圆锥曲线轨迹方程经典例题

轨迹方程经典例题轨迹为圆的例题：必修2课本P124B组2：长为2a的线段的两个端点在轴和轴上移动，求线段AB的中点M的轨迹方程：必修2课本P124B组：M与两个定点〔0,0〕，A〔3,0〕的距离之比为，求点M的轨迹方程;〔一般地：必修2课本P144B组2：点M(,)与两个定点的距离之比为一个常数；讨论点M(,)的轨迹方程〔分=1，与1进展讨论〕必修2课本P122例5：线段AB的端点B的坐标是〔4,3〕，端点A在圆上运动，求AB的中点M的轨迹。〔2013新课标2卷文20〕在平面直角坐标系中，圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。〔1〕求圆心的的轨迹方程；〔2〕假设点到直线的距离为，求圆的方程。如下图，P(4，0)是圆*2+y2=36的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为(*,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(*2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(*－4)2+y2=36－(*2+y2),即*2+y2－4*－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(*,y)，R(*1,y1)，因为R是PQ的中点，所以*1=,代入方程*2+y2－4*－10=0,得－10=0整理得：*2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．〔1〕假设圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；〔2〕假设圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值围．〔2013卷理20〕动圆过定点，且在轴上截得弦的长为8.求动圆圆心的轨迹的方程；点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，假设轴是的角平分线，证明直线过定点。椭圆类型：定义法：〔选修2-1P50第3题〕点M(,)与定点F(2，0)的距离和它到定直线的距离之比为，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大于1，或等于1是的情形呢？〔对应双曲线，抛物线〕圆锥曲线第一定义：〔选修2-1P50第2题〕一个动圆与圆外切，同时与圆切，求动圆的圆心轨迹方程。圆锥曲线第一定义：点M()圆上的一个动点,点〔1,0〕为定点。线段的垂直平分线与相交于点Q(,),求点Q的轨迹方程;(注意点〔1,0〕在圆)其他形式：〔选修2-1P50例3〕设点A,B的坐标分别是〔-5,0〕，〔5,0〕，直线AM,BM相交于点M，且他们的斜率的乘积为，求点M的轨迹方程:〔是一个椭圆〕〔讨论当他们的斜率的乘积为时可以得到双曲线〕〔2013新课标1卷20〕圆，圆，动圆与圆外切并且与圆切，圆心的轨迹为曲线。〔1〕求的方程；〔2〕是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求〔2013卷文20〕动点到直线的距离是它到点的距离的倍。〔1〕求动点的轨迹的方程〔2〕过点的直线与轨迹交于两点，假设是的中点，求直线的斜率。双曲线类型：8、圆锥曲线第一定义：点M()圆上的一个动点,点〔1,0〕为定点。线段的垂直平分线与相交于点Q(,),求点Q的轨迹方程;(注意点〔1,0〕在圆外)定义法：〔选修2-1P59例5〕点M(,)与定点F(5，0)的距离和它到定直线的距离之比为，求点M的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)抛物线类型：10、定义法：〔选修2-1〕点M(,)与定点F(2，0)的距离和它到定直线的距离相等，求点M的轨迹方程。〔或：点M(,)与定点F(2，0)的距离比它到定直线的距离小1，求点M的轨迹方程。〕〔2013卷文20〕动点到直线的距离是它到点的距离的倍。〔1〕求动点的轨迹的方程〔2〕过点的直线与轨迹交于两点，假设是的中点，求直线的斜率三点，，，曲线上任意一点满足。〔1〕求曲线的方程；〕在直角坐标系*Oy中，曲线C1的点均在C2：〔*-5〕2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线*=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.〔Ⅰ〕求曲线C1的方程；〔〕设A是单位圆*2+y2=1上的任意一点，i是过点A与*轴垂直的直线，D是直线i与*轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨〔m>0,且m≠1〕。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。〔I〕求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；〔〕如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。(Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;〔〕如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。〔Ⅰ〕求轨迹的方程；〔Ⅱ〕设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值围。1.(****)椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，则动点Q的轨迹是()A.圆 B.椭圆C.双曲线的一支 D.抛物线2.(****)设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为()A. B.C. D.二、填空题3.(****)△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,则动点A的轨迹方程为_________.4.(****)高为5m和3m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(****)A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.(****)双曲线=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.8.(*****)椭圆=1(a＞b＞0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(*+a)与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值.一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.2.解析：设交点P(*,y〕,A1(－3,0),A2(3,0),P1(*0,y0),P2(*0,－y0)∵A1、P1、P共线，∴∵A2、P2、P共线，∴解得*0=二、3.解析：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.答案：4.解析：设P(*,y〕，依题意有,化简得P点轨迹方程为4*2+4y2－85*+100=0.答案：4*2+4y2－85*+100=0三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为*轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y≠0)6.解：设P(*0,y0〕(*≠±a),Q(*,y).∵A1(－a,0),A2(a,0).由条件而点P(*0,y0)在双曲线上，∴b2*02－a2y02=a2b2.即b2(－*2)－a2()2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为：a2*2－b2y2=a4(*≠±a).8.解：(1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(*0,y0〕,Q(*1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(*1+c)2+y12=(2a)2.又得*1=2*0－c,y1=2y0.(2*0)2+(2y0)2=(2a)2∴*02+y02=a2.故R的轨迹方程为：*2+y2=a2(y≠0)(2)如右图，∵S△AOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB当∠AOB=90°时，S△AOB最大值为a2.此时弦心距|OC|=.在Rt△AOC中，∠AOC=45°，专题一：求曲线的轨迹方程课前自主练习：1．如图1，中，，，点在轴上方运动，且，则顶点的轨迹方程是．图1图2图3图42．如图2，假设圆：上的动点与点连线的垂直平分线交于点，图1图2图3图4则的轨迹方程是．3．如图3，点，点在圆上运动，的平分线交于，则的轨迹方程是．4．与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为．5．如图4，垂直于轴的直线与轴及抛物线分别交于点、，点在轴上，且点满足，则线段的中点的轨迹方程是．几种常见求轨迹方程的方法：1．直接法：由题设所给〔或通过分析图形的几何性质而得出〕的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．直接法求轨迹方程的一般步骤：建系——设点——列式——代换——化简——检验；【例1】〔1〕求和定圆的圆周的距离等于的动点的轨迹方程；〔2〕过点作圆：的割线，求割线被圆截得弦的中点的轨迹．解：〔1〕设动点，则有或．即或．故所求动点的轨迹方程为或．〔2〕设弦的中点为，连结，则．∵，∴，化简得：．其轨迹是以为直径的圆在圆的一段弧〔不含端点〕．【例2】直角坐标平面上一点和圆：，动点到圆的切线长等于圆的半径与的和．求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．解：如图，设切圆于，又圆的半径，∴，∴，由．设，则，∴，即．可化为．故所求的轨迹是以点为中心，实轴在轴上的双曲线的右支，顶点为，如图．【例4】定圆的半径为，定点与圆的圆心的距离为．又一动圆过定点，且与定圆相切．求动圆圆心的轨迹方程．解：以所在的直线为轴，以的中点为原点建立坐标系，如图．当动圆与定圆外切时，；当动圆与定圆外切时，．由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹应是以、为两焦点的双曲线〔外切时为右支，切时为左支〕．显然，，又，故．所以所求的点轨迹方程是：．3．动点转移法：假设动点随曲线上的点的变动而变动，且、可用、表示，则将点坐标表达式代入曲线方程，即得点的轨迹方程．这种方法称为动点转移法〔或代换法或相关点法〕．【例5】定点、为抛物线，上任意一点，点在线段的中点，当点在抛物线上变动时，求点的轨迹方程．解：设点，且设点，则有．∵点是线段的中点．由中点坐标公式得：，∴．将此式代入中，并整理得：，即为所求轨迹方程．它是一条抛物线．4．待定系数法：当动点的轨迹是确定的*种曲线时，设出这种曲线的方程，然后列方程，求出所设的参数，进而求出方程．如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．【例7】假设抛物线和以坐标轴为对称轴、实轴在轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线被双曲线截得的线段长等于，求此双曲线方程．解：设所求双曲线方程为，将代入整理得：．∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程应有等根．∴，即．由和得：．由弦长公式得：．即．由得：，．∴双曲线的方程是．5．参数法：当动点的坐标、之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示动点的坐标、，从而动点轨迹的参数方程消去参数，便可得到动点的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有的围确定出、的围．【例8】抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于不同两点、，以、为邻边作平行四边形，求顶点的轨迹方程．解：设，：，中点为，，，与联立得：．，，．，．，∵，为中点，∴，．消得：．稳固练习：1．平面上和两相交的定圆〔半径不等〕同时相外切的动圆圆心的轨为〔〕〔A〕椭圆的一局部〔B〕椭圆〔C〕双曲线的一局部〔D〕双曲线2．动点与定点的距离比动点到轴的距离大，则动点的轨迹〔〕〔A〕抛物线〔B〕抛物线的一局部〔C〕抛物线和一射线〔D〕抛物线和一直线3．定直线和外一点，过与相切的圆的圆心轨迹是〔〕〔A〕抛物线〔B〕双曲线〔C〕椭圆〔D〕直线4．一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为〔〕〔A〕圆〔B〕椭圆〔C〕双曲线的一支〔D〕抛物线5．椭圆的焦点是、、是椭圆上的一个动点．如果延长到，使得，则动点的轨迹是〔〕〔A〕圆〔B〕椭圆〔C〕双曲线的一支〔D〕抛物线6．点、，动点满足，则点的轨迹是〔〕〔A〕圆〔B〕椭圆〔C〕双曲线〔D〕抛物线7．与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是〔〕〔A〕〔B〕和〔C〕〔D〕和8．过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于两点、，则线段中点的轨迹方程为〔