2023届河南省新乡市高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题

2023届河南省新乡市高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数z满足，则的虚部为（

）A．1 B． C．i D．【答案】B【分析】由复数的乘法、除法运算化简复数，再由共轭复数的定义求出，即可得出答案.【详解】因为，所以，所以，故的虚部为．故选：B.2．已知集合，，若，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，分，和三种情况讨论即可.【详解】因为，且，若，则，不符题意，若，则，与题意矛盾，若，则，由，所以，即a的取值范围为.故选：C.3．已知随机变量X的分布列为X024Pm则（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根据分布列的性质及期望公式即得.【详解】由题可知，，解得，则．故选：D.4．已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线C上，，若的面积为，则（

）A．4 B．3 C．5 D．2【答案】A【分析】根据三角形面积公式，结合抛物线定义进行求解即可.【详解】由题意知,准线方程为，设．因为，的面积为，所以，则，所以．故选：A5．已知等差数列满足，则的前20项和（

）A．400 B．380 C．340 D．280【答案】A【分析】设，，则解方程即可求出，再由等差数列的前项和即可得出答案.【详解】设，所以，所以．因为，所以所以则，所以．故选：A.6．在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正方体，正三棱柱的性质，线面的位置关系及线面平行的判定定理结合条件逐项分析即得.【详解】A选项中，由正方体的性质可知，所以直线BM与平面CNQ不平行，故错误；B选项中，因为，故平面CNQ即为平面ACNQ，而，平面CNQ，平面CNQ，所以直线BM与平面CNQ平行，故正确；C选项中，因为，故平面CNQ即为平面BCNQ，则直线BM与平面CNQ相交于点B，故错误；D选项中，假设直线BM与平面CNQ平行，过点M作CQ的平行线交于点D，则点D是在上靠近点的四等分点，由，平面CNQ，平面CNQ，可得平面CNQ，又BM与平面CNQ平行，平面，则平面平面CNQ，而平面与平面，平面CNQ分别交于BD，QN，则BD与QN平行，显然BD与QN不平行，假设错误，所以直线BM与平面CNQ不平行，故错误．故选：B.7．定义在上的函数满足，且为偶函数，当时，，则（

）A．0 B． C． D．1【答案】A【分析】由和为偶函数，可知的周期为4，且的图象关于直线对称，利用函数的周期性和对称性将条件进行转化即可得出答案.【详解】因为，所以的周期为4．又为偶函数，所以的图象关于直线对称，则．故选：A.8．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据程序框图得到，计算得到答案.【详解】由题可知，．故选：D9．剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出点的横坐标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设点，易知，以为半径的左半圆的方程为，以为半径的右半圆的方程为，所以点的横坐标的取值范围是，又因为，，所以，.故选：B.10．已知函数在上存在零点，且在上单调，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的零点和单调性求出，从而可得根据函数在上单调，即可求的取值范围.【详解】，因为在上存在零点，所以，解得．又在上单调，所以，即，解得，则，则则解得．故选：C.11．已知F是双曲线的左焦点，P是E右支上一点，PF与E的渐近线分别交于A，B两点，且，则E的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设点，由可表示出，点的坐标，因为P是E右支上一点，带入椭圆得方程化简即可得出答案.【详解】不妨设点，，由，可得为的中点，所以，由，解得．因为，则得因为P是E右支上一点，则，则，故E的离心率为．故选：B.12．若，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据已知数的形式构造新函数，利用导数的性质进行求解判断即可.【详解】令函数，则．设，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以，则，则，所以在上单调递增，所以，即．因为，所以，则，故．故选：D【点睛】关键点睛：根据数的形式构造新函数，利用对数函数的以直代曲是解题的关键.二、填空题13．函数的图象在处的切线方程为______．【答案】【分析】根据导数的几何意义，结合直线点斜式方程进行求解即可.【详解】因为，所以，则，，故的图象在处的切线方程为．故答案为：三、双空题14．用0，2，3，4，5五个数组成无重复数字的四位数，则不同的四位数共有______个，其中偶数共有______个．【答案】

96

60【分析】五个数组成无重复数字的四位数只需满足首位不为0即可，其中偶数分为个位数是0和个位数不是0，即可得出答案.【详解】由题可知，满足条件的四位数共有个，其中偶数分为个位数是0和个位数不是0，若这个偶数的个位数是0，则有个；若这个偶数的个位数不是0，则有个.故满足条件的四位数中偶数的总个数为；故答案为：96；60四、填空题15．若正四面体的棱长为4，则该四面体内切球的球心到其一条侧棱的距离为______．【答案】【分析】设O为正四面体的内切球球心，也是外接球球心，D为的外心，过作，垂足为G，由题意求出，，又因为，求出，再由，即可求出答案.【详解】如图，设O为正四面体的内切球球心，也是外接球球心，D为的外心，过作，垂足为G，，．因为，所以，解得．因为，所以，解得，即该四面体内切球的球心到其一条侧棱的距离为．故答案为：.16．已知正项数列满足，，，若是唯一的最大项，则k的取值范围为______．【答案】【分析】根据数列递推关系得到是等比数列，进一步求出的通项公式，利用是最大项建立不等式求解即可.【详解】因为，所以，又，，所以是首项为64，公比为k的等比数列，则，则，因为是唯一的最大项，所以，即，解得，即k的取值范围为.故答案为：.五、解答题17．世界上的能源消耗有是由摩擦和磨损造成的，一般机械设备中约有80%的零件因磨损而失效报废．零件磨损是由多方面因素造成的，某机械设备的零件随着使用时间的增加，“磨损指数”也在增加．现根据相关统计，得到一组数据如下表．使用时间t/年12345磨损指数r/%(1)求r关于t的线性回归方程；(2)在每使用完一整年后，工人会对该零件进行检测分析，若该零件在下一年使用过程中的“磨损指数”超过10%，则该零件需要在本次检测后立即进行报废处理．根据（1）中的回归方程，估计该零件使用多少年后需要进行报废处理？参考数据：，．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．【答案】(1)(2)8年【分析】（1）根据题中所给的公式和数据进行求解即可；（2）运用代入法进行求解判断即可.【详解】（1）因为，所以．又，，所以，所以．故r关于t的线性回归方程为．（2）由（1）可知，当时，，当时，．故估计该零件使用8年后需要进行报废处理．18．如图，在中，D，E在BC上，，，．(1)求的值；(2)求面积的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据三角形面积公式结合条件可得，，进而可得，然后利用正弦定理即得；（2）设，根据余弦定理及三角形面积公式结合条件可表示三角形面积，然后利用二次函数的性质结合条件即得.【详解】（1）因为，，，所以，，故，即，则在中，根据正弦定理可得，；（2）设，则，由解得，在中，，则，，由，得，则，故面积的取值范围为．19．如图，在斜三棱柱中，，，分别为，的中点，．(1)证明：四边形为正方形．(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）连接，，依题意可得，，即可得到平面，从而得到，再由得到，即可得到为矩形，再证明邻边相等即可得证；（2）由题可知，四面体为正四面体，以的中心点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：连接，，因为，所以与均为正三角形．因为为的中点，所以，．又，平面，所以平面．因为平面，所以．又，所以，则四边形为矩形．因为，，所以，故四边形为正方形．（2）解：由题可知，四面体为正四面体，以的中心点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．设平面的法向量为，则，即，令，得．设直线与平面所成的角为，则．20．已知椭圆的长轴长为4，O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，B为椭圆C的上顶点，且的面积为．(1)求椭圆C的方程．(2)过点的直线l与椭圆相交于P，Q两点，过点P作x轴的垂线，与直线AQ相交于点M，N是PM的中点，试问直线AN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】(1)(2)直线AN的斜率为定值，定值为．【分析】（1）根据椭圆的性质列方程组求解；（2）联立直线l与椭圆方程，求出点M，点N的坐标，再由斜率公式结合韦达定理得出直线AN的斜率为定值.【详解】（1）由题可知，解得故椭圆C的方程为．（2）由题可知，直线l的斜率一定存在，设l的方程为，，，联立方程组,消去y整理得．，解得，，．直线AQ的方程为，令，得，即点M的坐标为，则点N的坐标为．直线AN的斜率．故直线AN的斜率为定值，且该定值为．【点睛】关键点睛：解决问题（2）的关键在于，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理建立的联系，从而证明直线AN的斜率为定值.21．已知，函数．(1)讨论的单调性；(2)设表示不超过x的最大整数，证明：，．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）对求导，分和，讨论导函数的符号，即可得出函数的单调性.（2）当时，由（1）可知，，由此可得，由裂项相消法结合题意放缩可证明，即可证明.【详解】（1）因为，，所以．当时，恒成立，故在上单调递减．当时，由，解得，则在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：当时，由（1）可知，，即，当且仅当时，等号成立，则，则，则．又，所以，故，从而．【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求出的普通方程和的直角坐标方程；(2)若与有公共点，求m的取值范围．【答案】(1)：，：(2)【分析】（1）消参法求的普通方程，公式法求的直角坐标方程；（2）根据与有公共点，即圆心到直线距离小于等于半径列不等式求参数范围.【详解】（1）因为，所以的普通方程为．因为，所以，故的直角坐标方程为．（2）因为与有公共点，且不在上，且圆