上海市2024年中考数学试题附真题解析

上海市2024年中考数学试题一、选择题（每题4分，共24分）1．如果，那么下列正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】A：x＞y，则x+5＞y+5，原选项错误，不合题意；

B：x＞y，则x-5＞y-5，原选项错误，不合题意；

C：x＞y，则5x＞5y，原选项正确，符合题意；

D：x＞y，则-5x＜-5y，原选项错误，不合题意；

故答案为：C

【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键。不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。根据不等式的性质对选项逐一判断，可得正确结论。2．函数的定义域是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：

∴x-3≠0

解得x≠3

故答案为：D

【分析】本题考查函数的定义域，即函数中自变量的取值范围，函数为分式形式，则需满足分母不等于0，可得结论。当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式是分数的形式时，自变量的取值范围是使分母不为零的所有实数；当解析式中含有平方根时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。3．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】A：a=1，b=-6，c=0，=（-6）2-4×1×0=36＞0，则该一元二次方程有两个不相等的实数根；不合题意；

B：a=1，b=0，c=-9，=02-4×1×（-9）=36＞0，则该一元二次方程有两个不相等的实数根；不合题意；

C：a=1，b=-6，c=6，=（-6）2-4×1×6=12＞0，则该一元二次方程有两个不相等的实数根；不合题意；

D：a=1，b=-6，c=9，=（-6）2-4×1×9=0，则该一元二次方程有两个相等的实数根；符合题意；

故答案为：D

【分析】本题考查一元二次方程根的情况，根据根的判别式与0的比较，得出根的情况。若＞0，一元二次方程有两个不相等的实数根；=0，一元二次方程有两个相等的实数根；＜0，一元二次方程无实数根；≥0，一元二次方程有实数根。4．已知某个人要种植，且种子有四种类别：甲、乙、丙、丁.对于每种种子，发芽天数气稳定性(标准差)如下所示，在同时考量稳定性与种了能快速发芽的情况下，他应该选择（）种类甲乙丙丁发芽天数2.32.33.12.8标准差1.050.781.050.78A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【解析】【解答】解：开花时间最短的是甲和乙，标准差最小的是乙和丁，则开花时间最短并且最平稳的是乙种类。

故答案为：B

【分析】本题考查标准差的意义，标准差能反映一个数据集的离散程度，标准差越小，数据越稳定，据此可得结论。5．四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（）A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形【答案】A【解析】【解答】解：如图所示，四边形ABCD为矩形，AC，BD为对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，BF⊥AC，DE⊥AC

∴AO=DO=BO=CO，∠AGO=∠DHO=∠BKO=∠CPO=90°

∴

∴∠GAO=∠HDO=∠KBO=∠PCO

∴∠BAM=∠CDN=∠ABM=∠DCN，∠EAD=∠EDA=∠FBC=∠FCB

∴EA=ED=FB=FC，AM=BM=DN=CN

∴FM=ME=EN=NF

∴四边形MENF为菱形

故答案为：A

【分析】本题考查特殊四边形--矩形的性质，菱形的判定，三角形的全等判定与性质等知识，熟悉矩形的性质，菱形的判定是解题关键。根据矩形性质，证明，结合其性质，可得EA=ED=FB=FC，AM=BM=DN=CN，可知FM=ME=EN=NF，则四边形MENF为菱形.6．在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（）A．内含 B．相交 C．外切 D．相离【答案】B【解析】【解答】解：如图，

∵圆与圆内切，圆半径为1，圆半径为3，

∴AP1=3-1=2

∴BP1=AB-AP1=3

∵AC=3，

∴CP2=AC-AP2=1

∴BP2=

∴3＜BP＜

∵rB=2

∴rB+rP=5，rB-rP=1

∴1＜BP＜5

∴圆P与圆B相交

故答案为：B

【分析】本题考查圆与圆的位置关系，两圆相交，圆心距小于两圆半径的和，而大于两圆半径的差的绝对值。根据两圆半径和圆心距，可判定圆与圆的位置关系：设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。（1）d>R+r两圆外离；两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。（2）d=R+r两圆外切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。（3）d=R-r两圆内切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。（4）d<R-r两圆内含；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。（5）d<R+r两圆相交；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。二、填空题（每题4分，共48分）7．计算：．【答案】【解析】【解答】解：43x6=64x6

故答案为：

【分析】本题考查幂的乘方，根据幂的乘方法则可得结论。8．计算．【答案】【解析】【解答】解：（a+b）（b-a）=b2-a2.故答案为：b2-a2.【分析】利用平方差公式直接进行计算.9．已知，则．【答案】1【解析】【解答】∵

∴

∴2x-1=1

∴2x=2

∴x=1

故答案为：1

【分析】本题考查无理方程，用平方的方法把无理方程转化成有理方程，按照方程的求解步骤可得方程的解。10．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的倍．（用科学记数法表示）【答案】【解析】【解答】解：由题知：2×105÷25=200×103÷25=8×103

故答案为：8×103

【分析】本题考查科学记数法：把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。11．若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而．（选填“增大”或“减小”）【答案】减小【解析】【解答】解：∵正比例函数的图像经过点，

∴7k=-13

∴k=＜0

∴y的值随x的增大而减小

故答案为：减小

【分析】本题考查正比例函数的性质：y=kx（k≠0）.k＞0，y的值随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小。12．在菱形中，，则．【答案】【解析】【解答】解：如图：

∵菱形ABCD

∴∠ABC+∠BAD=180°

∴∠BAD=180°-∠ABC=114°

∴∠BAC=∠BAD=57°

故答案为：

【分析】本题考查菱形的性质，菱形的邻角互补，对角线平分对角，根据其性质可得答案。13．某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为万元．【答案】4500【解析】【解答】解：设某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系y=kx+b（k≠0）

由题知：x=10，y=1000；x=90，y=5000

∴

解得k=50，b=500

∴y=50x+500

∴x=80时，y=50×80+500=4500

故答案为：4500

【分析】本题考查一次函数的实际应用，根据题意，设函数解析式和函数过点的坐标，列出关于k，b的方程组，求出k，b值，可得一次函数解析式，代入所给自变量值，求出函数值即可。14．一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有个绿球．【答案】3【解析】【解答】解：∵摸到绿球的概率是，

∴绿球的数量为3x，袋子中的白球和绿球共有5x个

∴x≥1，x为正整数，

∴绿球至少有3个

故答案为：3

【分析】本题考查概率，根据绿球的概率，可知绿球的数量为3x，x为正整数，可得绿球的数量。15．如图，在平行四边形中，E为对角线上一点，设，，若，则（结果用含，的式子表示）．【答案】【解析】【解答】

解：∵平行四边形

∴AB=DC

∴

∵，

∴

∵

∴

∴

故答案为：

【分析】本题考查平面向量的线性运算，熟悉平行四边形的性质，结合向量的法则，正确计算向量是解题关键。16．博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷张，其中人没有讲解需求，剩余人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共万人的参观中，需要增强讲解的人数约有人．【答案】2000【解析】【解答】解：从条形图可知，1000张调查问卷中，需要AR增强讲解的张数是100人，则20000万人的参观中，需要AR增强讲解的人数约有20000×=2000人.

故答案为：2000

【分析】本题考查条形统计图，根据样本估算整体情况，计算出样本中需要AR讲解的人数百分率，可得总体需要AR增强讲解的人数。17．在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则．【答案】或【解析】【解答】解：如图，C'落在AB线段上，

由翻折知：CC'⊥AB

∵AC'：AB：BC=1：3：7

∴BC'：AB：BC=2：3：7

∴cos∠ABC==

如图：C'在BA延长线上，

由翻折知：CC'⊥AB

∵AC'：AB：BC=1：3：7

∴BC'：AB：BC=4：3：7

∴cos∠ABC==

综上，cos∠ABC=或

故答案为：或

【分析】本题考查平行四边形的性质，翻折的性质，余弦的定义，熟悉翻折的性质是解题的关键。注意分情况讨论。由翻折得CC'⊥AB，根据AC'：AB：BC=1：3：7得BC'：AB：BC=2：3：7得cos∠ABC==；或BC'：AB：BC=4：3：7，可得cos∠ABC==.18．对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为．【答案】4【解析】【解答】解：∵

∴m=，k=

根据题意，设点P（x，）

∴

解得：x=或x=（不合题意，舍去）

∴开口大小==4

故答案为：4

【分析】本题考查二次函数顶点坐标，解一元二次方程及新定义，熟悉求二次函数的顶点坐标方法，解一元二次方程的方法等知识，是解题关键。根据配方法或者顶点公式求出顶点坐标，即m，k的值，再根据满足的条件，解出方程的根，可得点P的横坐标，根据开口大小公式求解即可。三、简答题（共78分，其中第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分）19．计算：．【答案】解：．【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，掌握零整数指数幂，最简二次根式的化简，绝对值等知识，是解题关键。20．解方程组：．【答案】解：，由得：代入中得：，，，，解得：或，当时，，当时，，∴方程组的解为或者．【解析】【分析】本题考查解二元二次方程组，根据方程组的特点，用代入法求解比较简便。21．在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．（1）求k与m的值；（2）过点A作直线轴与直线交于点C，求的值．【答案】（1）解：把代入，得，解得，∴，把代入，得，∴，把代入，得；（2）解：由（1）知：设l与y轴相交于D，∵轴，轴轴，∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，，把代入，得，解得，∴，∴，，∴，∴．【解析】【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，与一次函数的交点，一次函数的性质与锐角三角函数，掌握求解析式的方法，求函数与函数交点，锐角三角函数的定义是解题关键。

（1）把B（n，6）代入y=-2x+4，得B（-1，6），代入y=得反比例解析式，把点A代入反比例函数，得m值；

（2）设l与y轴相交于D，得，则，得，，，得．22．同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为．（1）求：两个直角三角形的直角边（结果用表示）；小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）；（2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求：不与给定的图形状相同；画出三角形的边．【答案】（1）解：①如图，为等腰直角三角板，，则；如图，为含的直角三角形板，，，，则，；综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；由题意可知，∴四边形是矩形，由图可得，，，∴，故小平行四边形的底为，高为，面积为；（2）解：如图，即为所作图形．【解析】【分析】本题考查锐角三角函数，矩形的性质及面积，30°直角三角形，等腰直角三角形等知识，熟悉30°直角三角形及等腰直角三角形，矩形的性质及特殊锐角三角函数值是解题关键。

（1）根据高为h，则等腰直角三角板的边；的直角三角形板的边，；

（2）由题知四边形是矩形，根据其性质得，，得，即小平行四边形的底为，高为，面积为.（3）拼接方式可参考一线三角的模型摆放。23．如图所示，在矩形中，为边上一点，且．（1）求证：；（2）为线段延长线上一点，且满足，求证：．【答案】（1）证明：在矩形中，，，，，，，，，，，即，，；（2）证明：连接交于点，如图所示：在矩形中，，则，，，，，，在矩形中，，，，，，，∴，在和中，，．【解析】【分析】本题考查矩形的性质，三角形相似的判定与性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握判定大方法与性质应用是解题关键。

（1）由矩形得，，，证，得，即，结合，得；（2）连接交于点，根据矩形的性质，得，，OD=FE，可证，得．24．在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和．（1）求平移后新抛物线的表达式；（2）直线（）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．①如果小于3，求m的取值范围；②记点P在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标．【答案】（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为，把和代入可得：，解得：，∴新抛物线为；（2）解：①如图，设，则，∴，∵小于3，∴，∴，∵，∴；②∵，∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得：在的右边，当时，∴轴，∴，∴，由平移的性质可得：，即；如图，当时，则，过作于，∴，∴，∴，设，则，，，∴，解得：（不符合题意舍去）；综上：；【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，平移的性质，线段问题，三角形相似的判定与性质和平行线的性质，分类讨论等知识，熟练掌握待定系数法求解析式，三角形相似的判定与性质，运用分类谈论是解