2023年经济数学基础秋期末复习

《经济数学基础12》期末复习文本

2023-12

考核方式:本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合，成绩由形成性

考核作业成绩和期末考试成绩两部分组成，其中形成性考核作业成绩占考核成绩

的30%,期末考试成绩占考核成绩的70%.

试题类型:单选择题15%,填空题15%,解答题70%.

内容比例:微积分占58%,线性代数占42%

考试时间：90分钟.

复习建议：

1.复习依据：

（1）重点是本复习文本中的综合练习题（与期末复习小蓝本中的综合练习题基

本同样，只是删去了部分非考试重点内容，把这部分内容掌握了，考试就没有问

题）

（2）作业1-4（隐函数求导、微分方程考试不做重点，可略去，

（3）往届考试题

注意:以上三方面的内容反复的较多，所以复习量并不大。

2.虽然试卷中给出了导数、积分公式，但要在复习时通过文本中的练习题故意

识的记记,要把公式中的x念成u,并注意幕函数有两个特例

（（V^）'=—尸，（-'）'=—~f—f=dx-1s[x+C,f—dx—----hC）当公式记，考试时才

2Jxx/J&Jx2x

干尽快找到公式并纯熟应用。导数的计算重点要掌握导数的四则运算法则和复合函

数求导法则;积分的计算重点是凑微分和分部积分法（要记住常见凑微分类型、分部

积分公式）。

3.代数中的两道计算题要给予足够的重视，关键是要纯熟掌握矩阵的初等行变换

（求逆矩阵，解矩阵方程，方程组的一般解，必须要动手做题才干掌握!）

微分学部分综合练习

一、单项选择题

X

1.函数y的定义域是（

lg(x+l)).

A.x>—1B.xw0C.x>0D.x>—1

且x。0

2.下列各函数对中，（）中的两个函数相等.

2x—I

A.f(X)=(y[x),g(X)=X«B.〃x)=』，g(x)=x+l

C.y=In/,g(x)=21nxD./(x)=sin2x+cos2x,g(x)1

设/(X)=L,则/(/(x))=(

3.).

X

1

A.-B.C.x

X2

D.X2

4.下列函数中为奇函数的是（).

r1]x-1

A.y=x1-xB.y=e*+eTC.y=In-------D.y=xsinx

.x+1

5.已知/（x）=一一一1,当（)时,/（%）为无穷小量.

tanx

A.x—>0B.x—>1C.x—>-ooD.X—»+oo

6.当Xf+CO时，下列变量为无穷小量的是（)

__1_

X2sinx

AJB.ln(l+x)C.e?

x+1x

sinx

7.函数f(x)=<%",在x=0处连续，则k=(。).

k,x=0

A.-2B.-1C.lD.2

8.曲线y=在点（0,1）处的切线斜率为（）.

Jx+1

11

A.——C.D.-

22必+1)32必+1)3

9.曲线y=sinx在点（0,0）处的切线方程为（).

1

A.y=xB.y=2xC.y—XD.y--x

2

10.设丁=lg2x，则dy=().

1

A.—drB.drc.qD.-dx

2xxlnlOXx

11.下列函数在指定区间（-8,+OO）上单调增长的是（).

A.sinxB.e*C.X20D.3-x

12.设需求量q对价格”的函数为q（p）=3-2〃,则需求弹性为吗=（）.

A后B一段3-2。

C.

,3-2773-277甯

二、填空题

x+2,;;二。的定义域是

1.函数/(x)=■

x2-l,

2.函数/(x)=ln(x+5)--屋=的定义域是吧

V2—x

3.若函数/(x+1)=x?+2x-5,则f(x)=。。。。

If)V+

4,设/(x)二川-；〃一,则函数的图形关于—对称.

.x+sinx

5.lim------------=・

I00X

6.已知/(x)=1-必工当时,/(x)为无穷小量.

X

7.曲线y=4在点(1,1)处的切线斜率是。。。

注意：一定要会求曲线的切线斜率和切线方程，记住点斜式直线方程

y-y0=f'(x0Xx-x0)

8.函数y=3(x-的驻点是.

9.需求量g对价格p的函数为冢〃)=100、/工则需求弹性为0=2

三、计算题(通过以下各题的计算要纯熟掌握导数基本公式及复合函数求导法则！

这是考试的10分类型题)

1.已知y=2'o'',求y'(x).2.已知/(x)=2、sinx+lnx,求尸(无).

X

3.已知y-cos2A-sin，,求y'(x).4.已知y=In3x+e”,求y'(x).

5.已知y=523，,求V《)；6.设y=e32x+x4,求dy

7.-es,nv+cos5x,求dy.8.设y=tanx3+2-”,求dy.

四、应用题(以下的应用题必须纯熟掌握!这是考试的20分类型题)

1.设生产某种产品x个单位时的成本函数为：C(x)=100+0.25/+6%(万元)，

求:(1)当x=10时的总成本、平均成本和边际成本；

(2)当产量x为多少时，平均成本最小？

2.某厂生产一批产品，其固定成本为2023元，每生产一吨产品的成本为60元，对

这种产品的市场需求规律为乡=1000-10〃((7为需求量，p为价格).试求：

(1)成本函数，收入函数；(2)产量为多少吨时利润最大？

3.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)=20+4g+0.01/(元)，单位

销售价格为。=14-0.01式元/件)，试求：

(1)产量为多少时可使利润达成最大?(2)最大利润是多少？

4.某厂天天生产某种产品q件的成本函数为C（4）=0.5/+36q+9800（元）.为使平均成

本最低，天天产量应为多少?此口寸，每件产品平均成本为多少？

2

5.已知某厂生产q件产品的成本为（7（4）=250+204+^（万元）.问：要使平均成本最

少,应生产多少件产品？

参考解答

一、单项选择题

1.D2.D3.C4.C5.A6.D7.C8.A

9.A10.B11.B12B

二、填空题

1.[-5,2)2.(-5,2)3.X2-64.y轴

6.x-)07.y'⑴=0.58.x=1

三、计算题

，回，/、cosx、,…c-xsinx-cosx…cxsinx+cosx

1.解：y(x)=(2A---------)'=2Aln2----------------------=2AIn2+-----------------

xxx

2.解f'(x)=2XIn2・sinx+2'cosx+—

x

3.解y\x)=-sin2A(2V)Z-cosx2(x2)'=-2Xsin2'In2-2xcosx2

Q12

4.解：y'(x)=31n2x(lnx)'+e—”(—5%)'=--------5e>v

x

2cosxr2COSXr

5.解：由于/=(5)=5In5(2cosx)=-2sinx52cos工In5

一兀

一一.TTjr2cos—

所以y(-)=-2sin--52In5=-21n5

1

31cosc232

6.解:由于y'=2ec°s2，(—sin2x)+；x2所以dy=[2e"(-sin2x)+|x]dx

7.解:由于7=esinA(sinx)r+5cos4x(cosx)r=es,n¥cosx-5cos4xsinx

所以dy=(esinxcos%-5cos4xsinx)dr

2

i3r

8.解：由于y'=——(x3y+2-vln2(-x)z=——^2'x]n2

COSXCOS"X'

3r2

所以dy=(二q-2TIn2)dx

COSX

四、应用题

1.解(1)由于总成本、平均成本和边际成本分别为：

C(x)=100+0.25x2+6xC(x)=—+0.25x+6,U(x)=0.5x+6

X

所以,C(10)=100+0.25x1()2+6x10=185

C(10)=^+0.25x10+6=18.5,Cf(10)=0.5x10+6=11

(2)令心(*)=_考+0.25=0,得x=20(x=-20舍去)

X

由于x=20是其在定义域内唯一驻点，且该问题的确存在最小值，所以当x=20

时，平均成本最小.

2.解(1)成本函数C(g)=60q+2023.

由于q=1000—10/7,即p=100—《4，

所以收入函数R(q)=〃x<7=(1OO-^)^=1OO^-^J<72.

(2)禾I」润函数〃“)=/?(/-C(q)=100^-^2-(607+2023)=40^-^2-2

023

且Z/(4)=(40q4八2023y=40-0.2q

令L，(q)=0,即40-0.2q=0,得q=200，它是L(q)在其定义域内的唯一驻点.

所以，4=200是利润函数〃4)的最大值点，即当产量为20。吨时利润最大.

3.解（1）由已知R=qp=q（14—0.01q）=14q-0.01/

利润函数L=A—C=14q—0.01q2-20-4^-0.01/=10^-20—0.02/

则Z/=10—0.04q,令L'=10—0.04q=0,解出唯一驻点q=250.

由于利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达成最大，

（2）最大利润为

L（250）=10x250-20-0.02x2502=2500-20-1250=1230（元）

4.解由于C（q）=。⑷=0.5q+36+980°（q>0）

qq

即）=（。&+36+幽）,=0.5-智

qq"

令不（幻=0,即0.5—答^=0,得［=140,%=-140（舍去）.

%=140是心（幻在其定义域内的唯一驻点,且该问题的确存在最小值.

所以0=140是平均成本函数心（夕）的最小值点，即为使平均成本最低，天天产量应

为140件.此时的平均成本为C（140）=0.5x140+36+若？=176（元/件）

5.解由于@幻=皿=型+20+且，C(^)=

qq10

(2570+2“。+制q=-25/0+记1

令不(幻=0,即一穹+J_=0,得q=50,%=-50(舍去),

q10

%=50是在其定义域内的唯一驻点.

所以，0=50是心①）的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品.

积分学部分综合练习题

一、单选题

1.下列等式不成立的是（）.对的答案：A

A.eY(ix=d(ex)B.-sinxdx=d(cosv)

C.—1=ix=dyfxD.InxAx=d(-)

2yxX

2.若Jf(x)dx=-e5+c,则尸(x)=(）.对的答案:D

X1X1X

A.-e-2B.-e2C.-e-1D.一中

244

注意：重要考察原函数和二阶导数

3.下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）.对的答案：C

A.jcos(2x+l)drBJxjl-X2dx

x

C.Jxsin2xdrD.dr

1+x2

4.若］7(x)e沁=->+c,则f(x)=().对的答案：C

A.lB--C」D.-

XXX

1

5.若尸（幻是/（©的一个原函数，则下列等式成立的是（）.对的答案：B

A.f/(x)dx=F(x)B.J/(x)dx=F(x)-F(a)

Ja

rb八tb

C.fF(x)dx=f(b)-f(a)D.ff'(x)dx=F(b)-F(a)

JaJa

6.下列定积分中积分值为。的是().对的答案:A

一二

AA.f'-e----6----ax

JT2

rna2

C.(JT+cosx)dxD.f(x+sinx)dx

J-7tJ-n

7.下列定积分计算对的的是().对的答案:D

A.j2xdx=2B.J：dx=15

7t

C.j2^.|sinx|dr=0D.rsinAiir=0

8.下列无穷积分中收敛的是().对的答案：C

9.无穷限积分P-^dx=().对的答案:C

x

二、填空题

1.dje-'dx=.应当填写：e~x'dx

注意:重要考察不定积分与求导数(求微分)互为逆运算，一定要注意是先积分后求导

(微分)还是先求导(微分)后积分。

2.函数/(x)=sin2x的原函数是.应当填写:-gcos2

X+c

3.若f(x)存在且连续，则［Jd/(x)］/=.应当填写:f\x)

注意：本题是先微分再积分最后在求导。

4.若］7(x)dx=(x+l)2+cMJ/(x)=.应当填写：2(%+1)

5.若J/(©(卜=F(x)+c,则卜-"(/)及=.应当填写:-/(e-^+c

注意：j/()d()=F()+。,凑微分/泰=—4叱

6.—fCln(x2+l)dx=______.应当填写：0

dx

注意:定积分的结果是“数值”，而常数的导数为0

7.积分1J;心=。。。应当填写:0

t(%2+1)2

注意：奇函数在对称区间的定积分为0

8.无穷积分/却也是—应当填写:收敛的

三、计算题（以下的计算题要纯熟掌握!这是考试的10分类型题）

1Jjck2

解:———=J(x-2)dx=^x-2x+c

Jx+2

.1.1

sin—sin—

2.计算J：卢dx解：f—"dr-[sin—d(—)=cos—+c

JxJxxX

J茕刁2'、（五）=*2］》

3.计算解:

4.计算jxsinxdx解：jxsinxdx=-xcosx+Jcosxdx=-xcosx+sinx+c

5.计算卜工+l）lnx（ir

解：「x+l)lnxd¥=gJinAZ/(X+1)2=g(x+j('+"

d,r=

x

—(x+1)2Inx——J(x+2H—)dx=—(x4-1)2Inx———x—In九+C

1/2c、iX

一(x~+2x)Inx---------x+c

24

\_

2

6.计算解:exd(—)=-ex=e-e2

x

?1

7f•f--<i,r—f—,^d(l+Inx)-2J1+In

J1xjl+lnxJixjl+lnxJl+Inxh

2(73-1)

n冗n

2_

8.Pxcos2Adx解：[2xcos2Adr=lxsin2x2sin2Adl=

JoJo2

02

n

1c2£

—cos2x

402

fe-I

ln(x+l)dx解:j([ln(x+l)d¥=xln(x+l)|g-1-|JI产

Jo

-,

=e-1-£,(1——^)dr=e-1-[x-ln(x+1)]|Q=Ine=1

注意：纯熟解答以上各题要注意以下两点

(1)常见凑微分类型一定要记住

dx=-d(kx±C),xdx=—dx2,exdx=dex,-^T-dx=-d—,-^=dx=2d\/x,

k2x~xy]x

—dx=dInx,sinxdx=-dcosx,cosxdx=dsinx

x

(2)分部积分：fuv'dx^iudv=uv-vdu,常考有三种类型要清楚。

JaJuaJ。

四、应用题(以下的应用题必须纯熟掌握!这是考试的20分类型题)

1.投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C(x)=2x+40(万元/百

台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均

成本达成最低.

解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为

△C=J：(2x+40)dx=(x2+40x)[=100(万元)

p——「。'(犬)心+7/+4Gx+3636

又C(x)=---------------=-----------------=x+40+—

XXX

令弧'=1_?=0,解得x=6.x=6是惟一的驻点，而该问题的确存在

使平均成本达成最小的值。所以产量为6百台时可使平均成本达成最小.

2.已知某产品的边际成本C(x)=2(元/件)，固定成本为0,边际收益网(©=12-0.02

x,问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发

生什么变化？

解：由于边际利润L'(x)=R'(x)—C'(x)=12-0.02x-2=10-0.02x

令U(x)=(),得x=500；x=500是惟一驻点，而该问题的确存在最大值.

所以，当产量为500件时，利润最大.

当产量由500件增长至550件时，利润改变量为

AL=£jl0-0.02^)dx=(10x-0.01x2)|^=500-525=-25(元)

即利润将减少25元.

3.生产某产品的边际成本为C'(x)=8x(万元/百台)，边际收入为尺(x)=100-2x(万元

/百台)，其中*为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2

百台，利润有什么变化？

解：L'(x)=R'(x)-C'(x)=(100-2^)-8x=100-10x

令Z/(x)=O,得光=10(百台);又尤=10是L(x)的唯一驻点，该问题的确存

在最大值，

故x=10是L(x)的最大值点，即当产量为10(百台)时，利润最大.

2

又△A=J'^(^dr=J'"(l00-10x)dx=(100x-5x)|'('=-20

即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.

4.已知某产品的边际成本为C'(q)=4q-3(万元/百台)，q为产量(百台)，固定成

本为18(万元)，求最低平均成本.

解：由于总成本函数为C(q)=J(4q-3)dg=2q2_3q+c

当“=0时，C(0)=18,得c=18;即C(q)=2/-3q+18

又平均成本函数为A(q)=逊=2q-3+电

qq

令A⑷=2-至=0,解得4=3(百台)，该题的确存在使平均成本最低的

q-

产量.

所以当g=3时，平均成本最低.最底平均成本为A(3)=2x3-3+9=9(万

元/百台)

5.设生产某产品的总成本函数为C(x)=3+x(万元)，其中x为产量，单位：百吨.销

售x吨时的边际收入为R(x)=15-2x(万元/百吨)，求：(1)利润最大时的产量;

(2)在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？

解：⑴由于边际成本为C'(x)=l,边际利润L'(x)=R'(x)-C'(x)=14-2x

令L'(x)=O,得x=7；由该题实际意义可知x=7为利润函数L(x)的极大值

点，也是最大值点.因此，当产量为7百吨时利润最大.

(2)当产量由7百吨增长至8百吨时，利润改变量为〃=，(14口如=(1叔-f=

1(万元)

即利润将减少1万元.

线性代数部分综合练习题

一、单项选择题

1.设A为3x2矩阵，B为2x3矩阵，则下列运算中()可以进行.

对的答案:A

A.ABB.ABrC.A+BD.HV

2.设为同阶可逆矩阵,则下列等式成立的是()对的答案:B

A.(AB)X=A'BrB.(AB)V=BrAr

C.(AB7Y1=A-'(5T)-'D.(A/)-=

注意：转置矩阵、逆矩阵的性质要记住

3.以下结论或等式对的的是().对的答案:C

A.若均为零矩阵，则有A=8B.若AB=AC,且AwO,则B=C

C.对角矩阵是对称矩阵D.若则A3。。

4.设A是可逆矩阵，且A+AB=/,则A-1=().对的答案:C

A.BB.1+BC.I+BD.(I-AB)-'

注意：由于A(I+B)=1,所以A--I+B

5.设A=(l2),5=(-13),/是单位矩阵，则A3-/=().

对的答案:D

-13-1-2-2-2-23

A.B.C.D.

-263635-25

120-3

6.设A-00-13，则/4)=().对的答案:C

24-1-3

A.4B.3C.2D.l

1326

0-1314

7.设线性方程组AX^b的增广矩阵通过初等行变换化为，则此

0002-1

00000

线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（）对的答案:A

A.1B.2C.3D.4

项+/=1解的情况是（

8.线性方程组).对的答案:A

4-x2=0

A.无解B.只有0解C.有唯一解D.有无穷多解

9.设线性方程组4,*“X=6有无穷多解的充足必要条件是（).

对的答案:D

A.r(A)=r(A)<mB.r(A)<nC.m<nD.r(A)=r(A)<n

10.设线性方程组=有唯一解，则相应的齐次方程组AX=。（).

A.无解B.有非零解C.只有零解D.解不能拟定

对的答案：C

二、填空题

-23-1

1.若矩阵/=[-12],B=\2-31],则与6=.应当填写:

4-62

2.设均为〃阶矩阵，则等式（A-8）2=却-245+1成立的充足必要条件

是应当填写:A6是可互换矩阵

102

3.设A=a03,当“=时，A是对称矩阵.应当填写：0

23-1

4.设A,B均为〃阶矩阵，且（/-B）可逆，则矩阵A+8X=X的解X=

应当填写：（/一8）-以

网丁0有非零解，贝应当填写：-1

5.若线性方程组

X]+AX2=0

6.设齐次线性方程组4"x"X〃xi=o，且秩（/）=r<n,则其一般解中的自由未知量

的个数等于.,应当填写:〃_r

1-123

7.齐次线性方程组AX=O的系数矩阵为A010-2则此方程组的一般解

0000

为.

X]=-213一

应当填写:（其中当,匕是自由未知量）

.X2

三、计算题（以下的各题要纯熟掌握！这是考试的15分类型题）

012

1.设矩阵A114，求逆矩阵A,

2-10

解:由于(X/)=

012100114

114010012

2-100010-3-8

1140I011-21

01210001-21

0013]_00

11

-2~2,'2.

2-11

所以4-2

-3/21-1/2.

注意:本题也可改成如下的形式考:

例如：解矩阵方程AX=B，其中

-012'-1

A=114,B=0，答案：X=AP=

2-10_-]

-012'1'

又如：已知A=114,B=0，求A-y

2-10-1

-113

2.设矩阵A=1-15，求逆矩阵(/+A)1

1-2-1

-10o---113-013-

解:由于/+A=010+1-15=105且

0011-11-20

01310O-105010"05010100-106-5-

105010->0131000I3100010-53-3

1-200010-2-50-110012-110012-11

-106-5-

-1

所以(/+4)=-53-3

2--11

11,,

17-3

3.设矩阵A0—2,3=：、二，计算(BA)I

0-12

20L」

1

12-3-5-3-

解：由于&4=-2

0-12J42

0

(BA

1

所以(BA)।

-2

122

4.设矩阵A、B，求解矩阵方程X4=6.

3523

121021010-5212-52

解：由于->即

35010-1-31013-1353-1

121212T-5210

所以X=

2335233-1-11

+2x、——0

5.求线性方程组＜-玉+々-3当+2%4=0的一般解.

2元]一九2+5X3-3^4=0

10