对角互补和角含半角旋转作业

年中考 在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．若α=60∘且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB答 ∠CDB=30∘解 ∠CDB=30∘考 几何初步角角的计算与证在图2中，点P不与点、M重合，线段CQ的延长线与射线M交于点D，猜想∠C的大小（用含α的代数式表示），并加以证明．答 ∠CDB=90∘−α解 猜想：∠CDB=90∘−α证明：如图2，连结AD，PC∵BA=BC，M是AC∴BM⊥AC∵点B，P在直线BM∴PA=PC，DA=DC又∵DP∴△ADP≌△CDP∴∠DAPDCP，∠ADPCDP．又∵PA=PQ为公共边，∴PQ=PC∴∠DCP=∠PQC∴∠DAP=∠PQC∵∠PQC+∠DQP=180∘∴∠DAP+∠DQP=180∘在四边形APQD中，∠ADQAPQ180∘∵∠APQ=2α∴∠ADQ=180∘−2α∴∠CDB=1∠ADQ=90∘−α2考 几何变换图形的旋转旋转全对于适当大小的α，当点P段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α答 60∘．解 α<60∘考 几何变换图形的旋转旋转全在等腰直角△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，M是AB的中点，点P从B出发向C运动，MQ⊥MP交AC于点Q，试说明△MPQ的形状和面积将如何变化．答案 △MPQ是等腰直角三角形，在P的运动过程中形状不变．当点P从B出发到BC中点时，面积由大变小；当P是BC中点时，三角形的面积最小；P继续向点C运动时，面积又由小变大．解 连接．因为AC=BC且∠ACB=90∘，所以∠B=45∘因为M是AB的中点，所以∠AMC=∠BMC=90∘，∠ACM45∘且CMBM∠ACM=∠B因为MQ⊥MP，所以∠QMC=90∘−∠CMP= ，所以△QCM≌△PBM，所QMPM．因此△MPQ是等腰直角三角形，在P的运动过程中形状不变．△MPQ的面积与边MP的大小有关．当点P从B出发到BC中点时，面积由大变小；当P是BC中点时，三角形的面积最小；P继续向点C运动时，面积又由小变大．考 三角形直角三角形等腰直角三角形几何变换图形的旋转旋转全如图所示，在四边形ABCD中，∠ADCABC90∘，ADCD，DP⊥AB于P，若四边形ABCD的面积是16DP答 DP=4解析 如图，过点D作，延长BC交DE于点E，容易证得△ADP≌△CDE（实际上就是把△ADP逆时针旋转90∘，得到正方形DPBE）．∵正方形DPBE的面积等于四边形ABCD面积为∴DP=4考 四边形正方形正方形的判定几何变换图形的旋转旋转全在五边形ABCDE中，已知AB=AE，BCDE=CD，∠ABCAED=180∘AD．求证：AD平分答 解 连接AC由于ABAE，∠ABCAED180∘以A为中心，将△ABC逆时针旋转到△AEF∵AB=AE∴B点与E∠AEF+∠AED=∠ABC+∠AED= ∴D、E、F在一条直线上，C点旋转后落在点FAF=AC，EF=BC∴DF=DE+EF=DE+BC= 在△ACD与△AFD∵AC=AF，CD=FD，AD=AD故△ACD≌△AFD因此∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE考 几何变换图形的旋转旋转全在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点答 ∠BAO=45∘解 直线y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点∴A(−6,0)，B(0,6)∴OA=OB∴∠BAO=在△AOB中，∠AOB90∘∴∠BAO=∠ABO=45∘考 一次函数与坐标轴交点函数一次函如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点Q在AD上，连结PQ，过PPF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．求证：PF=P答 解 在等腰直角三角形APD中∠PDA=90∘，DA=DP，∠1=∠APD=45∘∴DP⊥AD于由（1）可得∠BAO45∴∠BAO∠1PG⊥x∴PG=PD∴∠AGP=∠PGF=∠D=90∘∴∠4APDDPG90∘．即∠3GPQ=90∘．又∵PG=PD∴∠2=∠3在△PGF和△PDQ⎪⎪∠PGF=⎪∠2=∴△PGF≌△PDQ∴PF=PQ考 几何变换图形的旋转旋转全如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由．答 OP⊥DP，OP=DP解 延长DP至H，使得PH=PD∵P为BE∴PB=PE在△PBH≌△PEDPB=

∠1=PH=∴△PBH≌△PED∴BH=ED∴∠3=∠4∴BH//ED在等腰直角三角形ADE中，AD=ED，∠DAE=∠DEA=．∴AD=BH，∠DAE+∠BAO=∠DAO=90∘∴DE//x轴，BH//x轴，BH⊥y∴∠DAOHBO90∘．由（1）可得OA=OB．在△DAO和⎪⎪∠DAO=OA=∴△DAO≌△HBO∴OD=OH，∠5=∠6∵∠AOB=∠5+∠DOB=90∘∴∠DOH=∠6+∠DOB=90∘∴在等腰直角三角形△DOH∵DH=HP∴OP⊥DP，∠7=1∠DOH=45∘2∴∠ODP=∠7∴OP=DP考 几何变换图形的旋转旋转全6.其E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=45∘，AH⊥EF，H为垂足．求证：AH=AB．答 解 延长CB至G，使BG=DF，连结易证△ABG≌△ADF，∠BAG= ，AG=AF再证△AEG≌△AEF，全等三角形的对应高相等（利用三角形全等可证得），则有AH=．考 三角形全等三角形全等三角形的性质全等三角形的判定几何变换图形的旋转旋转全 学 月海淀区附中初三上学期月考 年海淀区初三一模 学年朝阳区师范大学朝阳附属中学初三上学期期中第10题3P是以BB=25P旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径AB分别相交于C、D两点．设线段AD的长为x，线段C的长为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）． 答 解析 由角中半角可知，AC2+BD2=CD2，AD=x，BC=y，AB=2，AC=2−y，BC=2−x，CD=x+y−2， 4−4y+y2+4−4x+x2=x2+y2+4+2xy−4x− 22y ，(1⩽x⩽2)x考 函数函数基础知识动点问题的函数图象三角形相似三角形相似三角形的性遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45∘，连结EFEF=BEDF是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．方法是将△AE绕着点A逆时针旋转90∘得到△AG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90∘，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45∘．若 关系时，仍有EF=BE+DF答 如图4，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45∘，若BD=1，CE=，求DE答案 DE=√5．解析 ∵AB=AC，∴把△ABD绕A点逆时针旋转90∘至△ACG，可使AB与AC∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG∵△ABC中，∠BAC90∘∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=．即∠ECG90∘∴EC2+CG2=EG2在△AEG与△AED∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90∘−∠EAD=45∘=．又∵AD=AG，AE=AE∴△AEG≌△AED∴DE=EG又∵CGBD∴BD2+EC2=DE2∴DE=√5考 几何变换图形的旋转旋转全如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF=45∘，连接EF，则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD．连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足MN2=BM2+DN2答 MN2=DN2+BM2，证明见解析解 在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90∘∠ABM=ADN=45∘把△ABM绕点A逆时针旋转90∘△ADM′．连结NM′．则DM′=BM，AM′AM∠ADM′=∠ABM=∵∠EAF=45∘∴∠BAM+∠DAN=∠DAM′=∠DAF=∠M′AN=∠MAN=∴△AM′N≌△AMN∴M′N=MN

，∠DAM′=∠BAM，，．在△DM′N中，∠M′DN=∠ADN+∠ADM′= M′N2=DN2+DM′2∴MN2=DN2+BM2考 几何变换图形的旋转旋转全在△ABC中，AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点．如图2，当∠BAC=60∘，∠DAE=30∘时，BD、 答 DE2=BD2+BD⋅EC+EC解 考 几何变换图形的旋转旋转全在△ABC中，AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点．如图3，当∠BAC=α(0∘<α<90∘)，∠DAE=12时，BD、DE、CE应满足的等量关系 答 解 考 三角形锐角三角函数解直角三角形几何变换图形的旋转旋转全如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD∠MBN 1∠ABC，试探究线段MN，AM，CN2答案 猜想的结论：MN=AM+CN．解析 MN=AM+CN．考 几何变换图形的旋转旋转全如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180∘，点M，N分别在DA，CD∠MBN 1∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN2答案 猜想的结论：MN=CN−AM，证明见解析．解析 猜想的结论：MN=CN−AM 在NC截取CF=AM，连接BF∵∠ABC+∠ADC=180∘∴∠DAB+∠C=180∘又∵∠DABMAB180∘∴∠MAB=∠C∵AB=BC，AM=CF∴△AMB≌△CFB∴∠ABM=∠CBF，BM=BF∴∠ABM+∠ABF=∠CBF+ 即∠MBF=∠ABC∵∠MBN=1∠ABC2∴∠MBN=1 2即∠MBN= 又∵BNBN，BMBF∴△MBN≌△FBN∴MN=NF∵NF=CN−CF∴MN=CN−AM考 几何变换图形的旋转旋转全在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60∘，∠BDC=120∘，BD=CD．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时 、MN之间的数量关系 ；此时QL．答 1．MN=BM+2．3解 MN=BM+CN，Q=2 考 几何变换图形的旋转旋转全如图2，当点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以答案 解析 如图，延长AC至E，使得CE=BM，连接DE∵BD=CD，∠BDC=120∘∴∠DBCDCB30∘．又∵△ABC∴∠MBD=∠NCD=90∘在△MBD与△ECD⎪BM=⎨∠MBD=∠ECDBD=∴△MBD≌△ECD(SAS)∴DM=DE，∠BDM=∠CDE∴∠EDN=∠BDC−∠MDN=60∘ 在△MDN与△EDNDM=∠MDN= DN=∴△MDN≌△EDN(SAS)∴MN=NE=BM+ △AMN的周长Q=AM+AN+MN=AB+ ∴Q=2 考 几何变换图形的对称轴对称全等图形的旋转旋转全如图3，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q (用x、L表示答

=2x+3解析 如图，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=2x+2L．3考 几何变换图形的对称轴对称全等图形的旋转旋转全在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0∘<α<180∘，连接．（1）如图1，当∠BAC=100∘，α=60∘时，∠CBD的大小 答 （2）2，当∠BAC100∘，α20∘时，求∠CBD答 ∠CBD=30∘解 如图作等边△AFC，连结DF、BF∴AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC= ∵∠BAC=100∘，AB=AC∴∠ABC=∠BCA=40∘∵∠ACD=20∘∴∠DCB=20∘∴∠DCB=∠FCB=20∘．∵AC=CD，AC=FC∴DC=FC∵BC=BC∴由①②③，得△DCB≌△FCB∴DB=BF，∠DBC=∠FBC∵∠BAC=100∘，∠FAC=60∘∴∠BAF=40∘∵∠ACD=20∘，AC=CD∴∠CAD=80∘∴∠DAF=20∘∴∠BAD=∠FAD=20∘．∵AB=AC，AC=AF∴AB=AF∵AD=AD∴由④⑤⑥，得△DAB≌△DAF∴FD=BD∴FD=BD=FB∴∠DBF=60∘∴∠CBD=30∘考点 三角形全等三角形全等三角形的性质全等三角形的判定几何变换图形的对称轴对称全等图形的旋转旋转的性质（3）∠BAC的大小为m（60∘<m<120∘），若∠CBD的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α答 年门头沟区初三一模 学年月石景山区九中初三下学期月考 已知：在△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点ABC边的直线交于点如图1，当α=60∘时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关 答 BD=解 BD=AE考 三角形全等三角形全等三角形的性质全等三角形的判如图2，当α=45∘时，判断线段BD与AE答案 BD=√2AE，证明见解析．解析 BD=√2AE．过点D作DF//AC，交BC于F∵DF//AC∴∠ACB=∠DFC∵∠ABC=∠ACB=α，α=45∘∴∠ABC=∠ACB=∠DFB= ∴△DFB∴BD=DF=√2BF2∵AE//BC∴∠ABC+∠BAE=180∘∵∠DFB+∠DFC=180∘∴∠BAE=∠DFC∵∠ABC+∠BCD= ，∠ABC=∠CDE=α∴∠ADE=∠BCD∴△ADE∼△FCD∴AE=AD ∵DF//AC∴BD=AD ∴AE=BD=√2 ∴BD=√2AE考 三角形相似三角形相似三角形的性质相似三角形的判 表示，其中0∘<α<90∘）答 解 关系：BD2cosαAE考 三角形相似三角形相似三角形的性质相似三角形的判年密云县初三一模 如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；答案 α=30∘．解 ∵DC//EF∴∠DCD′=∠CD′E=α∴sinα=CE=CE=1 ∴α=30∘考 三角形直角三角形含30°角的直角三角形几何变换图形的旋转旋转的性如图2，G为BC中点，且0α90∘，求证：GD∵G为BC∴GC=CG′=CE=1，，∴∠D′CG=∠DCE′又∵CDCD ≌△E′CD∴GD′=E′D考 三角形全等三角形全等三角形的性质全等三角形的判小长方形CEF绕点C顺时针旋转一周的过程中，DC′与△C′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．答 能，α=135∘或α315∘．解 能，α=135∘或=315∘考 几何变换图形的旋转旋转全等旋转与几何最在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形 如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH．答案 解析 ∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，又∵点N与点G重合，点M与点C重合∴FB=BM=MG=MD=∴△FBM≌△MDH∴FM=MH∵∠FMB=∠DMH= ∴∠FMH=90∘∴FM⊥HM考 四边形正方形正方形的性

，∠FBM=∠MDH=90∘将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证 MH是等腰直角三角形答 解 连接MB、MD，如图，设FM与AC交于点P∵BDM分别是ACCEAE∴MD//BC且MD=BC且MBCD=

；MB//CD．∴四边形BCDM∴∠CBM=∠CDM．又∵∠FBP=∠HDC∴∠FBM= ∴△FBM≌△MDH∴FM=MH，且∠MFB=∠HM ∴∠FMH=∠FMD−∠HMD=∠APM−∠MFB=∠FBP= ∴△FMH考 几何变换图形的旋转旋转的性质旋转全将图2中的CE缩短到图3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗