2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨德强学校高二年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨德强学校高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．在二项式的展开式中，第三项的系数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二项式展开式的通项公式：,第三项令求系数即可.【详解】二项式展开式的通项公式：，第三项则，可得第三项的系数是.故选:D.2．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【详解】排列问题可抽象为元素与位置的问题；有约束条件的排列问题常是元素在或不在某位置；排列时，采用优先的原则，即先把特殊位置或特殊元素排好，剩余的位置或元素进行全排列;先安排甲：从1号子项目以外的4个不同的子项目中任选一个，有种；在安排其他四个工程队：有种；根据分步计数原理，不同的承建方案共有种.故选B3．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】依题意,,故.故选B.【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.4．已知随机变量的分布列，，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据离散型随机变量及其分布列的性质，计算即可.【详解】解：，，，，，，故选：A.5．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的离心率为

A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得,选D.6．3名男生，2名女生站成一排照相，则2名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有（

）A．72种 B．64种 C．48种 D．36种【答案】D【分析】利用捆绑法，将2名女生捆绑在一起，先站2名女生，再站3名男生.【详解】将2名女生捆绑在一起，故2名女生相邻有种站法，又2名女生都不站在最左端，故有种站法，剩下3个位置，站3名男生有种站法，故不同的站法共有种.故选：D.7．假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据条件概率的计算公式和事件的独立性依次讨论求解即可.【详解】解：对于A选项，由，可知，故A选项正确；对于B选项，成立的条件为，是两个独立事件，故错误；对于C选项，由，故当时才有，故错误；对于D选项，由题知，故，即，是两个独立事件时成立，故错误.故选：A8．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.则A． B．C． D．【答案】A【详解】，，，故，，，由上面比较可知，故选A【解析】独立事件的概率,数学期望.二、多选题9．设离散型随机变量的分布列如下表：123450.10.20.3若离散型随机变量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先由可得，再由概率和为1得，从而可求出的值，再利用期望和方差公式求，即可，从而可得答案【详解】由得，又由得，从而得，，故A选项错误，B选项正确；，故C选项正确；因为，所以，故D选项错误，故选：BC．10．等差数列中，为其前项和，，，则以下正确的是A． B．C．的最大值为 D．使得的最大整数【答案】BCD【解析】先由题设求出等差数列的公差，再逐项判断其正误即可．【详解】解：，，，，，数列的公差，故A错误；，，故B正确；，当时，取得最大值；，故D正确；故选：BCD．【点睛】根据等差数列中的基本量的计算及性质进行计算是求解此类问题的常见方法.利用二次函数的性质求等差数列前项和的最大值是常见的方法.11．第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小张、小赵、小李、小罗、小王为五名志愿者．现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有（

）A．若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有种B．若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案C．若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案D．已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排2人，后排3人，后排要求三人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法【答案】BCD【分析】根据题意，由排列组合数公式依次分析选项，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于，若五人每人可任选一项工作，则每人都有4种选法，则5人共有种选法，错误，对于，分2步分析：先将5人分为4组，将分好的4组安排四项不同的工作，有种分配方法，正确，对于，分2步分析：在5人中任选2人，安排礼仪工作，有选法，再将剩下3人安排剩下的三项工作，有种情况，则有种不同的方案，正确，对于，分2步分析：在5人中任选2人，安排在第一排，有排法，剩下3人安排在第二排，要求身高最高的站中间，有2种排法，则有种不同的方案，故选：．12．设，下列结论正确的是（

）A．B．C．D．当时，除以2000的余数是1【答案】AC【分析】，根据的二项展开式的通项可知，求得，即可判断A；令，即可求得，即可判断B；令，求得，即可判断C，当时，，则为系数的项均能被2000整除，从而可求得除以2000的余数，即可判断D.【详解】解：的二项展开式的通项为，则，故A正确；令，则，所以，故B错误；令，则，而，所以，即，所以，故C正确；当时，，则为系数的项均能被2000整除，又，所以除以2000的余数是1999，故D错误.故选：AC.三、填空题13．已知随机变量服从两点分布，且,那么__________【答案】##【分析】求出、，根据计算公式即可求解.【详解】随机变量服从两点分布，且，，，，故答案为：.14．有本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数为__________（用数字作答）．【答案】【分析】由题意可知，只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可，结合隔板法可得结果.【详解】将本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可，所以，不同的分法种数为种.故答案为：.15．函数在点处的切线方程为__________．【答案】【分析】利用导数的几何意义求解即得.【详解】因为，所以，又，所以切线的斜率，所以函数在点处的切线方程为，即.故答案为：.16．若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5，这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有_______个.【答案】20【解析】根据的“伞数”定义，十位数只能是3，4，5，然后分3类，分别求得“伞数”的个数再求和，【详解】由题意得：十位数只能是3，4，5，当十位数是3时，个位和百位只能是1，2，“伞数”共有个；当十位数是4时，个位和百位只能是1，2，3，“伞数”共有个；当十位数是5时，个位和百位只能是1，2，3，4，“伞数”共有个；所以“伞数”共有20个，故答案为：20四、解答题17．已知是各项均为正数的等比数列，．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据数列是等比数列应用等比数列通项公式运算得出结果；(2)通过数列的通项公式计算出数列的通项公式，再通过分组求和，应用等比数列等差数列求和公式即可得出结果．【详解】（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，，，所以令数列的公比为，，，所以，解得(舍去)或，所以数列是首项为、公比为的等比数列，.（2）因为，所以，分组求和可得:18．三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格，现从总产品中随机地抽取一个零件，求：(1)它是不合格品的概率；(2)若它是不合格品，则它是由哪一部机器生产出来的可能性大．（计算说明理由）【答案】(1)(2)它是由机器甲生产出来的可能性大，理由见解析【分析】（1）根据已知条件，利用全概率公式计算即可；（2）利用贝叶斯公式分别计算不合格品是甲、乙、丙机器生产的概率，比较大小即可分析哪一部机器生产出来的可能性大.【详解】（1）解：设、、分别表示事件：任取的零件为甲、乙、丙机器生产的，B表示事件：抽取的零件是不合格品，由题意可知，，，，，，则，所以它是不合格品的概率为.（2），，，因为，所以它是由机器甲生产出来的可能性大.19．在一次购物抽奖活动中，假设某张券中有一等奖券张，可获价值元的奖品；有二等奖券张，每张可获价值元的奖品；其余张没有奖．某顾客从此张券中任抽张，求：(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值(元)的概率分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为：．【分析】（1）利用对立事件公式可得该顾客中奖的概率为（2）由超几何分布求得分布列，然后求解数学期望可得期望值为.【详解】（1）解法一：，即该顾客中奖的概率为．解法二：，即该顾客中奖的概率为．（2）的所有可能值为：，，，，(元)．，，的分布列为：从而期望.数学期望为:.20．已知椭圆，由C的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形．(1)求C的方程；(2)直线l过C的右焦点F，且和C交于点A，B，设O是坐标原点，若三角形OAB的面积是，求l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由题意可得，，从而可求得椭圆的方程，（2）先判断出直线l的斜率存在，设，代入椭圆方程中，化简利用根与系数的关系和弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离，从而可表示出三角形OAB的面积，解方程可求出，进而可得直线方程【详解】（1）由已知，，，所以C的方程为（2），①若l斜率不存在，易知；②若l斜率存在，设，，和C的方程联立得：，，，所以点O到直线l的距离为，所以，解之得，，所以l的方程为或，21．已知函数，其中.(1)当时，求的极值；(2)当时，证明：；【答案】(1)极小值为，无极大值(2)证明见解析【分析】（1）首先求函数的导数，分和可得到函数的单调区间，即可求函数的极值；（2）原命题可转化成，设，利用导数求出的最大值即可求证【详解】（1）易得，函数的定义域为，当时，，令，解得，由，得，由，得，在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值；（2）当时，，要证明，即证，即，设，则，令得，，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以为极大值点，也为最大值点，所以，即，故.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．22．新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验次．二是混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时份血液检验的次数总共为次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为．（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）选择方案三最“优”，理由见解析【分析】（Ⅰ）根据独立事件和对立事件概率公式可计算求得结果；（Ⅱ）确定方案二和方案三检验次数所有可能的取值，并求得每个取值对应的概率，进而得到分布列，由数学期望的计算公式计算得到期望，与方案一的期望进行比较，得到最优方案.【详解】（Ⅰ）该混合样本阴性的概率为：，根据对立事件原理，阳性的概率为：．（Ⅱ）方案一