高等数学对坐标曲线积分

高等数学对坐标曲线积分第1页，共27页，2023年，2月20日，星期四一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例:设一质点受如下变力作用在xOy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”恒力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.变力沿曲线所作的功.第2页，共27页，2023年，2月20日，星期四1)把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F沿则用有向线段上任取一点在“大化小”.2)“常代变”第3页，共27页，2023年，2月20日，星期四3)“近似和”4)“取极限”(其中为n个小弧段的最大长度)第4页，共27页，2023年，2月20日，星期四2.定义设L为xOy平面内从A到B的一条弧,和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为向量函数或第二类曲线其中,L称为称为极限记作有向光滑函数在L上有界.若对L的任意分割积分.被积函数,积分弧段或积分曲线.第5页，共27页，2023年，2月20日，星期四若为空间曲线弧,记若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,称为函数在曲线L上对坐标x的曲线积分;称为函数在曲线L上对坐标y的曲线积分.第6页，共27页，2023年，2月20日，星期四3.性质(1)若L可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则

定积分是第二类曲线积分的特例.说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!第7页，共27页，2023年，2月20日，星期四二、对坐标的曲线积分的计算法定理在有向光滑弧L上有定义且L的参数方程为则曲线积分连续,证明存在,且有下面先证第8页，共27页，2023年，2月20日，星期四对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证第9页，共27页，2023年，2月20日，星期四特别是,如果L的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理第10页，共27页，2023年，2月20日，星期四例1其中L为沿抛物线解法1解法2从点的一段.计算取x为参数,则取y为参数,则第11页，共27页，2023年，2月20日，星期四例2其中L为(1)半径为a圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点B(–a,0).解(2)取L的方程为则则计算(1)取L的参数方程为第12页，共27页，2023年，2月20日，星期四例3其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解(2)原式(3)原式计算(1)原式第13页，共27页，2023年，2月20日，星期四例4作用下,质点由沿移动到解(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为设在力场(1)第14页，共27页，2023年，2月20日，星期四例5其中从z轴正向看为顺时针方向.解求取的参数方程第15页，共27页，2023年，2月20日，星期四三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L以弧长为参数

的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系第16页，共27页，2023年，2月20日，星期四类似地,在空间曲线上的两类曲线积分的联系是令记A在t上的投影为第17页，共27页，2023年，2月20日，星期四二者夹角为例6曲线段L的长度为s,证明续,证设说明:在L上连设上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.第18页，共27页，2023年，2月20日，星期四例7

将积分化为对弧长的积分,解其中L沿上半圆周第19页，共27页，2023年，2月20日，星期四1.定义2.性质(1)L可分成k条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结第20页，共27页，2023年，2月20日，星期四3.计算•对有向光滑弧•对有向光滑弧第21页，共27页，2023年，2月20日，星期四4.两类曲线积分的联系•对空间有向光滑弧:第22页，共27页，2023年，2月20日，星期四原点O的距离成正比,思考与练习1.处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:(解见P196例5)F的大小与M到原F的方向力F的作用,求力F所作的功.思考:若题中F的方向改为与OM垂直且与y轴夹锐角,则设一个质点在第23页，共27页，2023年，2月20日，星期四2.

已知为折线ABCOA(如图),计算提示:第24页，共27页，2023年，2月20日，星期四补充题1.解线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xOy面的距离成反比.沿直求F所作的功W.已知F的方向指一质点在力场F作用下由点第25页，共27页，2023年，2月20日，星期四2.

设曲线C为曲面与