1c1407学院乔企业退休职工金模型

本文研究了我国养老的相关问题，解决了题目中四个问题。首先，通过现有的工资数据以及对工资的增长趋势的分析，建立工资对时间的Logsticy

a

用人均国民生产总值到二十一世纪中叶的目标值求出参数a的值运用数学软对工资历史数据进行回归得到模型2011~2035

310.0065e0

，合理地预测出了算出个人账户；计算缴费指数得到基础；最后得到替代率，用代入数值求解出六种不同段情况下的替代率。、用养老基金总额的值得到的收支平衡计算，运用数学软件，计算出三种情况的养老基金缺口值以及收支平衡职工应领取的年限、Logstic回归模型线性回归替代率收支平衡仿真资格，以货币形式支付的待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要.（我国企业职工基本养老实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企一定比例（8%）缴纳到个人账户.这两个账户我们合称为养老基金.退休后，按职工年的社会平均工资等因素从社会统筹账户中拨出基础加上个人工资账户中一定比例的（个人账户，作为退休后每个月的.会随着社会平均工资的调整而调整.如果职工社会统筹账户中的不退给职工个人账户中的余额可继承.个人账户额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，3%.（经济增长相关.3021世纪中叶使我国人均国民生产现在我国养老正处于过渡期.养老管理的一个重要的目标是养老基金的收支平衡它关系到社会稳定和化社会的顺利过渡.影响养老基金收支平衡的一个重要因素是替代率.替代率是指职工刚退休时的占退休前工资的比例.按照国家对基本养老制度的总体思路未来基本养老的目标替代率确定为58.5%.替代率较低，退休职工的生活水准低，养老基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老基金收支平衡较难维持，可能出现缺口.所谓缺口是指当养老基金入不敷出时出现的收支之差.附件1是山东省职工平均工资数据；附件2是2009年山东省某企业各段职工的工资分布情况，附件3是的计算办法.请建立数学模型，解决如下问题：1，20112035问题二：根据附件2计算2009年该企业各段职工工资与该企业平均工资之比200030岁、40岁开始缴养老，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁，计算各种情况下的养问题三假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老一直缴费到退（55岁，60岁，65岁并从退休后一直领取，至75岁.计算养老基金之间达到收支平衡 2.112 段的工资为各段工资范围的平均3、 阶段的缴费指数相4、不考虑社会统筹基金的亏损状况，其率为银行的利5、求缺口时把社会统筹基金和个人账户基金看成整体支61.2

符 符号说额 领取年 退休前第i 退休前第i3.1工资的发展是和经济密切相关的。自开放之后，我国经济飞速发展，最近几十.我们作出山东省职工平均工资与时间的散点图如下图1所示：xx山东省职 平均工资与时间的散点3w2w10 图1山东省职工平均工资与时间的散点121世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平.所以在未来的几十年内我国工资会增长较快，但经济发展到一定程度之后，发展速度会减慢，以避免出现经济.工资的增长又与经济增长相关，所以工资达到一定值后工资的增长率将会减小.S型曲线来反应这种规律.下面我们选定Logstic模型来反映山东省职工工资的增长情况.1ya

y1，y的极限值放映的是工资的趋 ，我国的经济目标a1a通过在国家上的查询，我们可以得到1978年到2010年GNP(即人均国民生产总值)GNP2，程序见附录1

x3y2y10

x图 GNP与职工年平均工资从图2中可以看出，山东省职工平均工资与GNP存性关系，设它

下面我们采用回归分析求出式(2)中的参数u

1u[- v R2

F

p0R20.99691FFp远远小于，说y的具体表达式为y1.12GNPGNP与平均工资的回归图像如下图3所示

x3Y2Y10 图 GNP 工资的拟合[2]，我们得 兑换美金的兑换率为 元.那么到21世纪叶，我国人均国民生产总值(GNP)要达到80006.3886

GNP代入(311.125110989.07 元a那么a

.代入(1式中，然后求Logstic求Logsticbc19782010(1中，求出了bc的初始值，bc的初始值为b00.0020c00.1515bc的求法见附录程2.有了bc的初始值之后，我们对Logstic模型进行回归分析，求出bc2所列.具体的程序见附录2Logstic参 参数估计 置信区bc那么Logstic

310.0065e0资，具体3319782010Logstic42100图 原始数据与Logstic回归曲线4Logstic回归模型可以用2035表 预测工根据题目意思，替代率SA为职工刚退休时的A与退休前工资c1的为求A，我们通过的计算方法可知，要想得出，必先得出基础养老FU与个人账户PE,其中要求的基础必先求得缴费指数，其次通过对全省上年度在岗职工月平均工资的计算以及基础的计算可得基础.而要想求得个人账户，则必先算出个人账户额，通过对个人账户的理解我们可知个人账户额使职工个人工资按一定比例缴纳到个人账户的，在计算出个人账额后，我们可以通过查找计发月数表从而算出个人账 FU与个人账户PE相加可求得根据 替代率SA.我们可 是由基础FU与个人账户PE组成而个人账户养PE额PAgnPEPA.通过分析，PA员按退休前1年、2年、、m年社会平均工资的r2缴纳到个人账户的，每年的利率统一设定为r.可得：mPAcr(1m

mi2cr(1mi2PE

由题目附件3中个人账户计发月数表和表3的数据,运算程序4计算出个人账PE. 基础1xi平均工资缴费工资指数等于建立个人账户当年至职工退休前一年时本人理念缴费工资指数的平均值，等于xmx1xm

m

20-25-530-35-40-45-50-55- 20-25-530-35-40-45-50-55-c0.66920.79000.98251.03691.17281.26661.2087ci根据表5可以拟合出60-64岁段平均收入与该企业平均工资之在计算的过程中我们需要用到60-64岁段缴费指数(段20-24岁我们用1费指数对段的散点图，如图5所示.1 图 段指数对段的散点根据图5，我们假定比值 段存在二次函数关系，设该函数表达式为rT2T

其中，,,为函数r的参数.运 6，6(5)-[- - R20.97101FFp远远小于，说明回归的效果很好。由上可得r的具体表达式为

610

6根据式(8)符合要求.代入T=9则60-64岁的段平均收入与该企业平均工资之比1.1122.表760-64 段缴费指 60-cci通过表5表7的数据以 2、基础基 FU与全省上年度在岗职工月平均工资c1、本人指数化月平均缴Sm有关，其关系为：FU(c1/12S)m2

又因为能够正确反映“本人指数化月平均缴费工资”指标的计 为xc1xc1

cx1x2 xm

c

cS m m

（9（10，FUc1*(1)m

99A为基础FU与个人账户PE之和，即AFU AA根据表4和表9的数据，则先得到AA替代率SA为职工刚退休时的A与退休前工资c1的比例，mcr(1mc*(1 m1%i1 SAA

从上表中我们可以看出，当开始缴费TS不变时，退休的TR越大，替代率SA越标替代率，当退休的TR不变时，开始缴费SA越大，替代率SA越小.所谓缺口，是指当养老基金入不敷出时出现的收支之差.据此我们要算出职工退休前缴纳的所有总和——即缴纳总金额BC，和退休后领取取的所有总和SUM.而要想求得缴纳总和BC，则必须算出职工开始缴费TS到退休TR期间的每一年个人账户额与社会统筹基金额，而我们知道，在银行的每一年都会得到相应的利息因此我们也要考虑到利息对退休前缴纳总BC的影响.而要想求得退休后所取的所有总和SUM,则必须知道个人账户和基础养老金.我们知道个人只于个人账户额有关，当个人账户额不变时，每领取个人账户不会变.基础与全省上年度在岗职工平均工资SCi有关因SCi是变化，所以基础每年都在变化.为此，我们要算出每年的基础.当别求得个人账户和基础之后，即可得出退休后所取的所有总和SUM.又因为当职工退休后，每年取得所剩余的账户还有一定的利息，而它将与其它剩余账户最为第二年的本息.因此，我们根据递推即可得出养老基金职工退休前缴纳的所有总1、个人账户个人账户额PA为职工开始缴费TS到退休期间TR的每一年按一定比例缴纳到 mPAcr(1m

2、社会统筹基金社会统筹基金额SP为职工开始缴费TS到退休期间TR的每一年按一定比例缴纳到社会统筹基金账户的与利息之和. SPci1r3、职工退休前缴纳的所 总

职工退休前缴纳的所有总和(BC)为个人账户额(PA)与社会统筹基金 BCSPPAci1rr1cir2(1

通过代入数据运算，得到职工退休前缴纳的所有总和结果如表12，运算程序7.表表12职工退休前缴纳的所 总和 退休后所取的所有总每月职工所领取的包括个人账户和基础，其中个人账户基

2第i 总和为 SC1 SUM PE m1% i1 其程序见附录程序 ，退休后所取的所有总和结果如表表13退休后所取的所有总和所谓缺口(K)，是指当养老基金入不敷出时出现的收支之差. 所剩余额:BCA1第二年缴 第三年缴费账户所剩余额BCA1rA1rA=BC1r2A1r2A1r 2

第i（即KBC1r

ii

14，表14 段缺口情况 - K0表 收支平衡时所需的年退休的人会出现多余，多余为14.6580万元；65岁退休的人也会出现多余多余为32.9180万元.这说明当开始缴的TS一定时退休的TR题目要求既要达到目标替代率，又要维持的收支平衡，根据问题二与问题三休.下面我们分情况讨论各种情况退休TR的影由问题二中的目标替代率SAmcr(1m(c/12S) m1%i1 SAA1

SA m

c

cr(1cr(1m 1由于缴费等于退休减去缴费起始，即mTRTS.由于开始缴费一定，当退休增大时，缴费年限也随之增大；反之，则减小.所以替代率SA与退休TR存在正比关系。收支平衡即养老基金与领取的养老金相等.下式为缺口额（缺口额为0就维持养老基金收支平衡， KBC1ri1A1ri1A1r 其中i为领取 的年数，领取的年数为TW减去退休TR，即iTWTR.由于 一定退休TR增大时，i减小领取的额就少，剩余就增多；当退休TR减小时，i增大，领取的额就多，剩余就减少.所以退休与剩余之间存在正比关系.当其他量不变时，只改变退休，运行附录程序9,10的 程序，结果见图4-1.图4- 措施一：规定退休为55岁，56岁，59岁或60岁银行年利率r1SA m

c

) crcr(1m 1当r增大时，替代率增大；反之，则减小. KBC1ri1A1ri1A1r r增大时，缺口额增大；反之，缺口额减小.运行附录程序11,12的 序，运行结果如下图4-2.图4-2银行利率和替代率、缺口措施二：调整银行率r，介于[1%,2%]或工资缴纳到个人账户的比例由1知，替代率的表达式SA m

c

) crcr(1m 1，很容易得到：r2与替代率存性关系.当r2增大时替代率增大；， KBC1ri1A1ri1A1r BCci1rr1cir21r) mmmK[c1rircr(1r)i]1ri1A1ri1A1rii

mc1r2i1rm

cr(1r)2i1A1ri1

i

m i2cr(1m i2c1r2i1rcr(1r)2i1 i

/12

SCi1

1 m1%1 m1%12 i1

所以缺口额与个人账户缴纳比例r2存在负相关.所以r2增加时，KK增大.运行附录程序13,14的程序，运行结果如图4-3所示.图4-3工资缴纳个人账户比例与、缺口关系 施，既可以达到目标替代率，又可以维持养老收支平衡.措施三：个人账户缴纳比例r2社会统筹基金账户缴纳比例SA m

c

) crcr(1m 1该表达式中不存在r1，所以替代率与r1无关

K[ci1rr1cir2(1r)]1r

15的程序，结果如图4-4所示图4- 4-4，当社会统筹账户比例介于[13%,15%]之间时，可以达到收支平衡.所以措施四：规定社会统筹账户缴纳比例介于[13%,15%]之间开始缴纳养老的SA m

c

) crcr(1m 1由于缴费等于退休减去缴费起始，即mTRTS，所以TS增大时m减小，替代率也随之减小；反之，替代率增大. KBC1ri1A1ri1A1r 图4- 起始缴与其中i为领取的年数，iTWTR.由于一定，退休也一定，那么领取的年限就一定.由于开始工作的越小社会统筹金与个人账户基金积累的就越多；反之，社会统筹金就越少。从而，缺口与开始缴纳金之间存在负相关。运行附录程序16,17的程序，得到如图图4- 起始缴与开始缴费大于35岁时，可以维持养老的收支平衡.因此，我们可以采取如下措施既达到目标替代率，又维持养老的收支平衡.开始缴费为26岁或27岁，或者大于35岁措施一：规定退休为55岁，56岁，59岁或60岁.措施三：个人账户缴纳比例r2措施五：开始缴费为26岁或27岁，或者大于35岁 定繁荣.随着新的缴纳与领取的条例的出台， 的缴纳与越来越受关注.软件对数据进行编程计算，不仅计算量减少，而且准确性得到提高.数据处理我们一律采用编程计算，所以数据不仅准确性好，而且精度很好.如果需要高精度的数据，我们只需要在命令窗口输入formatlong就可以得到14位的数据.8000，所以实际应有中应使用公布的数据.把美金转换为而兑换美金的兑换率时刻在变化所以没有一个精确的值.[1GDP 谢,,《数学模型》,高等教育,2010宜,,《数学建模》,科学，2009韩明,李家宝,《数学实验》,同济大 ,2009cleary0=[5666327457557697899851110142817821920215022923149433851455809624168547656877211374125671433216614228442640429688GNP0=[318419463492528583695858111213661519164418932998404450465846642067967159201692370825575gridclearall;clc;symsycxb2=(1-a*y2)/(y2*exp(-b1,b2 88*exp(- *exp(- C0=- 88*exp(-%Logisticregressionysismodelclearall;clc;y=[566632745755769789985111013131428178219202150260131494338514558096241685476568772100071137412567143321922822844264042968832074];%参数bf=1./(a+b(1)*exp(-plot(t,y,'o',t1,f);gridon;Mfunctionf=fun(b,t)functiony=PA(c,m,r,r2)%个人账户p=m:-R=(1+r).^p;clearygz=[%各段人6300062004200830677fori=1:8%各段总人 %各段各类工D=[92463 000022497000 26250%各段总工资fori=1:8%各段职工工for%各段职工平均工资与企业平均工资之clc;clear%各段职工工资与企业平均工资之%各段以数值表%根据图像分析,各段职工工资与企业平均工资之比和段存在二次函数关f=0.41766968786137+0.23934699894421*t1-functionf=FU(c1,m,w)f=[c1/12+c1*q/(12*m)]/2*m*0.01;%w，c1资，m为企业和职工实际缴纳基本养老费得年限clear19781999%20002010%20112035%2036~2045y4=[569215698957047 5713457167 57217%20002035fw=[yyyTS=input('请输入开始缴费的:') %TS为开始缴费的 %TR为退休的 %TE为的 %T代表缴费年数 %r %r1 %r2ys=[23323022622322021621220820419919519018518017517015815214513913212511710910193847565 退休的关系,其中ys(i)代表的是39+i岁退休的计发月%%%总 %grzh为个人账户forgrzh=grzh+r2*fw(R)*(1+r)^(T-jfys=ys(TR-39);%计发月数 %ph为个人账户1,5)*1.21,ones(1,5)*1.16,ones(1,5)*1.11];%每年缴费指数pjzs=sum(jfzs(1:T))/T;%平均缴费指数 fori=1:(45-T) %退休后的 %2025年的收forPR=PR+(r1+r2)*fw(R)*(1+r)^(T-disp('2025年的收入%收入与总额之间的关fori=1:(45-ifPR>0%差clearall;clc; 19781999资%20112035%2036~2045y4=[569215698957047 5713457167 57217%20002045fw=[yyyA=25;B=55:65;%A为开始缴费 ,B代表退休foru=1:la %TST=TR- %T %r %r1 %r2ys=[23323022622322021621220820419919519018518017517015815214513913212511710910193847565 退休的关系,其中ys(i)代表的是39+i岁退休的计发月%%个人账户 %grzh为个人账户forgrzh=grzh+r2*fw(R)*(1+r).^(T-jfys=ys(TR-39);%计发月数ph=grzh/jfys%ph%%基础 %基础%disp(' %=基础+个人账户gridon;holdon;holdon;xlabel('退休 title('退休-替代率关系图clear19781999%20002010%20112035%2036~2050y4=[569215698957047 57293%20002050fw=[yyy%TS为开始缴费的%TR为退休的%TE为的fork=1:laT=TR- %T %r %r1 %r2ys=[23323022622322021621220820419919519018518017517015815214513913212511710910193847565 退 的关系,其中ys(i)代表的是39+i岁退休的计发月 %grzh为个人账户forgrzh=grzh+r2*fw(R)*(1+r)^(T-jfys=ys(TR-39);%计发月数 %ph为个人账户 fori=1:(45-T) %退休后的 %总%2025年的收forPR=PR+(r1+r2)*fw(R)*(1+r)^(T-%disp('2025年的收入:');%收入与总额之间的关T1=TE- %领取的年forifif %的剩余t(k)=n- KK(k)=-sum(pension(n:end)); 剩余值为负,代表的 上的口

gridon;holdon; ylabel('缺口'title('退休-缺口关系图');11：clearall;clc; 19781999资%20112035%2036~2045y4=[569215698957047 5713457167 57217%20002045fw=[yyyy4];foru=1:laT=TR- %T %r %r1 %r2ys=[23323022622322021621220820419919519018518017517015815214513913212511710910193847565 退休的关系,其中ys(i)代表的是39+i岁退休的计发月%%个人账户 %grzh为个人账户forgrzh=grzh+r2*fw(R)*(1+r).^(T-jfys=ys(TR-39);%计发月数ph=grzh/jfys%ph%%基础 %基础%disp(' %=基础+个人账户gridon;holdon;holdon;xlabel('ylabel('替代率'title('银行年利率-替代率关系图clear19781999%20002010%20112035%2036~2050y4=[569215698957047 57293%20002050fw=[yyy%TS为开始缴费的%TR为退休的%TE为的forT=TR- %T %r %r1 %r2ys=[23323022622322021621220820419919519018518017517015815214513913212511710910193847565 退 的关系,其中ys(i)代表的是39+i岁退休的计发月 %grzh为个人账户forgrzh=grzh+r2*fw(R)*(1+r)^(T-jfys=ys(TR-39);%计发月数 %ph为个人账户1,5)*1.21,ones(1,5)*1.16,ones(1,5)*1.11];%每年缴费指数 fori=1:(45-T) %退休后的 %总%2025年的收forPR=PR+(r1+r2)*fw(R)*(1+r)^(T-%disp('2025年的收入:');%收入与总额之间的关T1=TE- %领取的年forifif t(k)=n- KK(k)=-sum(pension(n:end));%剩余值为负,代表的是上的口gridon;holdon;ylabel('缺口'title('银行年利率-缺口关系图13：clearall;clc; 19781999资%20112035%2036~2045y4=[569215698957047 5713457167 57217%20002045fw=[yyyforu=1:laT=TR- %T %r %r1 %r2ys=[23323022622322021621220820419919519018518017517015815214513913212511710910193847565 退休的关系,其中ys(i)代表的是39+i岁退休的计发月%%个人账户 %grzh为个人账户forgrzh=grzh+r2*fw(R)*(1+r).^(T-jfys=ys(TR-39);%计发月数ph=grzh/jfys%ph%%基础 %基础%disp(' %=基础+个人账户gridon;holdon;holdon;ylabel('替代率');title('工资缴纳个人账户比例 替代率关系图clear19781999%20002010%20112035%2036~2050y4=[569215698957047 57293%20002050fw=[yyy%TS为开始缴费的%TR为退休的%TE为的fork=1:laT=TR- %T %r %r1 %r2ys=[23323022622322021621220820419919519018518017517015815214513913212511710910193847565 退 的关系,其中ys(i)代表的是39+i岁退休的计发月 %grzh为个人账户forgrzh=grzh+r2*fw(R)*(1+r)^(T-jfys=ys(TR-39);%计发月数 %ph为个人账户1,5)*1.21,ones(1,5)*1.16,ones(1,5)*1.11];%每年缴费指数 yyy=fw(TR- fori=1:(45-T) %退休后的 %总%2025年的收forPR=PR+(r1+r2)*fw(R)*(1+r)^(T-%disp('2025年的收入:');%收入与总额之间的关T1=TE- %领取的年forifif %的剩余t(k)=n- KK(k)=-sum(pension(n:end)); 剩余值为负,代表的 上的口

gridon;holdon;ylabel('缺口');title('工资缴纳个人账户比例 缺口关系图clear19781999%20002010%20112035%2036~2050y4=[569215698957047 57293%20002050fw=[yyy%TS%TR%TE为的fork=1:la %r1T=TR- %T %r %r2ys=[23323022622322021621220820419919519018518017517015815214513913212511710910193847565 退 的关系,其中ys(i)代表的是39+i岁退休的计发月 %grzh为个人账户forgrzh=grzh+r2*fw(R)*(1+r)^(T-jfys=ys(TR-39);%计发月数 %ph为个人账户 fori=1:(45-T) %退休后的 %总