数字信号处理（第3版）Ch2-2 DFT 性质

电子信息工程学院信号处理课程组数字信号处理DigitalSignalProcessing离散傅里叶变换有限长序列傅里叶分析离散傅里叶变换的性质利用DFT计算线性卷积利用DFT分析信号频谱利用MATLAB计算DFT离散傅里叶变换的性质

线性特性循环位移特性对称特性循环卷积定理离散傅里叶变换的性质

若两个序列的长度不等，需将较短序列补零。(1)线性特性若：则：离散傅里叶变换的性质

(2)循环位移特性

循环位移定义：符号(k)N：

表示对k

以N进行模运算若则离散傅里叶变换的性质

(2)循环位移特性

循环位移定义：k=0,1,2,3,4,5,6,7,8(k)4=0,1,2,3,0,1,2,3,0k=-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1(k)4=2,3,0,1,2,3,0,1(2)循环位移特性离散傅里叶变换的性质

k=0,1,2,3k+2=2,3,4,5(k+2)4=2,3,0,1(2)循环位移特性离散傅里叶变换的性质

离散傅里叶变换的性质

时域循环位移特性(2)循环位移特性若：则：时域的循环位移对应频域的相移离散傅里叶变换的性质

频域循环位移特性(2)循环位移特性若：则：时域的相移对应频域的循环位移离散傅里叶变换的性质

周期共轭对称

周期共轭反对称(3)对称特性离散傅里叶变换的性质

当序列x[k]为实序列(3)对称特性周期偶对称周期奇对称实序列周期偶对称

离散傅里叶变换的性质

实序列周期偶对称

离散傅里叶变换的性质

实序列周期偶对称

离散傅里叶变换的性质

实序列周期奇对称

离散傅里叶变换的性质

离散傅里叶变换的性质

(3)对称特性

若

则离散傅里叶变换的性质

(3)对称特性

若为实序列，则有幅度与相位实部与虚部例：已知某9点实序列的DFT在偶数点上的值为X[0]=3.1,X[2]=2.5+4.6j,X[4]=-1.7+5.2j,X[6]=9.3+6.3j,X[8]=5.5-8.0j。确定DFT在奇数点上的值。解：X[1]=X*[(9-1)9]=X*[8]=5.5+8.0jX[3]=X*[(9-3)9]=X*[6]=9.3-6.3jX[5]=X*[(9-5)9]=X*[4]=-1.7-5.2jX[7]=X*[(9-7)9]=X*[2]=2.5-4-6j根据实序列DFT的对称特性

X[m]=X*[(-m)N]=X*[(N-m)N]可得离散傅里叶变换的性质

(4)循环卷积定理离散傅里叶变换的性质

时域卷积定理:频域卷积定理:时域的循环卷积对应频域的乘积时域的乘积对应频域的循环卷积(4)循环卷积定理例:已知x[k]=

{1,2,3,4}，h[k]={5,6,7}，求x[k]与h[k]

(1)4点、5点、6点的循环卷积（2）线性卷积

解：4点5点6点解：6点循环卷积与线性卷积的结果相同例:已知x[k]=

{1,2,3,4}，h[k]={5,6,7}，求x[k]与h[k]

(1)4点、5点、6点的循环卷积（2）线性卷积

线性卷积4点循环卷积k=0k=1k=2线性卷积4点循环卷积k=3k=4k=5线性卷积6点循环卷积k=0k=1k=2线性卷积6点循环卷积k=3k=4k=5例:已知x[k]=

{1,2,3,4}，h[k]={5,6,7}，求x[k]与h[k]

(1)4点、5点、6点的循环卷积（2）线性卷积

解：

若x[k]的长度为N，h[k]的长度为M，则LN+M-1点循环卷积等于x[k]与h[k]的线性卷积。离散傅里叶变换的性质

利用DFT的循环卷积特性，可由DFT计算线性卷积。问题讨论

若x1[k]为M

点序列,x2[k]为L

点序列，L>Mx1[k]L

x2[k]中哪些点不是线性卷积的点?问题讨论

0

k(M-2)不是线性卷积的结果，即前M-1个点与线性卷积不一样。问题讨论

线性卷积的矩阵表示问题讨论

循环卷积的矩阵表示问题讨论

x1[k]L

x2[k]k=0~(M-2),前M-1个点不是线性卷积的点k=(M-1)~(L-1),L-M+1个点与线性卷积的点对应线性卷积k=

L~(L+M-2)后M-1点没有计算则L点循环卷积若x