2023届高三数学一轮阶段性测试题5平面向量（含解析）北师大版

PAGE1-阶段性测试题五（平面向量）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分.满分1５0分．考试时间1２0分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.AＣ为平行四边形ABCD的一条对角线,eq\o(AB,\s＼up6(→))＝（2，4),eq\o(AC,\s\up６(→）)=(1，3),则ｅq\ｏ（ＡD,\s\up6(→))=(）A．(２,4)ﻩＢ．（3,７)C．(１,1) D.(－１,-1)[答案]D[解析]因为eq＼o(ＡB，\s\up６(→))＝(2,４），ｅq\o（AＣ,\s\ｕp6（→）)＝(1，3),所以eｑ\o(BC,\s\up6(→))=ｅq\o（AC,\ｓ\up6(→）)－ｅq＼ｏ(ＡB，＼ｓ＼up６(→))＝(－1，－１),即eｑ\o(AD，＼s\up6（→))＝eｑ\o(BC,\s\uｐ６(→）)＝（－１,－1).选D．2．(20１4·广东高考)已知向量ａ＝(1,2）,b＝（3,１),则b-a=(）Ａ.(-2,1)ﻩＢ.(2,－1)Ｃ.(２,0）ﻩD．（4，３)[答案]B[解析]本题考查向量的坐标运算．b-ａ＝（3,１)-(1,2)=(2，-1),选C．3.已知O,A,B是同一平面内的三个点，直线ＡB上有一点C，满足2eq\o(AC,\s\up６(→)）＋eq\o(ＣB,\s\up6(→))=0，则eｑ\o(OＣ，＼s\uｐ６（→）)等于()Ａ．2eq＼o(OA,\s\uｐ6(→))－eq\o(OB，\s\uｐ６(→）)ﻩB．-eq\o(ＯA,\s\up6（→))+2ｅq＼o(OB,\s＼uｐ６(→)）C.ｅq\ｆ(2,3)ｅq\o（OA,\s＼up6(→)）－ｅq＼ｆ(1,3)eｑ＼ｏ(OB,\ｓ\up6（→)) D.－eq\f(１,３）ｅq＼ｏ（OＡ,\s\up6（→）)+eｑ＼f（2,３)eq\o（OＢ，\ｓ\uｐ6（→））[答案］A［解析]由题意知eq\ｏ(ＡC，＼ｓ\up6(→))＝-ｅq\o(AB，＼ｓ\up6(→）),故eｑ\o(ＯＣ,\ｓ\ｕｐ6(→))＝eq\o(OＡ,\s＼up６(→))+eq＼o（AＣ,\ｓ\uｐ6(→))=ｅｑ＼o(OA,\s\ｕｐ６(→）)-ｅｑ\ｏ(AＢ，\s\up６（→)）=ｅq\o（OA,\ｓ\up6（→))－(eq\o（ＯＢ,＼s\ｕp６(→))-eq\o(OA,＼s\uｐ6(→)))=2eq\o(OA,\ｓ＼ｕｐ6(→)）-ｅq\o(OB,\s\uｐ6(→)）.4．已知正方形ABCD的边长为1,eq\o(ＡB，\s\up６(→）)＝a,eq\o(ＢＣ,＼s\ｕp6(→))＝b,eｑ\o(ＡC,\s\up6(→））＝c,则|a+b+c|等于（)A.０ﻩB．2eq\ｒ(2）C．eｑ\ｒ(2）ﻩD．3[答案]B[解析]由题意得,ａ＋b＝c,且|c|=ｅq\ｒ(２),∴|a+b+c|=|2c|＝2eq\r(２)．5．已知a=（3，－２)，ｂ＝(1，０)向量λa＋b与a-2b垂直,则实数λ的值为(）A．-eq\f(１,６） B.eq＼f（1,6)C．－eｑ＼f(１,7) D．eｑ\ｆ（1,7)[答案]C［解析］向量λa+b与ａ-2ｂ垂直，则(λａ＋b）(a-２b)＝0，又因为a＝（３,-2），b＝(1,0）,故(3λ+１，-2λ)(1,－２)＝0,即3λ+1＋４λ=0,解得λ=－eq\ｆ(1,７).6.（２０14·四川高考)平面向量a＝(1,2)，ｂ=（4，2）,c＝mａ＋b(ｍ∈R)，且ｃ与a的夹角等于c与b的夹角,则ｍ＝()A.－2ﻩＢ．-１C.1ﻩD.2[答案]D［解析]本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式．c=ｍａ＋b=(ｍ＋4,2m＋２)，a·c＝５m+８，ｂ·c＝８m＋20．由两向量的夹角相等可得ｅq＼f(a·c，|a|)=eｑ\f(b·c，｜b|),即为eq\f(5m+8,\r（5))=eq\f(8ｍ+20,\ｒ（20))，解得m＝２.7.(2015·皖南八校联考）已知Ｄ是△ABC所在平面内一点,且满足(eq\o（BC,\ｓ\uｐ６(→))－eｑ\ｏ(ＣA,\s\ｕp6(→）)）·(eq\ｏ(ＢD,\s＼ｕp6(→))－eq＼ｏ（AＤ,\ｓ\up6(→）))=０,则△ABC是()Ａ.等腰三角形ﻩB.直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形［答案]A[解析］(eq\o(BC,＼ｓ\up６(→))－eq\o(ＣA,\s\up6(→)))·(eq\o(BD,＼ｓ＼ｕp6（→))-eq\o(AD，\s\uｐ6(→）))=(eq\ｏ(BC,＼s\ｕp6(→))-eｑ\o(CA,＼s\up６(→)))·eq\ｏ(BA，＼s\ｕｐ6(→))＝0,所以eｑ\o（BC,\s\up6(→))·eq＼o(ＢＡ,\s\ｕp6(→)）=eｑ\ｏ（CA，\s＼ｕp6(→）)·eｑ＼o(BＡ,\s＼up6(→)），所以acoｓB=bcosA,利用余弦定理化简得a2＝b２,即a＝ｂ，所以△ABC是等腰三角形.8．(２0１5·保定调研）已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点Ｏ不在直线l上，则使等式x2ｅq\ｏ(OA,\ｓ\up６(→))＋xeｑ\ｏ(OＢ,\s\up6(→))＋eq\ｏ(BC,＼s\ｕp6(→))=０成立的实数x的取值集合为()A.{-１}ﻩB.∅C．{0}ﻩD.{0，-1}[答案]Ａ[解析]∵eq\ｏ(BC,\s\up6(→）)=eq\o(OC，\s\up6(→))－ｅq\o(OB,\ｓ\uｐ6(→)）,∴x2ｅｑ＼o(OA,\ｓ\up6（→))＋xeq\o(ＯＢ,\s\up6(→))+eq\o（ＯＣ,\ｓ＼ｕp6(→)）-eq\o(ＯB,＼s\uｐ6（→))=0，即eq＼o(OＣ，\s＼ｕp6（→）)＝-x2eq\ｏ(OA,＼s\uｐ6(→)）＋(1－x)eq＼o(ＯB,\ｓ\up６(→）），∴－x２+(１－ｘ)＝１,即x＝0或x＝－１(x＝0舍去）,∴ｘ＝-1.9.设向量a＝(ｃosα，sinα），b＝(ｃｏｓβ，sinβ),其中０<α<β<π，若|2a＋b|=|a－２b|,则β-α等于()A.eq\f(π，２)ﻩB．－ｅq\f(π,2）C.eq\f（π，4） D．-eｑ＼ｆ（π，4)[答案]Ａ［解析]由|2a＋b｜=|a－２ｂ|知3｜ａ｜２－3|b|2＋8a·b=０.而|a|＝1，|b|＝1,故ａ·b=0,即cos(α－β)=0,由于0<α<β<π，故-π<α-β<0，故β-α＝eq\f（π,2)，选A.1０.△ABC外接圆的半径为1，圆心为O,且2eｑ＼o（OＡ,\s\up6(→))+eq\o(AＢ,\s\uｐ6(→）)+eq\o(ＡC,\s＼up6(→）)＝0,|eq\ｏ(OA,\s\ｕp6(→）)|＝|eｑ\o(AB，\s\up6（→)）｜,则eq\ｏ(CＡ,\s\up6（→))·eq\o(ＣB,＼s\uｐ6(→）)等于()Ａ.ｅq\f(3,2) B．eq＼r(３）C.3ﻩD.2eq\r(3)[答案]Ｃ[解析]由2eｑ\o（OA,\s\ｕp6（→))＋eq＼o(AB,＼s\uｐ6(→))＋eq\o（AC,\ｓ\ｕp6(→))=0，得eq＼o(OＡ，\s＼uｐ6(→))＋eｑ\o（AＢ,＼s\ｕp6（→））+ｅq\o（OＡ,\s\ｕp６(→))＋ｅq\ｏ（AC,＼ｓ＼ｕｐ６(→))＝eq\ｏ(OB,\s\up6(→）)+ｅq\o(OC,\s\up６（→)）=０，所以eq＼ｏ(OB,\s\up6(→))=-eq＼o(OC,＼s\up6(→）)＝eq\o(CＯ，\s\uｐ6(→）），即O是BC的中点,所以ＢＣ为外接圆的直径，ＢＣ=2,则∠BＡC＝90°，因为|eq\ｏ(OA,\s＼ｕp6(→))|=|eｑ＼o(AB，\s\up6（→）)|,所以△ABO为正三角形,所以∠ABO=６0°,∠ACB＝30°，且|AC｜＝eq\r(3),所以eq\o（CA,＼s\up６(→)）·eq\o(CB,\s\up6(→))＝｜ｅq\o(CA,\s\up６(→）)|·|eq＼o(CＢ,\s＼up6（→))|·ｃos30°=2×eq＼r(３)×ｅq＼f（\ｒ（3),2)=３，选Ｃ.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分,共25分，把正确答案填在题中横线上）11.（文)若A、B、Ｃ、D四点共线,且满足eq\o（AＢ,＼s\up６（→））＝(3a,2a)(a≠０)，eq＼ｏ(CD,\s\up6（→)）＝（２,t)，则t=______＿_.[答案]eｑ\f(４,3)[解析]因为Ａ、B、C、D四点共线，所以3ａt－4a=０,又a≠0，所以t=ｅq\ｆ(4，3).(理)已知向量ａ＝(1-ｓiｎθ,１),b＝(eq\f(1,2)，1＋sｉnθ)，若ａ∥B.则锐角θ＝________.［答案］45°[解析]因为a∥b，所以（1-sｉnθ)×（1+sｉnθ)－1×eｑ\f（1,2)＝0,得cos2θ＝ｅq\f(1，2),ｃoｓθ=±eｑ＼f(\r(2),2),锐角θ为θ＝４5°.１2．已知向量ａ=(ｃosθ,siｎθ),向量b=(eｑ＼r(3),-1），则｜2a－b|的最大值、最小值分别是___＿＿＿＿_．［答案]4,0[解析]2ａ-ｂ＝(2cosθ－eq＼ｒ（3)，２sinθ＋1）,｜2a-b｜=eq\r(2cosθ-＼r(3）2+2sinθ+12)=eq\ｒ(8＋4siｎθ－4＼r(3)cosθ）＝ｅq\r(8＋８sｉnθ－\ｆ（π，３)),最大值为4,最小值为０.１3.（2014·重庆高考)已知向量a与b的夹角为６0°,且a=(-2，－6),｜ｂ|＝eq\r(10）,则ａ·b＝＿___＿＿__．[答案]10[解析］此题考查向量数量积的运算.∵ａ=(－2,-6)，∴｜a|=eq＼r(４+36)=2eｑ\r（10），∴a·b＝2ｅq＼r(1０)×eq\r（10)×cos６0°=１0．1４．(2014·江苏高考)如图,在平行四边形ABＣD中,已知ＡB=8，AD=5,ｅｑ\o（CP,\s\up6(→))＝3eq\o(ＰD，\ｓ\uｐ6(→)）,ｅq\o（AP，＼s\up6（→))·eｑ＼o(BP,\ｓ＼ｕｐ６（→)）＝２,则ｅq＼o(AB,\s\up6(→)）·eq\o(AD,\ｓ\up6（→)）的值是________．[答案］2２[解析]本题考查向量的线性运算及向量的数量积．由题意，ｅq\o(AＰ,＼s\ｕp6(→))=eｑ\o（AD,\s\up6(→）)＋eq\o(ＤP，\ｓ＼up6(→))=ｅq\o(ＡＤ，\s\ｕp６(→）)+eq＼ｆ(1,4)eq＼o(AB,\s\uｐ6(→))，eq\ｏ(BP，\ｓ\ｕp6(→)）＝eq＼o（BＣ,\s\ｕp6(→)）＋ｅq\ｏ(CＰ，\s\uｐ6(→))=eq\o（ＢC,\s\up6(→）)＋ｅｑ＼ｆ（３,4)eq\ｏ（CD,\s\up6(→）)=eq＼o（AD，\s＼ｕp6(→）)－eｑ\f(3,4）ｅq\ｏ(AB，\s\up６(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq＼o(BP,\s\up6（→))＝(eq＼o（AD,＼s\up6(→))＋eｑ\f(1,4)eｑ\ｏ(ＡB,\ｓ\up6（→)))·(eｑ\o(AD,＼s\ｕp6(→))-eq\ｆ(３,4)ｅq\o(AB,\ｓ\uｐ6(→））)=eq\ｏ（AD，\s\ｕｐ６(→))2－ｅq＼ｆ(1,2）eq\ｏ(AＤ,＼s\up6(→))·eq\o（ＡB,＼s\up6(→))-eq\f(３，16)eｑ\o(ＡB,\s\up6(→))２，即２＝25－eq\f(1,2)eq\o(AD,\ｓ＼ｕp6(→)）·eq\ｏ（AB,\s\up6(→))-ｅq\f(３,１6）×６４，解得eq\o(AD，\s＼up6(→))·eｑ\o(AB,\ｓ\ｕp６(→）)＝22．借助eｑ\ｏ(ＡＤ,＼ｓ\up6（→))·eｑ\o（AB,＼ｓ\ｕp6(→))表示出eｑ\o（AＰ，\s\ｕp6（→）)·eq\o(ＢP,\s\up６(→))是解决本题的关键所在．15.以下命题:①若|ａ·b|=|a｜·|b|,则a∥b;②a＝(－1,1）在ｂ=(3，４)方向上的投影为eｑ\f(1,5);③若△ABC中，a=5,b＝８，ｃ＝7,则eｑ\o(BC,\s＼up６(→)）·ｅq\o（CA,\ｓ＼up6(→））＝2０；④若非零向量a、ｂ满足|ａ＋b|=|b｜，则|2b|>｜a+2b|.其中所有真命题的标号是__＿＿＿＿＿＿．［答案]①②④[解析]由|a·b|=｜a｜·｜ｂ||ｃos<ａ，ｂ>|=｜ａ|·|b|,所以cｏs＜a，ｂ>=±１,即<a,b>＝0或<ａ，b>=π,所以ａ∥ｂ，所以①正确.a在b方向上的投影为|a｜cos<a,b＞＝eq\ｆ（a·b，｜b|）=eq\f(－3＋4,5)＝eq\ｆ(1，５),所以②正确.cｏsC=eｑ\f(52+82-７2，２×5×8）=eq\f(1,２)，即Ｃ=60°，所以eｑ\ｏ(BC,\ｓ\uｐ6(→))·ｅq＼ｏ（ＣＡ,＼ｓ\ｕp6(→))=|eq\o(ＢＣ,\s\up6(→))｜·｜eｑ\ｏ（ＣA,\s\ｕｐ6(→)）|cos120°=5×8×(－eq\ｆ(1,2))＝－20，所以③错误．由|a＋b|=|b｜得,a２+2a·b=0,即2a·b=－a2，若｜2b｜>|a+2b｜，则有4b2>a2＋4a·b＋４b2,即a2+4ａ·b=ａ2－2a２=-a2＜0，显然成立,所以④正确.综上真命题的标号为①②④.三、解答题(本大题共6个小题,共7５分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1６．(本小题满分12分)已知向量a=(３，－2）,ｂ＝(－2，１），c＝(７,-4)，是否能以a,b为平面内所有向量的一组基底?若能,试将向量ｃ用这一组基底表示出来；若不能,请说明理由.[解析]∵a=（３,-２)，b＝(－２，1).∴3×1-（-2)×(－2）=-1≠0.∴a与b不共线,故一定能以ａ，b作为平面内的所有向量的一组基底.设c=λa+uｂ即(7,－4）＝(3λ,-2λ）+(－2u,u)=(3λ-２ｕ，－2λ＋u),∴eq\ｂ＼lc\｛\rｃ＼(\a＼vs4\ａｌ＼cｏ1(3λ-2ｕ=7,－２λ＋u＝－4）),解得eq\b＼lc\{＼rｃ\(\a＼vs4\al\ｃo1(λ=1，，u＝-２.）)∴c＝a－2B．17.(本小题满分12分)已知向量eｑ\o(OA,\ｓ\up6(→))＝(3,－4),eｑ＼o（OB,\s\up6(→))＝(６，－3），eq＼ｏ(OC,＼ｓ\uｐ6(→))＝（5－m，-3－m).(１）若Ａ、Ｂ、C三点共线,求实数ｍ的值；(2)若∠AＢC为锐角,求实数m的取值范围．［解析]（1)已知向量eq\o(OA,\s＼ｕp6(→))=（3，－4),eq\ｏ（OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，ｅq＼o（ＯC,\s\uｐ6(→)）=（5-m，-(3+m))．∴eq＼o(AB,\s\up6（→))＝(3,1），eq\o（AC，\ｓ\ｕp6（→))=(2-m,1-m),∵A、B、C三点共线,∴eｑ\ｏ（AB，＼s＼up６(→))与ｅq\o（AC,\s\up６(→))共线，∴3（１－ｍ)=２－m,∴m＝ｅｑ\f(1,２).(2)由题设知eq\o(BA,\s\uｐ6(→)）＝（－3,-1）,eq\ｏ(ＢＣ,＼ｓ\uｐ6（→))＝(-1－ｍ,-ｍ)∵∠AＢＣ为锐角，∴eｑ\o(ＢA，\ｓ\ｕｐ6(→))·ｅq\o（BC,\s\up6(→))＝3＋3m＋m>0⇒m＞-eq\f（3,4)又由(１)可知,当m=ｅq＼ｆ(1,2)时，∠ABC＝0°故m∈eq\b＼lc\(＼ｒc\)(\ａ＼ｖs4＼ａl\ｃo1(-\f（3，4），\f(１,2)))∪ｅｑ\b＼ｌc＼(\rｃ\)(\a\ｖｓ4\al＼co１(＼f（1,２),+∞））.１8．(本小题满分1２分)A、Ｂ、C是△ABC的内角，a、ｂ、c分别是其对边，已知m=（2sinB，－ｅq\ｒ(3)）,n＝（coｓ2Ｂ,２cos2eq\f(B,２)-１)，且m∥ｎ，B为锐角.(1)求B的大小；（2）如果ｂ=3,求△AＢC的面积的最大值.[解析](1）∵m∥n,∴2sinB（2cos2ｅq\f(B，2）－1）－（－eｑ＼r(3))ｃoｓ2B=0，∴sin2B+ｅｑ\r(3)cos2B=0,∴2sin(２Ｂ＋eq\f(π，3))=０，∴２B＋eｑ\f（π，3)＝ｋπ(ｋ∈Z）,∴B＝eｑ＼f(kπ,2)-ｅｑ\f(π,6),∵B为锐角，∴B＝ｅq\f(π,３）.(２）由余弦定理，b2＝a２＋c2-2accｏsB，∴9＝ａ２＋ｃ2-ac，∵a２＋c2≥2ac,∴ac≤9.等号在ａ=c时成立,∴S△ＡBC＝ｅq＼ｆ（１,2)acsiｎB≤ｅｑ\ｆ(1,2)×9×eｑ\f(\r(3),2)=ｅｑ\ｆ(9\r(３),4）.故△ＡBC的面积的最大值为eq\ｆ(9\r(3),４).19．(本小题满分１2分)已知向量a，ｂ满足|ａ|＝2，|b|＝1,a与b的夹角为ｅq\f(π,3).（1）求|a＋2b|；(2）若向量a+2b与ｔa＋ｂ垂直,求实数t的值．[解析](1)∵向量ａ，b满足｜a|＝2，｜b|＝１，ａ与ｂ的夹角为eｑ＼ｆ(π,３)，∴|a＋2b|=eq＼ｒ(ａ+2b2)=eq\r(a2+４a·b+4b2)=ｅｑ＼r(4+4×２×1×ｃos\ｆ(π，3)+4)=2eq\ｒ(3).（2)∵向量ａ+2b与ｔa＋b垂直,∴(a＋2b）·(ｔa＋b)=０,∴ta２＋(2ｔ+1)a·b+2b2＝0，∴4t+(2t+1）×2×1×cｏｓeｑ\f(π,3）+2＝0，解得ｔ=－eq\f(１,２).20.(本小题满分13分)如图所示,已知△OCB中，点C是点Ｂ关于点A的对称点,点D是将ｅq\o(OB,\s\ｕp６(→））分成21的一个内分点，DＣ和OA交于点Ｅ,设eq＼ｏ(ＯA,\s\up６(→))=a,eq\ｏ（ＯＢ,＼s\up6(→））＝B.(1)用ａ和b表示向量ｅq\o(ＯC,＼s＼up6(→)),eｑ\o(ＤC，\s＼ｕp6（→));(２)若eq\o（ＯE,\s\ｕp6(→))＝λeq\o(OA,＼s\up6(→))，求实数λ的值．［解析］(1)由题意知，A是BＣ的中点，且eq\o(ＯD,\ｓ\up6（→))=eq\f（２,３)eq\ｏ(OＢ,\ｓ\ｕp6（→)).由平行四边形法则，可得eｑ\o(ＯB,\s\up６(→))＋eq\ｏ（OＣ,＼ｓ\up6(→)）=2eｑ＼o（OA，\s\uｐ6(→)),所以eq\ｏ（ＯC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→)）－eq＼o(OB,＼s\up6(→))＝2a-b，ｅq\o(DC,\s＼up6（→)）＝eq\o(OＣ,＼s\up6(→）)－ｅｑ\o(OD,\s\up６(→))=（2ａ-b)-eq\f(2，3）b=2a－eｑ\ｆ(５,３)B．（2)如题图,eｑ\o(ＥC,\ｓ＼up６(→))∥ｅｑ\o（DC,＼s\up6（→)),又因为ｅq\o(ＥC，\s\up6(→))=ｅq\o(OC,＼ｓ\uｐ６（→)）－eｑ＼o(OE，\ｓ\up６(→))=(2a－ｂ)－λa＝(2-λ)a－ｂ,且eq＼o(DC,\s\ｕｐ6(→）)＝２a－eq＼ｆ（5,3)ｂ,所以eq\f(2-λ,2)=eq＼f(-1，-\f(5,3))，所以λ＝ｅq＼f(4,5）.２1.（本小题满分14分）（文)已知向量ＯＰ＝(2cos(eｑ\f(π,2)+x)，-1)，ＯQ＝(－siｎ(eq\f(π,2)－x),ｃos2x），定义函数f(x)=ＯP·OQ.(1）求函数f(x）的表达式,并指出其最大值和最小值;（２)在锐角△ABC中,角Ａ,B，C的对边分别为a，ｂ,c，且ｆ(A)=1,ｂc＝８,求△ABＣ的面积S.［解析］（1）f(ｘ）＝ＯP·OＱ＝（-2sinx，-1)·（－ｃosx，cｏs２ｘ）=sin2x－ｃｏｓ2x=eq\r（2）siｎ（2ｘ－ｅq\f(π，４）)，∴ｆ(x)的最大值和最小值分别是ｅｑ＼r(2)和－eｑ\r(2).(2)∵ｆ(Ａ)＝1，∴sin(２A-eq\f(π,4)）＝eｑ\f(＼ｒ(２),2).∴2A－eq＼f(π,４)=eｑ\f(π,4)或2Ａ-eq\f（π,4）＝eq\f(3π,4)．∴Ａ＝eｑ\ｆ（π，４)或A=eq\f(π,2).又∵△ABＣ为锐角三角形,∴A＝eｑ\f（π,4),∵bc＝８，∴△A