域特性和频域特性作出恰当的折中。从理想滤波器的时域特性可以看出：第六十六页，共七十六页。

对理想特性逼近得越精确，实现时付出的代价越大，系统的复杂程度也越高。非理想滤波器的频率特性以容限方式给出。

由于理想滤波器是物理不可实现的，工程应用中就必须寻找一个物理可实现的频率特性去逼近理想特性，这种物理可实现的系统就称为非理想滤波器。非理想滤波器－TheNonidealFilters第六十七页，共七