统考版2022届高考数学一轮复习第七章7.6直接证明与间接证明课时作业理含解析

高考复习资料PAGE1-/NUMPAGES1课时作业38直接证明与间接证明[基础达标]一、选择题1．要证明eq\r(3)＋eq\r(5)<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为()A．综合法B．题目考点分析法C．比较法D．归纳法2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除3．设x，y，z∈R＋，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于24．若P＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋8)＋eq\r(a＋5)(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A．P>QB．P＝QC．P<QD．由a的取值确定5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负二、填空题6．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，则a，b应满足的条件是________．7．若向量a＝(x＋1,2)，b＝(4，－2)，若a∥b，则实数x＝________.8．[2021·太原模拟]用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________________．三、解答题9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.求证：a，b，c成等差数列．10．已知a，b是正实数，求证：eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).[能力挑战]11．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋eq\f(π,2)，b＝y2－2z＋eq\f(π,3)，c＝z2－2x＋eq\f(π,6).求证：a，b，c中至少有一个大于0.课时作业381．题目解析：要证明eq\r(3)＋eq\r(5)<4，只需证明(eq\r(3)＋eq\r(5))2<16，即8＋2eq\r(15)<16，即证明eq\r(15)<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用题目考点分析法证明较为合理，故选B.参考答案：B2．题目解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．参考答案：B3．题目解析：假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,y)＋y＋eq\f(1,z)＋z＋eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(1,z)))≥2＋2＋2＝6，与a＋b＋c<6矛盾，∴a，b，c都小于2错误．∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.故选C项．参考答案：C4．题目解析：假设P>Q，要证P>Q，只需证P2>Q2，只需证：2a＋13＋2eq\r(a＋6a＋7)>2a＋13＋2eq\r(a＋8a＋5)，只需证a2＋13a＋42>a2＋13a＋40，只需证42>40，因为42>40成立，所以P>Q成立．参考答案：A5．题目解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.参考答案：A6．题目解析：aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，即(eq\r(a)－eq\r(b))2(eq\r(a)＋eq\r(b))>0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.参考答案：a≥0，b≥0且a≠b7．题目解析：因为a∥b，所以(x＋1)×(－2)＝2×4，解得x＝－5.参考答案：－58．题目解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．参考答案：x≠－1且x≠19．证明：由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．10．证明：证法一(作差法)因为a，b是正实数，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))－eq\r(a)－eq\r(b)＝eq\f(b－a,\r(a))＋eq\f(a－b,\r(b))＝eq\f(a－b\r(a)－\r(b),\r(ab))＝eq\f(\r(a)－\r(b)2\r(a)＋\r(b),\r(ab))≥0，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).证法二(题目考点分析法)已知a，b是正实数，要证eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b)，只需证aeq\r(a)＋beq\r(b)≥eq\r(ab)(eq\r(a)＋eq\r(b))，即证(a＋b－eq\r(ab))(eq\r(a)＋eq\r(b))≥eq\r(ab)(eq\r(a)＋eq\r(b))，即证a＋b－eq\r(ab)≥eq\r(ab)，就是要证a＋b≥2eq\r(ab).显然a＋b≥2eq\r(ab)恒成立，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).证法三(综合法)因为a，b是正实数，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\r(b)＋eq\f(b,\r(a))＋eq\r(a)≥2eq\r(\f(a,\r(b))·\r(b))＋2eq\r(\f(b,\r(a))·\r(a))＝2eq\r(a)＋2eq\r(b)，当且仅当a＝b时取等号，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).证法四(综合法)因为a，b是正实数，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(b))＋\f(b,\r(a))))(eq\r(a)＋eq\r(b))＝a＋b＋eq\f(a\r(a),\r(b))＋eq\f(b\r(b),\r(a))≥a＋b＋2eq\r(\f(a\r(a),\r(b))·\f(b\r(b),\r(a)))＝a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2，当且仅当a＝b时取等号，所以eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))≥eq\r(a)＋eq\r(b).11．证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0.而a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－2y＋\f(π,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\v