非线性动力分析方法

非线性动力分析方法第1页，共28页，2023年，2月20日，星期四艺术认知与计算实验室MindArtComputationOutline一、非线性动力系统二、经典非线性测量方法三、例子四、小结第2页，共28页，2023年，2月20日，星期四一非线性动力系统1.线性与非线性

线性方程：

y(t)=a*t+b1

非线性方程：Y(t)=cos(t)+b2;Y(t)=t^2+b3

艺术认知与计算实验室MindArtComputation第3页，共28页，2023年，2月20日，星期四一非线性动力系统2.加入动力学行为

记忆效应（与t相关）：

无记忆效应（与t无关）：

艺术认知与计算实验室MindArtComputation第4页，共28页，2023年，2月20日，星期四一非线性动力系统混沌：

混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性－－不可重复、不可预测，这就是混沌现象。

艺术认知与计算实验室MindArtComputation第5页，共28页，2023年，2月20日，星期四一非线性动力系统典型非线性方程：人口模型：x(t+1)=k*x(t)*(1-x(t))艺术认知与计算实验室MindArtComputation第6页，共28页，2023年，2月20日，星期四一非线性动力系统混沌二分叉图：艺术认知与计算实验室MindArtComputation第7页，共28页，2023年，2月20日，星期四一非线性动力系统Lorenz方程组：艺术认知与计算实验室MindArtComputation第8页，共28页，2023年，2月20日，星期四一非线性动力系统3.吸引子及其特性吸引子

能量耗散系统最终收缩到的一种定常状态。这是一个动力系统在t→∞时所呈现的与时间无关的定态，并且不管选取什么样的初始值其终值的定态只有一个，也就是说终值与初始值无关。这类吸引子也称平庸吸引子。如：阻尼单摆有不动点吸引子，范德玻耳方程有极限环吸引子，等等。艺术认知与计算实验室MindArtComputation第9页，共28页，2023年，2月20日，星期四a.Pointattractor

静止在定态艺术认知与计算实验室MindArtComputation第10页，共28页，2023年，2月20日，星期四一非线性动力系统3.吸引子及其特性b.Limitcycle

周期性运动艺术认知与计算实验室MindArtComputation第11页，共28页，2023年，2月20日，星期四一非线性动力系统3.吸引子及其特性c.Torus

准周期

不可通约艺术认知与计算实验室MindArtComputation第12页，共28页，2023年，2月20日，星期四一非线性动力系统奇怪吸引子

相对于平庸吸引子而言，它们的特点之一是终态值与初始值密切相关，或者说对初始值具有极端敏感性；初始取值的细微差别可能会导致完全不同的结果，这时的吸引子毫无周期可言，即所谓混沌。艺术认知与计算实验室MindArtComputation第13页，共28页，2023年，2月20日，星期四一非线性动力系统3.吸引子及其特性d.Chaoticattractor

具有收敛性

无周期

分型结构

“奇怪吸引子”艺术认知与计算实验室MindArtComputation第14页，共28页，2023年，2月20日，星期四一非线性动力系统高维吸引子艺术认知与计算实验室MindArtComputation第15页，共28页，2023年，2月20日，星期四二经典非线性测量方法1.Lorenz散点图艺术认知与计算实验室MindArtComputation第16页，共28页，2023年，2月20日，星期四二经典非线性测量方法2.Lyapunov指数

Lyapunov指数用于判断一个系统是否属于混沌系统。系统的Lyapunov指数谱中存在正值,则表明该系统具有混沌特征。因此,只要系统的Lyapunov指数谱中最大的Lyapunov指数为正,则该系统为混沌系统。艺术认知与计算实验室MindArtComputation第17页，共28页，2023年，2月20日，星期四二经典非线性测量方法艺术认知与计算实验室MindArtComputation设为多维相空间中两点的初始距离，经

n次迭代后两点的距离为：式中指数li值可正可负。表示沿该方向扩展，表示沿该方向收缩。在经过一段时间(数次迭代)以后，两个不同李雅普诺夫指数值将使相空间中原来的圆演变为椭圆。第18页，共28页，2023年，2月20日，星期四二经典非线性测量方法艺术认知与计算实验室MindArtComputation

稳定体系的相轨线相应于趋向某个平衡点，如果出现越来越远离平衡点，则体系是不稳定的。系统只要有一个正值的就可出现混沌运动。

判别一个非线性系统是否存在混沌运动时，需要检查它的最大李雅普诺夫指数l

是否为正值。

第19页，共28页，2023年，2月20日，星期四艺术认知与计算实验室MindArtComputation

吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可能不止一个，这样体系的运动将为更复杂。人们称高维相空间中有多个正值指数的混沌为超混沌。推广到高维空间后，由指数的值决定的各种类型的吸引子归纳如下：

吸引子类型维数不动点

D=0极限环D=1二维环面D=2三维环面D=2奇怪吸引子（混沌）D=2~3（非整数）超混沌D=高于3非整数第20页，共28页，2023年，2月20日，星期四二经典非线性测量方法3.相关维度C(r)为吸引子上两个随机点之间距离小于给定距离r的似然估计。是r的函数艺术认知与计算实验室MindArtComputation第21页，共28页，2023年，2月20日，星期四二经典非线性测量方法艺术认知与计算实验室MindArtComputation第22页，共28页，2023年，2月20日，星期四二经典非线性测量方法4.K熵K熵（柯尔莫哥洛夫熵）S熵（香农熵，信息论）

一个吸引子的K熵是它（吸引子）所表示的动态系统的信息损失率。

等于该系统具有的所有正Lyapunov指数之和。

艺术认知与计算实验室MindArtComputation第23页，共28页，2023年，2月20日，星期四二经典非线性测量方法在随机运动系统中，K熵是无界的；在规则运动系统中，K熵为零；在混沌运动系统中，K熵大于零，K熵越大，那么信息的损失速率越大，系统的混沌程度越大，或者说系统越复杂艺术认知与计算实验室MindArtComputation第24页，共28页，2023年，2月20日，星期四三例子正常人与癫痫发作时的比较1.EEG&2.相空间轨迹艺术认知与计算实验室MindArtComputation第25页，共28页，2023年，2月20日，星期四三例子3.相关维度艺术认知与计算实验室MindArtComputation第26页，共28页，2023年，2月2