非线性方程求根

非线性方程求根第1页，共27页，2023年，2月20日，星期四MATLAB命令例1：解方程解：在MATLAB里输入命令：

X=solve(‘8*x^9+17*x^3-3*x=-1’)可解出9个解。例2：解方程解：X=solve(‘sin(x)=0’),很可惜运行后只输出一个根x=0.缺点：用solve命令不能求出周期函数所对应的全部根。第2页，共27页，2023年，2月20日，星期四例3：解非线性方程组解：在MATLAB命令窗口输入命令：E1=sym('x^x-4=0');E2=sym('2*x*y+x=1');[x,y]=solve( E1,E2)x1=double(x),y1=double(y)出来的结果为：x=log(4)/lambertw(log(4))y=-1/2*(log(4)-lambertw(log(4)))/log(4)

第3页，共27页，2023年，2月20日，星期四

x1=2y1=-0.2500注：MATLAB系统只能做数值运算，并没有符号运算功能，符号运算工具箱（symbolicmathtoolbox)则扩充了MATLAB这方面的功能，它是由Maple的核心来完成。第4页，共27页，2023年，2月20日，星期四例4：解方程解：将方程化为，在matlab窗口输入命令>>fa=[8,0,0,0,0,0,17,0,-3,1];>>xk=roots(fa)运行后得所有根。缺点：命令roots只能求为多项式时方程的根。

第5页，共27页，2023年，2月20日，星期四一、图解法求方程的正根，设分别画出的图形，两条曲线的交点即为原方程的根，从图中观察，根大约为0.38。第6页，共27页，2023年，2月20日，星期四二、二分法对于求解给定区间的根，二分法是一种既简单又稳健的方法，可以与图解法结合使用。第7页，共27页，2023年，2月20日，星期四最终解经过n步迭代后，区间长度变为：即为可能的最大误差第8页，共27页，2023年，2月20日，星期四当给定容许误差时，所需最小迭代步数为：用于二分法计算的函数bisec_n.functionbisec_n(f_name,a,c)tolerance=0.000001;it_limit=30;fprintf('It.abcf(a)');fprintf('f(b)f(c)\n');it=0;Ya=feval(f_name,a);Yc=feval(f_name,c);if(Ya*Yc>0)fprintf('\n\nStoppedbecausef(a)f(c)>0\n');第9页，共27页，2023年，2月20日，星期四elsewhile1it=it+1;b=(a+c)/2;Yb=feval(f_name,b);fprintf('%3.0f%10.6f,%10.6f',it,a,b);fprintf('%10.6f,%10.6f,%10.6f,%10.6f\n',c,Ya,Yb,Yc);if(abs(c-a)<=tolerance)fprintf('Toleranceissatisfied.\n');breakendif(it>it_limit)fprintf('Iterationlimitexceeded.\n');breakendif(Ya*Yb<=0)c=b;Yc=Yb;elsea=b;Ya=Yb;endendfprintf('Finalresult:Root=%12.6f\n',b);end第10页，共27页，2023年，2月20日，星期四例1求函数的零点。bisec_n('fun_ex2',0.8,1.0)functionf=fun_ex2(x)f=sqrt(1+x.^2)-tan(x);解答：首先通过画图，根约为0.9，然后调用函数。结果为：Root=0.941462第11页，共27页，2023年，2月20日，星期四三、迭代法改写方程：建立迭代格式：若收敛，则必收敛到的根，即则，得到序列第12页，共27页，2023年，2月20日，星期四迭代过程的几何表示y第13页，共27页，2023年，2月20日，星期四x0=1.5;err=1;fprintf('%f',x0);whileabs(err)>0.000001x1=(x0+1).^(1/3);fprintf('%f',x1);err=x1-x0;x0=x1;end迭代收敛。第14页，共27页，2023年，2月20日，星期四x0=1.5;err=1;fprintf('%f',x0);fori=1:3x1=x0.^3+1;fprintf('%f',x1);err=x1-x0;x0=x1;end第15页，共27页，2023年，2月20日，星期四收敛充分性定理

第16页，共27页，2023年，2月20日，星期四第17页，共27页，2023年，2月20日，星期四自动生成的一个方法为：则迭代格式变为：其中为常数，可由如下方式确定：因时收敛，则也即当时，迭代收敛。其中必须与同号，当时，收敛速度最快。若在每一步迭代中，令，得到Newton迭代公式。第18页，共27页，2023年，2月20日，星期四例3求方程在内的根。解答：令的近似值为：取则迭代公式为：第19页，共27页，2023年，2月20日，星期四给出迭代法的一个M文件：function[k,piancha,xdpiancha,xk]=diedai(x0,k)%输入量--x0是初始值，k是迭代次数x(1)=x0;fori=1:kx(i+1)=fun(x(i));%程序中调用的fun.m文件

piancha=abs(x(i+1)-x(i));xdpiancha=piancha/abs(x(i+1)+eps);i=i+1;xk=x(i);[(i-1)pianchaxdpianchaxk]endif(piancha>1)&(xdpiancha>0.5)&(k>3)disp('请用户注意：此迭代序列发散，请重新输入新的迭代公式')return;end第20页，共27页，2023年，2月20日，星期四if(piancha<0.001)&(xdpiancha<0.0000005)&(k>3)disp('祝贺你！此迭代序列收敛，且收敛速度较快')return;endp=[(i-1)pianchaxdpianchaxk]’例：求方程的在区间根。解：建立M文件fun.mfunctiony1=fun(x)y1=(10-x^2)/2;在窗口输入第21页，共27页，2023年，2月20日，星期四

[k,piancha,xdpiancha,xk]=diedai(2,5)结果为：请用户注意：此迭代序列发散，请重新输入新的迭代公式若重新建立M文件:

functiony1=fun(x)y1=x-(x^2+2*x-10)/(2*x+2)在窗口输入：[k,piancha,xdpiancha,xk]=diedai(2,5)运行结果为：祝贺你！此迭代序列收敛，且收敛速度较快第22页，共27页，2023年，2月20日，星期四四、Newton迭代法设求解方程的一个根，关于初值的一阶Taylor展开为：将其看做的近似，并令为0，得到近似解：重复操作，一般地：第23页，共27页，2023年，2月20日，星期四几何解释：第24页，共27页，2023年，2月20日，星期四计算给定函数的一阶导数可能会很繁，可用差分近似代替，如：或其中h取得很小上两式分别为向前和向后差分近似。差分近似中的误差很小，对于牛顿迭代法的收敛性没有很明显的影响，然而当根的附近有奇点时使用差分近似要小心。第25页，共27页，2023年，2月20日，星期四例4推导立方根的牛顿迭代公式，并求的立方根。解：问题等价于求的零点。Newton迭代法：令，迭代3次达到精确解。n

x055.45.3718345.371686第26页，共27页，2023年，2月20日，星期四Newton迭代公式可由函数Newt_n实现。functionx=Newt_n(f_name,x0)x=x0;xb=x-999;n=0;del_x=0.01;whileabs(x-xb)>0.0001n=n+1;xb=x;ifn>300break;endy=feval(f