数字信号处理（第3版）ch6-3-有限字长效应

电子信息工程学院信号处理课程组数字信号处理DigitalSignalProcessing

IIR数字滤波器基本结构

FIR数字滤波器基本结构

有限字长效应数字滤波器的MATLAB实现数字滤波器的结构及实现有限字长效应

问题的提出截尾和舍入量化效应输入信号量化误差滤波器系数量化误差乘积运算量化误差问题的提出

数字系统，存储单元的字长有限。A/D转换量化误差数字滤波器的系数量化误差乘积运算量化误差截尾和舍入量化效应定点二进制数的表示数值量化及量化误差定点二进制数的表示定点二进制数x有三种表示形式，若-1<x<1，则其原码、反码和补码分别定义为：正数的原码、反码和补码都相同。数值量化及量化误差理论上，任意十进制数x(-1<x<1)都可用无限位二进制数表示实际中，只能用(b+1)位有限位近似表示x，此过程称为量化。

当利用有限位二进制数近似表示需无限位二进制表示的数时，将会产生误差，此误差称为量化误差。符号位有效数字位数值量化两种数值量化方式：截尾量化和舍入量化舍入量化截尾量化补码数值量化如下十进制数序列：d=[0.6250.573-0.8720.268-0.326]0.625000.56250-0.875000.28125-0.31250[0.10100]b[0.10010]b[1.11100]b[0.01001]b[1.01010]b0.625000.56250-0.843750.25000-0.31250[0.10100]b[0.10010]b[1.11011]b[0.01000]b[1.01010]b按照5bit截尾序列：按照5bit舍入序列：量化误差

截尾误差：

舍入误差：正数、负数补码截尾误差范围为负数原码和反码截尾误差范围为舍入误差对称分布，截尾误差单极性分布。量化误差截尾误差eT：舍入误差eR：量化误差(eR,eT)统计分析：均匀分布的随机变量。舍入误差概率密度函数曲线截尾误差概率密度函数曲线量化误差舍入误差eR：截尾误差eT：均值方差（平均功率）eR和eT是任一时刻的量化误差。输入信号量化误差精确抽样值量化误差模拟信号经过A/D转换为b位数字信号：若输入信号的动态范围可达A/D转换器的满量程，且不断经历不同的量化水平，则量化误差e[k]：e[k]是平稳、服从均匀分布的白噪声e[k]和x[k]不相关量化误差e[k]的统计特性与任一时刻量化误差(eR,eT)基本相同。输入信号量化误差e[k]的均值：e[k]的方差（平均功率）：输入信号的信噪比SNR为（信号x[k]的平均功率为sx2）由此可见，字长b增加一位，SNR约增加6dB。输入信号量化误差通过LTI系统量化后的输入信号通过离散LTI系统，输入量化误差在输出端产生输出误差。利用卷积公式：输出误差输入信号量化误差通过LTI系统由输入量化误差产生的输出误差为

输出误差v[k]的方差为

推导可得，输出误差v[k]的方差为输入信号量化误差通过LTI系统根据Parseval定理

因此输出误差v[k]的方差也可表示为滤波器系数量化误差FIR滤波器系数量化效应IIR滤波器系数量化效应因字长有限，滤波器系数an、bm量化后将产生误差，导致：系统的实际频响与所要求的系统频响出现偏差；严重时，系统函数极点的改变，可能使IIR系统失去稳定。FIR滤波器系数量化误差系数量化只影响零点，不涉及稳定性问题，但会影响频率响应。量化后的系统函数变为：造成的频率响应误差E(ej)为FIR滤波器系数量化误差采用舍入量化时，，因此若限定了频响误差E(ej)，则FIR数字滤波器的阶数M越大时，需要的字长b越大。工程实际中，在根据上式估计字长的基础上增加3~4位。FIR滤波器系数量化误差[例]已知某FIR数字滤波器阶数M=28，要求其系数量化误差造成的频响误差不超过0.01，试确定所需的字长。

解：根据因此所需字长至少为b=11位。代入已知条件，得：FIR滤波器系数量化误差[例]已知某线性相位FIR带通滤波器满足下列指标：Ws1=0.2prad,Wp1=0.3prad,Wp2=0.6prad,

Ws2=0.7prad,dp=0.1,ds=0.01分别采用4位和10位量化滤波器系数，观察系统频率响应的变化。Fs1=0.2;Fp1=0.3;Fp2=0.6;Fs2=0.7;f=[Fs1Fp1Fp2Fs2];a=[010];Rp=0.1;Rs=0.01;dev=[RsRpRs];[M,fo,ao,w]=firpmord(f,a,dev);h=firpm(M,fo,ao,w);w=linspace(0.01,pi-0.01,1000);mag=freqz(h,1,w);plot(w/pi,20*log10(abs(mag)),'r');%系数量化num_q1=qt(h,4);H=freqz(num_q1,1,w);holdon;plot(w/pi,20*log10(abs(H)),'g');num_q2=qt(h,10);H=freqz(num_q2,1,w);holdon;plot(w/pi,20*log10(abs(H)),'b');FIR滤波器系数量化误差[例]已知某线性相位FIR带通滤波器满足下列指标：Ws1=0.2prad,Wp1=0.3prad,Wp2=0.6prad,

Ws2=0.7prad,dp=0.1,ds=0.01分别采用4位和10位量化滤波器系数，观察系统频率响应的变化。未量化的滤波器系数(前10个数据)：0.00090.00700.0194-0.0361-0.06170.02880.0573-0.00130.06110.0360采用4位量化后的滤波器系数(前10个数据)：-0.0061-0.0061-0.0061-0.0381-0.07000.02580.0258-0.00610.05780.0258采用10位量化后的滤波器系数(前10个数据)：0.00090.00690.0194-0.0366-0.06200.02830.0568-0.00160.06080.0358FIR滤波器系数量化误差Wp1=0.3pradWp2=0.6praddp=0.1Ws1=0.2pradWs2=0.7pradds=0.01频率响应IIR滤波器系数量化误差系数an量化后的值：IIR滤波器系数量化误差对极点位置的影响极点pr量化后的值：IIR滤波器系数量化误差极点pr量化后的值：第r个极点对第n个系数an量化的敏感度极点量化误差pr/an越大，an对pr的影响越大，反之亦然。IIR滤波器系数量化误差对极点位置的影响IIR滤波器系数量化误差极点位置敏感度的表达式为极点彼此间距离越远，极点位置敏感度就越低；极点彼此越密集，

极点位置敏感度就越高。在并联结构和级联结构中，每个子系统最多只有两个共轭极点，

故量化影响较小。IIR滤波器系数量化误差[例]设计满足如下指标的BW型带阻滤波器，并采用直接型结构实现，试分别采用4位、8位和12位对系数进行量化，观察滤波器的频率响应和零极点的变化。Wp1=0.45prad,

Wp2=0.72prad,Ap1dB

,

Ws1=0.52prad,

Ws2=0.62prad,As

20dBIIR滤波器系数量化误差未量化的滤波器系数：0.48320.85372.49832.72774.04872.72772.49830.85370.48321.45213.37373.07643.75492.14841.64970.48600.2335采用4位量化后的滤波器系数：0.47190.71042.37962.61804.04872.61802.37960.71040.47191.42573.33342.85653.57182.14111.42570.47190.2335分子bi分母ai分子bi分母aiIIR滤波器系数量化误差未量化4位量化不稳定系统IIR滤波器系数量化误差未量化的滤波器系数：采用8位量化后的滤波器系数：0.47190.84452.48392.72234.04872.72232.48390.84450.47191.44063.36323.06513.75072.14111.64930.47190.23350.48310.85292.49792.72704.04872.72702.49790.85290.48311.45183.37343.07633.75442.14761.64930.48590.2335采用12位量化后的滤波器系数：分子bi分母ai分子bi分母ai0.48320.85372.49832.72774.04872.72772.49830.85370.48321.45213.37373.07643.75492.14841.64970.48600.2335分子bi分母aiIIR滤波器系数量化误差未量化8位量化IIR滤波器系数量化误差未量化12位量化IIR滤波器系数量化误差Wp1=0.45pradWp2=0.72pradAp1dB

Ws1=0.52pradWs2=0.62pradAs

20dBIIR滤波器系数量化误差[例]设计满足如下指标的BW型带阻滤波器，若采用二阶节级联型结构实现该滤波器，其系数量化仍采用8位字长，比较其与直接型结构对滤波器的频率响应和零极点的影响。Wp1=0.45prad,

Wp2=0.72prad,Ap1dB

,

Ws1=0.52prad,

Ws2=0.62prad,As

20dBIIR滤波器系数量化误差直接型（8位量化）级联型（8位量化）直接型（未量化）IIR滤波器系数量化误差Wp1=0.45pradWp2=0.72pradAp1dB

Ws1=0.52pradWs2=0.62pradAs

20dB8位量化乘积运算量化误差

FIR系统乘积量化误差的统计分析IIR系统乘积量化误差的统计分析IIR系统极限环振荡现象乘积运算量化误差

乘积量化误差用噪声源ei[k]表示，对其做如下假设：（1）各噪声源均为白噪声序列；（2）各噪声源统计独立，互不相关；（3）在量化噪声范围内，各噪声源都视为等概率密度分布。乘积量化噪声源方差：FIR系统乘积量化误差的统计分析

M阶FIR系统的差分方程为：对FIR系统中M+1个乘积项进行量化处理FIR直接型结构乘积量化误差噪声源模型由乘积量化噪声产生的输出噪声方差在直接型FIR结构中，所有的噪声直接加在输出端FIR系统乘积量化误差的统计分析

IIR系统乘积量化误差的统计分析

对上式M+1+N个乘积项作量化处理IIRDF的差分方程为IIR系统乘积量化误差的统计分析

[例]

已知某IIR数字滤波器的系统函数为

试分别计算直接型、级联型和并联型结构下，由乘法量化产生的输出噪声方差。

IIR系统乘积量化误差的统计分析

解：直接型结构

量化误差e[k]通过的系统为IIR系统乘积量化误差的统计分析

量化误差e[k](e0[k]、e1[k]和e2[k])的方差为乘法量化产生的输出噪声方差IIR系统乘积量化误差的统计分析

级联型结构

e1[k](e10[k]和e11[k])通过的系统e2[k](e21[k])通过的系统IIR系统乘积量化误差的统计分析

e1[k](e10[k]和e11[k])通过的系统e2[k](e21[k])通过的系统乘法量化产生的输出噪声方差IIR系统乘积量化误差的统计分析

并联型结构

e1[k](e10[k]和e11[k])通过的系统e2[k](e20[k]和e21[k])通过的系统IIR系统乘积量化误差的统计分析

e1[k](e10[k]和e11[k])通过的系统e2[k](e20[k]和e21[k])通过的系统乘法量化产生的