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中国科学院大学2013～2014第一学期随机过程讲稿孙应飞§1母函数（生成函数）简介对于取值非负整数的随机变量，其母函数有极其良好的性质且又便于计算和分析，因此引入母函数是非常必要的。母函数又称生成函数(Generatingfunction)。母函数的定义定义：对于数列，称幂级数为的母函数。定义：设为取值于非负整数随机变量，分布率为，则称 为随机变量的概率母函数，简称母函数。一些常用分布的母函数若，则若，则若，则母函数的基本性质（1）的母函数与其分布率是一一对应的，且有（2）设非负整值随机变量相互独立，而分别是它们的母函数，则的母函数为：（3）设随机变量的母函数为，则有：（a）（b）母函数的应用设独立同分布，且，求的分布。设独立，且，证明。设独立，且，证明。§2特征函数特征函数的定义定义：如果均为概率空间上的实值随机变量，则称为一复随机变量，且定义复随机变量的数学期望为。由以上定义，有。定义：若随机变量的分布函数为，则称：为随机变量的特征函数（c.f.）特征函数其实就是随机变量函数的数学期望。特征函数的简单性质（1）由于，所以对任意随机变量，特征函数都有意义（2）特征函数是一实变量的复值函数（3）特征函数只与分布函数有关，因此又称为某一分布的特征函数（4）若的特征函数为，则的特征函数为函数（5）（6）对离散型的随机变量，其分布率为，则其特征函数为，若是连续型随机变量，概率密度为，则其特征函数为。2．几种常见分布的特征函数若，则若，则若，则特征函数的性质性质1，且。性质2在上一致连续性质3若存在，则对于，阶可导，且特别有性质4具有非负定性，即对于任意的正整数及任意的实数与复数，总有：性质5设相互独立，分别为它们的特征函数，则的特征函数为特征函数与分布函数的关系定理1：分布函数到特征函数的变换是一一对应的。定理2：分布函数序列与分布

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