球的表面积与体积附加练习

1.3.2球体的表面积和体积公式回顾：圆台圆柱圆锥各面面积之和展开图棱柱、棱锥、棱台(多面体)圆柱、圆锥、圆台(旋转体)空间问题“平面”化所用的数学思想：1、柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的体积锥体台体柱体2、柱体、锥体、台体的表面积r'＝r上底扩大r'＝0上底缩小3、圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间的关系：4、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系：上底扩大上底缩小思考：如何求球的体积？排液法：hHh球体的体积公式球体的表面积公式从公式中可以看出球的体积和表面积都只与球的半径有关，即都是以半径为自变量的函数.例1、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的体积等于圆柱体积的三分之二.(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.(3)球的表面积等于圆柱表面积的三分之二.练习：(1)把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的________倍.(2)把球表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来的_______倍.(3)三个球的表面积之比为1:2:3，则它们的体积之比为_________.(4)三个球的体积之比为1:8:27，则它们的表面积之比为________.“接”与“切”：两个几何体相（内）切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上解决“接切”问题的关键是画出正确的截面，把空间“接切”转化为平面“接切”问题例2.如图，正方体的棱长为a,它的各个顶点都在球的球面上，求球的表面积和体积。分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体体对角线与球的直径相等。两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上。ABCDD1C1B1A1O323334222322343)2(aRVaRSaRaRpppp====\=\=\\且对角线长

球的直径等于正方体的体正方体内接于球解：Q(变式)

球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、,求此球体的表面积和体积。分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则长方体体对角线与球的直径相等。pppp33233422222164216)3(23)2(====\=\=++=\\RVRSRR且体对角线长球的直径等于长方体的长方体内接于球解：Q球与正方体的“接切”问题练习：熟练掌握球的体积、表面积公式：课堂小结截面问题用一个平面α去截一个球O，截面是圆面Oß球的截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离为d，球的半径为R，则OABC例3、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积、表面积．解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，OABC例3、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积、表面积。练习：1．三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的

倍；

2.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加

倍；3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是

；4.正方体全面积是24,它的外接球的体积是

，内切球的体积是

.5.球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．提示：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可．4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.练习7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的表面积是______.5.长方体