经济应用数学线性代数高数27无穷小的比较

定义1.或,>0,N>0,当n>N时,有|xn|<.

则称为无穷小量(无穷小数列).第七节数列无穷小与无穷大一、无穷小量(1)无穷小量是指该数列以0为极限,任何一个量若其极限不为0,则不是无穷小量.所以,除0外的任何常量(常数列)都不是无穷小量.(3)常数列xn=0是无穷小量.注:

定理1.(极限与无穷小的关系定理)证:

""

>0,N>0,当n>N时,有|xna

|<.即 |n|<.故xn=a

+n,其中n0(n+时).

则

>0,N>0,当n>N时,有|n|<.即 |xna

|<.""

若xn=a

+n,其中n0(n+时).

故性质1.

有限多个无穷小量的代数和为无穷小量.性质2.

有限多个无穷小量的乘积仍是无穷小量.则xnyn是无穷小量

.即有界量乘无穷小量仍为无穷小量.推论.

常量乘无穷小量仍为无穷小量.性质3.

若xn是无穷小量,|yn|M(当n>N时),性质4.

若xn是无穷小量,yn

a(0),则1.两个无穷小量的商不一定是无穷小量.2.性质1,2中的条件"有限多个"不能丢.如n个注:

例1.

解:例2.

解:故原式=0.看数列xn=n2,即，1,22,32,…,n2,….x322210当n

越来越大时,数列xn的值也越来越大,要多么大就有多么大,可以大于预先给定的任意大的数G.称为无穷大数列(无穷大量).二、无穷大量定义2.

若G>0(无论多么大),N>0,当n>N时,有|xn|>G,则称xn为无穷大量,记作(1)(2)任何常数列(常量)都不是无穷大量.注:

xxN+2Gx10xNGxN+1即,当n>N时,xn

都落在区间[G,G]外面.在

[G,G]内,只有xn

的有限多个项.例3.

设|q|>1.证:

G>0,(要证N>0,当n>N时,有|qn|>G)要使|qn

|=|q

|n>G.只须则当n>N时,有|qn|>G故例4.

数列xn=(1+(1)n)n是否为无穷大量?解:

数列xn为0,22,0,24,0,26,….如图x2624x2k+122因不论n

多么大,总有|xn|=|x2k+1|=0>G.所以xn不是无穷大量.定义3.

从几何上看,xn.xx1x20G

xnxxnx30G

x1

x2xn+.证:

设xn为无穷大量,要证为无穷小量.>0,因xn为无穷大量.从而定理2.

若xn是为无穷大量,则为无穷小量.若xn是为无穷小量(xn0),则为无穷大量.(1)两个无穷大量的和,差,两个无穷大量的商都不一定是无穷大量.比如,当n

+时,n2

,n2

,但

n2

+(n2)=0,都不是无穷大量.但,++(+)=+,

+()=.

注:(2)有界量乘无穷大量不一定是无穷大量.无穷小量乘无穷大量不一定是无穷大量(无穷小量)特别,比如,当xn=

n2

,yn=0,则xnyn=0不是无穷大量.(3)若数列xn,则xn无界,但反之不对.如,当xn=(2+(1)n)n

.无界,但不是无穷大量.(4)=,(有界量)=.则称f(x)是该极限过程中的一个无穷小量(省去xxo,x的极限符号“lim”表示任一极限过程).定义1.

若limf(x)=0,函数的无穷大量、无穷小量一、无穷小量注1：无穷小量与极限过程分不开,不能脱离极限过程谈无穷小量,小量,但如sinx是x0时的无穷例：注2：注3：0是任何极限过程的无穷小量.由于limC=C(常数),所以,除0外的任何常数不是无穷小量.01-11xxyyx1+x1–例1：证：例2:

试从函数图形判断下列极限.解：

(1)xy0xyy=tgxxy(2)xoyxxyyx+x–注1：若在定义2中，将“f(x)”换成“xn”,注2：若limf(x)=,将“X”换成“N”,将“x”换成就得到数列xn为无穷大量定义.“n”,则表示在该极限过程中f(x)的极限不存在.>0,X>0,当|x|>X时,有|f(x)|>M,注3：不能脱离极限过程谈无穷大量.注4：无穷大量一定是无界量,任何常量都不是无穷大量.但无界量不一定是无穷大量.说明>0,x0(–,+)，使得|x0sinx0|>M即可.例3：解：例4：定理2：在某极限过程中,若f(x)为无穷大量,则反之,若f(x)为无穷小量三、无穷小与无穷大量的关系证：只证两个无穷小量的情形.设当xx0时,(要证(x)(x)为无穷小量),>0,(x)0,(x)0,四、无穷小量的运算定理定理3：有限个无穷小量的代数和为无穷小量.故(x)(x)是无穷小量.注：定理3中“有限个”不能丢，无限个无穷小量的和不一定是无穷小量,n个比如：定理4：若(x)是某极限过程中的无穷小量,f(x)是该过程的有界量,则f(x)(x)为该过程的无穷小量.即,有界量与无穷小量之积为无穷小量.证：推论：设(x),(x)是某极限过程中的无穷小量,C为常数.则(x)(x),C(x)都是无穷小量.例2：解：1.

±，都不一定是无穷大量，也不一定是无穷小量.2.

0,(有界量)不一定是无穷大量，也不一定是无穷小量(其中0表无穷小量).3.

无穷大量是无界量,但无界量不一定是无穷大量.五、无穷大量的运算性质4.(+)+(+)=+,()+()=.5.

=,±(有界量)=，±常量=.6.

C

=

(其中C等非0常量).一般,无穷小量的商有下列几种情形.第六节无穷小量的比较则称(x)和(x)是同阶无穷小量,记作,(x)=O((x))则称(x)是(x)的k阶无穷小量.则称(x)和(x)是等价无穷小量,记作,(x)~(x)显然,若(x)~(x),则(x)和(x)是同阶无穷小量,但反之不对.比如,(i)(ii)(iii)n100.10.010.20.1051000.010.00010.020.0100510000.0010.0000010.0020.0010005……………定理1.

设(x),(x),(x),(x)是某极限过程中的无穷小量.f(x)是另一变量,且,(x)~(x),(x)~(x),则只须右端极限存在或为无穷大.证:(1)因为(x)~(x),(x)~(x),所以类似可证(2),(3).例1.

解:由于当x0,tgx~x,从而tg2x~2x.当x0,sinx~x,从而sin5x~5x.故,例2.

解:=1例3.

解:=0或,=0·1=0例4.

解:=1事实上,若作代换,有显然,这个结果是错误的.例5.

当x0时,tgx–sinx是x的几阶无穷小量?解:

首先注意结论:若当x0时,f(x)=O(x),g(x)=O(x),则f(x)·g(x)=O(x+),其中,,

均大于0.由于tgx–

sinx=tgx(1–cosx)因tgx~x,而1–cosx=O(x2).故tgx–sinx=tgx(1–cosx)=O(x3).当x0时,

sinx~x, tgx~x, arctgx~x, arcsinx~x, ex–1~x, ln(1+x)~x,常用的等价无穷小.事实上