2023届四川省攀枝花市第七高级中学高三上学期第四次诊断考试数学（理）试题

2023届四川省攀枝花市第七高级中学高三上学期第四次诊断考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出集合中的元素，再求即可.【详解】集合，故选：C.2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】求出复数z的代数形式，进而求模即可.【详解】,,则故选：B3．已知向量，，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则【答案】B【分析】根据向量平行、垂直的坐标表示以及模长公式一一判断求解.【详解】对于A，若，则有，所以，A错误；对于B，若，则有，所以，B正确；对于C，，所以，解得或，C错误；若与的夹角为钝角，则，即，且与不能共线且反向，由A选项可知，当时，，此时与共线且反向，所以若与的夹角为钝角，则且，D错误，故选:B.4．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】若，则，若，则.【详解】由，可得，此时有，满足充分性；由，可得，不能得到，不满足必要性.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A5．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为10，14，则输出的（

）A．10 B．6C．4 D．2【答案】D【分析】根据流程图计算出结果.【详解】，，且，故，，，，，，，，，，，输出.故选：D6．设顶角为的等腰三角形为最美三角形，已知最美三角形顶角的余弦值为，则最美三角形底角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出底角为，然后利用余弦的二倍角公式求解即可【详解】由题意得，底角为，则．故选：B7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，分别求出体积即可.【详解】该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，底面三角形的面积为，三棱柱和三棱锥的高为1，则三棱柱的体积，三棱锥的体积为，故该几何体的体积为.故选A.【点睛】本题考查了空间组合体的三视图，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.8．法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，人们将“（p为素数）”形式的素数称为“梅森素数”，目前仅发现51个“梅森素数”，可以估计，这个“梅森素数”的位数（例如“梅森素数”的位数是2）为（参考数据：）（

）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】C【分析】由题意，先计算，即可得到的位数.【详解】依题意，，∴，所以这个“梅森素数”的位数为21位，故选：C．9．函数在区间上的图象为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性，然后代入计算，从而得正确答案.【详解】，为奇函数，排除A；又，排除B；，即，排除C，故选：D10．已知奇函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数的图象（

）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称【答案】A【分析】先由奇函数及周期求得，再由平移求得，再利用正弦函数的对称性求解即可.【详解】因为是奇函数，则，又，则，又因为最小正周期，，则，则，则，令，解得，当时，，时，，时，，即函数关于点对称，A正确，B错误；令，解得，当时，，时，，C错误，D错误.故选：A.11．在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，，交于点F，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得AB＝4，AC＝3，设，根据平面向量的线性运算，推出，由B，E，F三点共线求得λ，再将表示成以为基底的向量，由平面向量数量积的运算法则得答案．【详解】如图：由，得AB＝4，AC＝3，设，则三点共线，，即，则故选：C.12．直线与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标依次是、、，则下列关系式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先用转化法判断两条曲线的交点个数，再利用导数的性质画出两个函数图象，最后利用数形结合思想进行求解即可.【详解】当时，则有，设函数，则，当时，单调递增，当时，单调递减，而，而，如下图所示：因此曲线的交点只有一个，因此曲线和只有一个交点，,当时，单调递增，当时，单调递减，且当时，，且，图象如下图所示，，当时，单调递增，当时，单调递减，且当时，，当时，，图象如下图所示，当直线经过曲线和唯一的公共点时，直线与两条曲线恰好有三个不同的交点，如上图所示，则有，且，①对上式同构可得：，∵，且函数在单调递增，∴，②又∵，，且函数在上单调递减，∴③由方程②③可得：，再结合方程①可得：．故选：D【点睛】关键点睛：用转化法判断曲线、的交点个数是解题的关键.二、填空题13．函数的图象在点处的切线方程为________.【答案】【分析】求出导函数，得到切线斜率，结合点斜式得到方程.【详解】由，得，所以切线的斜率为，又，所以切线方程为即故答案为：14．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点，则______．【答案】##【分析】根据三角函数的定义求出，然后代入计算即可.【详解】由三角函数的定义可得，故答案为：.15．已知向量与的夹角是，，，则向量与的夹角为______．【答案】【分析】先根据条件求出，，再利用向量的夹角公式计算即可.【详解】由已知，，，又，故答案为：16．若函数在上存在唯一的零点，若函数在上存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】根据导数的性质，结合函数的零点定义进行求解即可.【详解】由，因为，所以，因此，所以单调递增，故，因为在上存在唯一的零点，所以有；由，由函数的性质可知：当时，，函数单调递减，当时，单调递增，要想，只需，综上所述：．故答案为：【点睛】关键点睛：利用导数的性质，结合函数零点的定义是解题的关键.三、解答题17．已知向量，．设函数．(1)求函数的最小正周期；(2)在中，角所对的边分别为，当时函数取得最大值，若，且，试求的面积．【答案】(1)(2)．【分析】（1）先利用向量加法和数量积的坐标表示及三角恒等变换化简，再根据正弦函数的性质求解即可；（2）根据正弦函数的图象和性质求出角和边，再利用余弦定理和三角形面积公式求解即可.【详解】（1）由题意可得，所以，所以的最小正周期.（2）由（1）得当即时，取得最大值，又因为，，所以，，在中，由余弦定理，有，即，解得，所以．18．如图，在梯形中，，．(1)若，求周长的最大值；(2)若，，求的值．【答案】(1)9(2)．【分析】（1）由余弦定理结合基本不等式求出最值；（2）设，在和中使用正弦定理，联立得到，由正弦和角公式得到，从而得到，求出的值.【详解】（1）在中，，即，解得：，当且仅当时取等号．故周长的最大值是9．（2）设，则，．在中，，在中，，两式相除得，，因为，∴，故．19．如图，在四棱锥中，平面，，，过的平面与，分别交于点，，连接，，．(1)证明：．(2)若，，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）依题意可得平面，再根据线面平行的性质证明．（2）以为坐标原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系．求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解平面与平面夹角的余弦值．【详解】（1）证明：，平面，平面，平面．又平面，平面平面，．（2）解：因为平面，，如图以为坐标原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，、、、，又平面，平面，，又，，平面平面，平面，，又，，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又，是的中点，是的中点，，，所以，，又平面的法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，，，，所以平面与平面夹角的余弦值为.20．已知椭圆：（）的左焦点与抛物线的焦点重合，直线与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切．(1)求该椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于，两点．记的面积为，的面积为．问：是否存在直线，使得，若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)不存在直线使得，理由见解析.【分析】(1)结合椭圆方程求出半焦距，然后利用直线与圆相切得到离心率，进而求出，最后利用得到即可求解；(2)结合已知条件，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，结合韦达定理求出线段的中点，然后利用垂直关系求出的横坐标，根据得到，进而得到，再通过得到，最后利用距离公式即可求解.【详解】（1）不妨设左焦点的坐标为，由抛物线方程可知，，即，因为直线与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切，故圆心到直线的距离，从而，又因为，所以椭圆的方程为：.（2）结合已知条件，作图如下：假设存在直线使，显然直线不能与，轴垂直．∴直线的斜率存在，设其方程为，，，联立直线和椭圆的方程，即，整理得，，由韦达定理可知，，，∴中点，∵，∴，解得，，即，∵，∴，∴，即，又∵，∴，∴，整理得，，方程无解，故不存在直线满足．21．已知函数，．(1)求的单调区间；(2)对于任意正整数n，，求t的最小正整数值．【答案】(1)答案见解析(2)3【分析】(1)对函数求导，对参数分类讨论求得函数的单调区间.(2)由（1）的结论得出，利用归纳法求得取值范围，即可得到t的最小正整数值.【详解】（1）因为,定义域为，所以，若，则当时，，函数单调递增；若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，综上所述，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1）知，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．所以，即，则有，当且仅当时等号成立，∴，．一方面：，即．另一方面：当时．，当时，．∵，，∴t的最小正整数值为3．22．已知半圆C的参数方程为，其中为参数，且．(1)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求半圆C的极坐标方程；(2)在（1）的条件下，设T是半圆C上的一点，且，试写出T点的极坐标．【答案】(1)，(2)．【分析】（1）把参数方程化为普通方程，得出圆心与半径，然后直接根据圆的极坐标方程写出结论；（2）在（1）的极坐标方程中由求得极角后可得