集合论与无穷

集合论与无穷第1页，共16页，2023年，2月20日，星期四1.问题的引入——有限和无穷香迪悖论小说《香迪传》的讲述者香迪曾说自己用了两年时间来记录其生活中头两天的历史，然后香迪抱怨说，按照这种速度他永远也写不完自己的传记。在这一情节启发下，数学家罗素巧妙利用“无限未来”的概念提出了香迪悖论：如果香迪可以永远活下去，而且坚持不懈的写下去，那么，即是他的一生始终像开端那样充满需要记录的内容，他的传记也不会遗留任何部分。罗素的论证大致如下：假定香迪生于1700年1月1日，而写作开始于1720年1月1日。其写作进程如下：第2页，共16页，2023年，2月20日，星期四写作的年份涵盖的事件17201700年1月1日17211700年1月2日17221700年1月3日…………但是，每一天对应于一年，每一年对应于一天。对于任何一天，在未来都由指定的一年去记录它，绝无例外。“香迪的传记不会遗漏任何部分。”罗素的香迪悖论在常识看来不可思议。事实上，当我们逐渐了解集合论中的无穷观点后，就可以明白这一论证是正确的，并无荒谬之处。第3页，共16页，2023年，2月20日，星期四无穷集合的概念集合论的基础集合论的意义第4页，共16页，2023年，2月20日，星期四无穷集合（元素个数无穷）——一个“矛盾”的集合Aristotle（亚里士多德）考虑过无穷集合，他认为潜在的无穷（大）需要和真实的无穷（大）加以区别。微积分——重建数学基础微积分理论遇到严重的逻辑困难对微积分基础的严密论证成为集合论产生的一个重要原因

2.无穷集合的概念第5页，共16页，2023年，2月20日，星期四在重建微积分理论的过程中，Bolzano（波尔查诺）是第一个朝着建立集合的明确理论方向采取了积极步骤的人，他维护了集合的存在，并强调了两个集合等价的概念，即两个集合元素间的一一对应关系。他注意到无限集合的部分或子集可以等价于整体，例如0到5之间的实数可以通过公式与0到12间的实数构成一一对应，虽然和第二个数集包含了第一个数集。但是他同样也遇到了一些问题在他看来属于悖论的，因此他认为这些不必深入研究。3.集合论的基础第6页，共16页，2023年，2月20日，星期四xy0012.42.560.51.2512第7页，共16页，2023年，2月20日，星期四随着实数不可列性质的确立，康托又提出一个新的，更大胆的问题。1874年，他考虑了能否建立平面上的点和直线上的点之间的一一对应。从直观上说，平面上的点显然要比线上的点要多得多。康托自己起初也是这样认识的。但三年后，康托宣布：平面和直线之间可以建立一一对应，证明简述为只需证明区间(0,1)和单位正方形上的点一样多即可。

在区间(0,1)内的点都可以表示成一个无穷小数，比如0.2574892……

如果是1/4，可以表示成0.25000000……。

以0.257489257621……为例

我们把它的奇数位和偶数位分别取出来

得到两个新的数0.278272……和0.549561……

第8页，共16页，2023年，2月20日，星期四1845.3.3－1918.1.6GeorgCantor

集合论的创立者是GeorgCantor，Cantor对集合所下的定义是一些确定的，不同东西的总体，这些东西使人能意识到并判断一个给定的东西是否属于这个总体。对Cantor来说，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。当他把全体自然数看作一个集合时,他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西,这样他就肯定了实无穷。他定义了基数,可数集合（凡是能和自然数集一一对应的集合都称作可数集，也叫可列集）等概念。第9页，共16页，2023年，2月20日，星期四过去数学家认为靠得住的只有有限，而无穷最多只是模模糊糊的一个记号。而康托尔把无穷分成许多“层次”。在最初阶段，康托尔主要证明了无穷之间也有差别，既存在可数的无穷，比如自然数集，也存在那种像实数集合那样不可数的无穷。我们不妨看一些有关这些无穷集合分类的最基本的证明，了解一些最基本的数学思想。首先康托尔证明了有理数是可数集随后他又证明了实数是不可数集第10页，共16页，2023年，2月20日，星期四

实数不可数集（局部化思想）在（0，1）上考虑实数可表示为0.…为非负整数10.……20.……30.…………令b=0.……当=5，=4；当≠5=5。b=0.……=矛盾！反证法第11页，共16页，2023年，2月20日，星期四随着实数不可列性质的确立，康托又提出一个新的，更大胆的问题。1874年，他考虑了能否建立平面上的点和直线上的点之间的一一对应。从直观上说，平面上的点显然要比线上的点要多得多。康托自己起初也是这样认识的。但三年后，康托宣布：平面和直线之间可以建立一一对应，证明简述为只需证明区间(0,1)和单位正方形上的点一样多即可。

在区间(0,1)内的点都可以表示成一个无穷小数，比如0.2574892……

如果是1/4，可以表示成0.25000000……。

以0.257489257621……为例

我们把它的奇数位和偶数位分别取出来

得到两个新的数0.278272……和0.549561……

第12页，共16页，2023年，2月20日，星期四以它们作为横坐标和纵坐标的点是单位正方形内的一个点。所以区间(0,1)内的任意点都可以在单位正方形内找到唯一的对应点。

反过来，单位正方形内的一个点，(0.278272……,0.549561……)

可以对应为一个数0.257489257621……，

即单位正方形内的任意一个点都可以在区间(0,1)上找到唯一的对应点。所以区间(0,1)和单位正方形上的点一样多

同理可证直线和平面上的点一样多这一结果是出人意外的。就连康托本人也觉得“简直不能相信”。然而这又是明摆着的事实，它说明直观是靠不住的，只有靠理性才能发现真理，避免谬误。第13页，共16页，2023年，2月20日，星期四集合论基础我们知道，在有限集合中，两个元素是可以比较大小的，自然数集中的元素是同样可以比较大小的。在一般的无限集合中是怎样的情况呢？康托尔系统地研究了序数理论，提出了良序原理，即可以给任何集合内的所有元素定义一个大小关系，使得任意两个元素都可以比较大小，且该集合的任意子集都有最小元素。集合论本身出现矛盾20世纪集合论和数学基础研究的出发点第14页，共16页，2023年，2月20日，星期四

从无穷集合发展起来的集合论是现代数学中重要的基础理论。它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然