思考题及单元测验题详细答案各讲_第1页
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无穷小。答案为0。x2sin1与x2当x

x2sinxlim

1x证明：设F(xf(x由 由F()f() 1 1根据零点定理知至少存在一点c

，使得F(c(2 根据定理至少存在一点(0c0,1)，使F'(0,即f'()1.证明：已知f'(xf(x)则f'(x)1.f且f(0)1c20即f(x)

lnf(xxc,即f(x)ex设函数f(x)[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(x0.,

f'()ebeaef 证令g(x)ex，则g(x)与f(x)在[a,b]上满足中值定理条件，故由中值定理，存在(a,b)，使得f(bf(a)f()f(b)f (ebea b b

f

eb 又f(x)在[a,b]上满足日中值定理条件，故存在(a,b)，f(b)f(a)f(b由题设f(x) f'()ebea0知，f( 0，从而f baetanx tanx sec2x 1cos2lim =lim =lim =lim lim x0x2sinx 3x0cos2x sin2x =3x0 解原式limtanxxlimtanxx0x2tan sec2x 1cos2

cos2 abbablnaaln令f(xxlnaalnx(x因为f(xlnaa1a0(xa)，所以f(x)在xa时单调增加 f(bf(a0.即有blnaaln解 2 dx1cosxdx f'lnxdxf'lnxdlnx=flnxCelnxC1 2x解 dx 2x

1x

(x

1)233 33 dx 1x

11dx dx x12x1525222 22

5)(x 5 第四章第四讲思考题答案

1cos2xdx 2|sinx|dx

2sinxdx0 1xexdx1xdexxex|11exdxeex|1 5第三 答案 答案：因为y1y2e2xex是二阶常系数线性非齐次微分方程的通所以1 21，对应的齐次微分方程的特征方程r2r2

对应的非齐次微分方程为yy2

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