2023届江西省宜春市丰城县高三下学期4月一模文科数学试题

2023届宜春市丰城县高三下学期4月一模数学（文）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．设集合，，则（

）A． B．C． D．2．复数满足，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．3．已知等差数列满足，则数列的前项和（

）A． B． C． D．4．已知，其中为常数，若，则的值为（）A． B． C． D．5．某校高一(1)班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是和，现甲、乙各投篮一次，至少有一人投进球的概率是（

）A． B． C． D．6．若平面向量，，则（

）A． B． C． D．7．已知向量，，，若，则（

）A．2 B．-2 C．3 D．8．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m(k＝1，2，3)，则m的值为（

）A． B．C． D．9．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取三个音阶，排成一个三个音阶的音序，则这个音序中必含“徵”这个音阶的概率为（

）A． B． C． D．10．据调查，某商品一年内出厂价按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，根据以上条件可确定f（x）的解析式为（

）A．B．f（x）＝9sin（）（1≤x≤12，x∈N+）C．D．f（x）＝2sin（）+6（1≤x≤12，x∈N+）11．斐波那契数列在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：，当时，．若，则（

）A．98 B．99 C．100 D．10112．已知定义在R上的函数满足，且，若关于x的方程恰有5个不同的实数根，，，，，则的取值范围是A．（-2，-1） B．（-1，1）C．（1，2） D．（2，3）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)13．设向量，，，且，则__________．14．在的展开式中，含有项的系数是________．15．在直三棱柱中，，是上一点，则的最小值为_________.16．过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，过的直线与轴和轴分别交于，则面积的最小值为__________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．已知直线，直线经过点，且.（1）求直线的方程；（2）记与y轴相交于点A，与y轴相交于点B，与相交于点C，求的面积.18．某地教体局为了解该地中学生暑假期间阅读课外读物的情况，从该地中学生中随机抽取100人进行调查，根据调查所得数据，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中m的值，并估计该地中学生暑假期间阅读课外读物数量的平均值；（各组数据用该组中间值作代表）(2)若某中学生在暑假期间阅读课外读物不低于6本，则称该中学生为阅读达人，以样本各组的频率代替该组的概率，从该地中学生中随机抽取4人，记抽取到的中学生为阅读达人的人数为X，求X的分布列与数学期望.19．如图所示，在梯形中，∥，⊥，，⊥平面，⊥．（1）证明：⊥平面；（2）若，求点到平面的距离．20．已知抛物线的焦点为，点满足.（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线交抛物线于两点，当时，求直线的方程.21．已知函数（为无理数，）（1）求函数在点处的切线方程；（2）设实数，求函数在上的最小值；（3）若为正整数，且对任意恒成立，求的最大值．请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（为参数），.(1)求曲线的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；(2)已知点，设曲线与曲线的交点为、，当时，求的值.23．【选修4-5：不等式选讲】设函数.(1)解不等式；(2)令的最小值为，正数，，满足，证明：.

1．C2．D3．C4．D5．D6．D7．C8．B9．C10．A11．B12．B13．714．15．16．17．（1）（2）9【解析】（1）根据，得到的斜率，结合过点，得到答案；（2）根据题意求出，，坐标，从而得到的面积.【详解】（1）由直线知，又因，所以；因为直线经过点，则直线的方程为，即（2）由（1）可得与y轴相交于点，与y轴相交于点，且与相交于点，故的面积.【点睛】本题考查根据直线垂直关系求直线方程，求直线与坐标轴围成的三角形的面积，属于简单题.18．(1)；平均值为；(2)分布列见解析；.【分析】（1）先由频率分布直方图的频率公式及频率之和为1求得m，再利用频率分布直方图的平均值求法求得平均值；（2）先根据频率分布直方图求得抽取到阅读达人的概率，再利用二项分布概率公式和数学期望公式求得X的分布列和数学期望.【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得，则可以估计该地中学生暑假期间阅读课外读物数量的平均值为：.（2）由频率分布直方图可知从该地中学学生中随机抽取1人，此人是阅读达人的频率为，所以从该地中学生中随机抽取4人，记抽取到的中学生为阅读达人的人数为X，则，故.所以，，，，，X的分布列为：X01234PX的数学期型.19．（1）见解析（2）【分析】（1）通过⊥，⊥来证明；（2）根据等体积法求解.【详解】（1）证明：∵⊥平面，平面，∴⊥.又⊥，，平面，平面，∴⊥平面.（2）由已知得，所以

且由（1）可知，由勾股定理得

∵平面∴=，且

∴，由，得∴

即点到平面的距离为【点睛】本题考查线面垂直与点到平面的距离.线面垂直的证明要转化为线线垂直；点到平面的距离常规方法是作出垂线段求解，此题根据等体积法能简化计算.20．（1）（2）【详解】试题分析：（1）根据点在抛物线上及，即可求得得值，从而可求出抛物线的方程；（2）易知直线斜率必存在，设，，，由，可得，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，即可求出，从而可求出直线的方程.试题解析：（1）由条件易知在抛物线上，，

故，即抛物线的方程为；

（2）易知直线斜率必存在，设，，，

①，

联立得即，

由得，且②，③，

由①②③得，即直线.

21．（1）；（2）当时,，当时，.（3）3.【分析】（1）求导，求出函数在点处的切线斜率，由点斜式求出切线方程；（2）研究函数在上的单调性即可求出在上的最小值；（3）由题意分离变量对任意恒成立，即即可，构造函数，研究的性质，求出其最小值即可.【详解】解：（1）∵函数的定义域为又，故函数在点处的切线方程为，即.（2）∵，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.当时，在单调递增，当时，得.故当时,，当时，.（3）对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，令，则，所以在上单调递增．∵，则，∴所以存在唯一零点，即．当时，；当时，；∴在时单调递减；在时，单调递增；∴由题意，，又因为为正整数，所以的最大值为3.22．(1)；椭圆；(2).【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求出的直角坐标方程，再由方程确定曲线作答.（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，利用几何意义计算作答.【详解】（1）把代入得：，即，所以曲线的直角坐标方程是，它是焦点在x轴上的椭圆.（2）由（1）知，把方程代入并整理得：，设点、所对参数分别为，于是得，，由直线参数方程的几何意义知：，解得，而，于是得，所以的值是.23．(