2023年高三数学质量调研卷

上海市普陀区2022-2023学年高三上学期12月第一次质量调研数学考生注意：1.本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分，答题纸2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名.将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试题题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.若（其中表示虚数单位），则.2.若正四棱柱的底面周长为、高为，则该正四棱柱的体积为.3.设，则满足的的取值范围为.4．函数在区间上的零点为.5.函数的最小正周期为.6.在展开式中，含有项的系数为.（结果用数值表示）7.双曲线的两条渐近线的夹角大小为.8.“青山”饮料厂推出一款新产品——“绿水”，该厂开展促销活动，将罐“绿水”装成一箱，且每箱均有罐，则能中奖的概率为.（结果用最简分数表示）9.设R.若直线：与曲线：仅有一个公共点，则.10.某地“小康果”大丰收，现抽取5个样本，其质量分别为、、、、（单位：克）.若该样本的中位数和平均数均为，则此样本的标准差为（用数字作答）.11.设、R且.若函数的表达式为（R），且，则的最大值为.12.设、、均为正数且，则使得不等式总成立的的取值范围为.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.、和平面、，下列命题中的真命题是（）若，，则若，，则若，，则若，，则，则的充要条件是（），若向量、、满足，且，则满足条件的的取值可以是（）、、、…、是均含有个元素的集合，且，（），记，则中元素个数的最小值是（）三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（第17题图）如图所示，为四边形的对角线，设，△（）.（第17题图）（1）当时，求的值；（2）设为四边形的面积，用含有的关系式表示，并求的最大值.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设、均为正整数，为首项为、公差为的等差数列，为首项为、公比为的等比数列.（1）设为正整数，当，，时，求的值；（2）若，且对于某项，存在，使得，试提出一个关于、的结论，并说明理由.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）且它们所在的平面互相垂直，在桥面上的射影为桥面的中心.主梁连接桥面大圆，立柱连接主梁和桥面小圆，地面有为其中的一根立柱，为主梁与桥面大圆的连接点.（1）求证：平面；（2）设为经过的一条步道，其长度为米且与地面所成角的大小为.桥面小圆与大圆的半径之比为，当桥面大圆半径为米时，求点到地面的距离.第19题图第19题图20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）在坐标平面内，已知椭圆：的左、右焦点分别为、，直线（）与相交于、两点.（1）记为到直线的距离，当变化时，求证：为定值；（2）在△中，当时，求的值；y第20题第（3）题图x第20题第（2）题图xy（3）过作轴，垂足为，的中点为，延长交于另一点，记直线的斜率为，当取何值时，有最小值？并求出此最小值.y第20题第（3）题图x第20题第（2）题图xy第20题第（3）题图第20题第（3）题图PABMNx第20题第（2）题图yx21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2题满分6分，第3小题满分8分）若函数（）同时满足下列两个条件，则称在上具有性质.①在上的导数存在；②在上的导数存在，且（其中）恒成立.（1）判断函数在区间上是否