量纲分析和相似原理

量纲分析和相似原理1第1页，共25页，2023年，2月20日，星期四流体力学常用物理量的量纲5.1量纲分析2第2页，共25页，2023年，2月20日，星期四5.1量纲分析量纲齐次性原理：完整物理方程中各项的量纲必须相同。以单位重量的流体沿流线能量守恒形式的伯努利方程为例方程左边各项的量纲依次为对于量纲齐次的方程用方程中的任一项去除其它项，可以使方程无量纲化，从而减少方程的变量个数。3第3页，共25页，2023年，2月20日，星期四2.Π定理（白金汉定理）对于某个物理现象或过程，如果可以用n个变量来描述，写成数学表达式为：f(x1,x2,x3,…,xn)=0,而这些变量含有m个基本量纲，则该现象可以用(n-m)个无量纲量数组的表达式来描述，即F(1,2,…n-m)=0无量纲量数组的组成方式：在n个变量中取m个量纲不同的量作为基本变量，并把基本变量与其它变量中的一个组成数组，共组成（n-m）个无量纲数组，例取x1,x2,x3为基本变量，则数组为：………..5.1量纲分析4第4页，共25页，2023年，2月20日，星期四应用白金汉定理求某现象的无量纲数组的方法步骤：（1）列与该物理现象相关的全部n个变量

（2）找出基本量纲，设为m个

（3）从n个变量中选出包含全部基本量刚的m个基本变量（4）用基本变量与其它的任一个变量组成无量纲方程，并解出

n-m个无量纲数组

（5）利用无量纲数组建立描述该现象的方程【例5-1】不可压粘性流体在圆管道内流体流动的压降p与下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度ε、管内流体密度、流体的动力粘度，以及断面平均流速v有关。试用定理推出压降p的表达形式。5.1量纲分析5第5页，共25页，2023年，2月20日，星期四5.1量纲分析【解】（1）该流动现象共有7个变量p,d,l,ε,,,v（2）基本量刚为L，M，t，所以m=3（3）选出m=3个基本变量：、v、d（4）组成n-m=4个无量纲数组，求解将上述表达式写成量纲形式解得a1=-1,b1=-2,c1=0,故6第6页，共25页，2023年，2月20日，星期四解得a2=-1,b2=-1,c2=-1,故解得a3=0,b3=0,c3=-1,故解得a4=0,b4=0,c4=-1,故5.1量纲分析7第7页，共25页，2023年，2月20日，星期四（5）所解问题用无量纲数表示的方程为5.1量纲分析上述公式还可以写成对于给定长度和直径的管道进行适当的变换后有令则——达西公式。为沿程阻力系数。8第8页，共25页，2023年，2月20日，星期四5.1量纲分析3.Π定理的几点说明（1）无量纲数组的特性 ①对于确定的物理现象，无量纲数组个数是固定的

但是形式上不是唯一的

②无量纲数的算术运算的结果仍是无量纲数（2）作用在流体上的力压力惯性力黏性力重力表面张力弹性力9第9页，共25页，2023年，2月20日，星期四5.1量纲分析（3）流体力学中常见的无量纲数组①雷诺数②欧拉数③弗劳德数④韦伯数10第10页，共25页，2023年，2月20日，星期四5.1量纲分析⑤马赫数⑥毛细数（4）量纲分析的物理意义简化试验方案物理量量纲的推导校验方程确定相似试验条件11第11页，共25页，2023年，2月20日，星期四5.2相似原理与模型实验为使模型流动能表现出实型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出实型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。（1）几何相似（空间相似）1.相似的概念——两流动的对应边长成同一比例，对应角相等。线性比例系数面积比例系数体积比例系数基本比例常数12第12页，共25页，2023年，2月20日，星期四（2）时间相似——对应的时间间隔成比例对图示的两种管内流动其平均速度变化的时间间隔成比例5.2相似原理与模型实验13第13页，共25页，2023年，2月20日，星期四（3）运动相似——速度（加速度）场相似在不同的流动空间中，对应点、对应时刻上的速度（加速度）方向一致，大小成比例速度比例常数加速度比例常数流量比例常数基本比例常数5.2相似原理与模型实验14第14页，共25页，2023年，2月20日，星期四（4）力相似——力场的几何相似，作用在流体上的各种力的方向对应

一致，大小成比例。如图所示力比例常数密度比例常数基本比例常数5.2相似原理与模型实验15第15页，共25页，2023年，2月20日，星期四用基本比例常数表示的其他比例常数质量比例常数力比例常数压强比例常数运动粘度比例常数动力粘度比例常数5.2相似原理与模型实验16第16页，共25页，2023年，2月20日，星期四2.相似原理描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，并且单值条件必须相似，包括几何条件、物理条件、边界条件、初始条件等。【例5-2】以不可压缩流体定常流动的N-S微分方程为例导出相似准则。【解】N-S微分方程在x方向上的投影为与其相似的流动中流体质点的方程为(a)(b)5.2相似原理与模型实验17第17页，共25页，2023年，2月20日，星期四由相似准则必然有将（c）代入（b）,并整理后有(c)(d)式（a）和（d）相比较有(e)说明各相似倍数不是任意选取的，而是受上式约束的。5.2相似原理与模型实验18第18页，共25页，2023年，2月20日，星期四将式（e）后三项分别去除第一项，则有，即，即，即不可压定常流相似，他们的弗劳德数、欧拉数、雷诺数必相等相似原理可表述为：两种流动现象相似的充分必要条件是：能够用同一微分方程描述同一种类的现象；并且满足单值条件相似；有单值条件中的物理量组成相似准则相等5.2相似原理与模型实验这些无量纲数组称为相似准则或相似判据19第19页，共25页，2023年，2月20日，星期四3.相似原理的应用应用相似原理进行试验研究的步骤：（1）分析导出的相似准则，判断决定性准则

（2）根据选定的相似准则设计实验方案

（3）确定实验中要测量的物理量，测定相似准则中的物理量（4）将实验结果换算到实物系统中4.相似原理和量纲分析的比较相似理论：从微分方程出发导出无量纲数组

得到的相似准则具有确定的物理意义量纲分析：对试验涉及的物理现象进行分析得到无量纲判据 通常不考虑无量纲数的物理意义，应用范围比相

似理论要广泛5.2相似原理与模型实验20第20页，共25页，2023年，2月20日，星期四1.全面力学相似试验所有的相似准则都分别相等的相似试验实际的工程应用中很难保证所有的相似准则都相等，例如粘性不可压定常流动，要求模型和原型中的Re和Fr同时相等即若采用的流动介质相同，则为了保证Fr数相等与保证Re相等的条件矛盾5.2相似原理与模型实验21第21页，共25页，2023年，2月20日，星期四2.近似模化法在重力起主要作用的流动中，使实物和模型的Fr数相等（1）弗劳德模化法抓主要矛盾，简化相似条件适合于管内粘性流动的阻力损失的研究，保证Re数相等（2）雷诺模化法适合于雷诺数很小或很大的“自模化”流动，流动与雷诺数关系不大，此时可只考虑压强与惯性力的比值欧拉数相等。（3）欧拉模化法5.2相似原理与模型实验22第22页，共25页，2023年，2月20日，星期四【例5-3】管径d=50mm的输油管，装有弯头、开关等局部阻力装置，安装前需要测定压强损失，在实验室用空气进行试验。已知20℃时油的密度ρ油=889.6kg/m3;油的粘度ν油=10-6m2/s;空气的密度ρ气=1.2kg/m3;空气的的粘度ν气=15.7x10-6m2/s。试确定（1）当输油管中油的流速为2m/s时，实验室中空气在管内的流速为多少？（2）通过空气测得管道压强损失Δp气=7747N/m2，油液通过输油管时的压强损失Δp油为多少？5.2相似原理与模型实验【解】（1）管内流动粘性力起主要因素，雷诺数必须相等23第23页，共25页，2023年，2月20日，星期四5.2相似原理与模型实验由于管道直径相同（2）要对压力进行相似，必须满足欧拉数相等24第24页，共25页，2023年，2月20日，星期四3.方程分析法

利用描述物理现象的微分方程组和全部单值条件导出相似准则。常用的方程分析法有：相似转