2023届四川省攀枝花市高三第三次统一考试数学（文）试题

2023届四川省攀枝花市高三第三次统一考试数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简集合，根据交集的定义求解即可.【详解】因为，所以，又，所以.故选：C.2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i为虚数单位）为“等部复数”，则实数a的值为（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】先化简复数，利用“等部复数”的定义：实部和虚部相等，列出方程求出的值．【详解】，复数为“等部复数”，，故选：B．年月日至日的最高气温与最低气温的天气预报数据，下列说法错误的是（

）A．这天的单日最大温差为度的有天B．这天的最高气温的中位数为度C．这天的最高气温的众数为度D．这天的最高气温的平均数为度【答案】D【分析】确定这天的单日最大温差为度的日期，可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用众数的概念可判断C选项；利用平均数公式可判断D选项.【详解】对于A选项，这天的单日最大温差为度为月日、月日，共天，A对；对于B选项，这天的最高气温由小到大依次为：、、、、、、（单位：），故这天的最高气温的中位数为度，B对；对于C选项，这天的最高气温的众数为度，C对；对于D选项，这天的最高气温的平均数为，D错.故选：D.4．如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据程序框图，明确该程序的功能是求分段函数的值，由此根据该函数值域，可求得答案.【详解】由程序框图可知：运行该程序是计算分段函数的值，该函数解析式为，输出的函数值在区间内，必有当时，，，当时，，，即得．故选∶B．5．若角的终边上有一点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正切函数的定义及二倍角的正切公式求解.【详解】因为角的终边上有一点，所以，所以，故选：A6．对于直线m和平面，，下列命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】C【分析】根据线面关系和面面关系逐项判断可得出答案.【详解】对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若，，则或，故B错误；对于C，若，，则，故C正确；对于D，若，，则与相交或或，故D错误.故选：C.7．已知，，，，若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（

）A． B． C．或 D．且【答案】C【分析】分类讨论为真和为真时，的取值，进而利用集合的交集关系，即可求解【详解】若p真，则；若q真，则或．又因为“p且q”是真命题，所以或．故选：C．8．已知，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（

）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b【答案】D【分析】由对数的运算法则求出a,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b,c进行放缩，最后求得答案.【详解】由题意，，，，则.故选：D.9．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形.若向图2随机投一点，则该点落在白色部分的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算出白色部分对应的面积后根据几何概型的概率公式可求概率.【详解】设圆的半径为2，如图设与交于，设的中点为，连接.则，设，则，故，而题设中空白部分的面积为，故点落在白色部分的概率是，故选：D.10．已知双曲线，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据题意求得直线l的斜率，再根据直线l与C存在公共点，只需直线l的斜率大于渐近线的斜率即可求解.【详解】依题意，可得，则，又因为直线l垂直平分线段，所以，因为直线l与C存在公共点，所以，即，则，即，解得，所以双曲线C的离心率的取值范围是.故选：B11．已知函数对任意都有，则当取到最大值时，图象的一条对称轴为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根据，得到，结合，得到的范围，求出的范围，进而得到的最大值为，再利用整体法求出函数的对称轴，得到答案.【详解】，,，，，，所以的最大值为，当时，令，解得，当时，对称轴为，经检验，其他三个均不合要求.故选：A12．定义在R上的连续函数满足，且时，，则（

）A． B． C．2 D．0【答案】B【分析】首先根据题意，得到，，从而得到函数的周期为，再根据求解即可.【详解】因为函数满足，所以关于对称，即①.又因为为奇函数，所以，即②.由①②知，所以，即，所以函数的周期为，所以，,因为时，，所以，又为奇函数，所以当时，，所以，故选：B.二、填空题13．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为___________.【答案】2【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】作出约束条件对应的平面区域，如图所示，由，可得直线，当直线过点A时，此时直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，又由，解得，所以的最大值为.故答案为：2.14．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，则________.【答案】【分析】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式求出直线的方程，将直线方程与抛物线联立得到一元二次方程，利用韦达定理得到，，由即可求出.【详解】抛物线的焦点为，设A，B两点的坐标为和，由题意得直线的方程为，将直线和抛物线联立，可得，其中，则，，.故答案为：15．如图，圆台中，，其外接球的球心O在线段上，上下底面的半径分别为，，则圆台外接球的表面积为________.【答案】【分析】列出外接球半径所满足的方程，解出半径，得外接球表面积.【详解】设外接球半径为R，则，解得，所以外接球表面积为，故答案为：.16．如图，四边形中，与相交于点O，平分，，，则的值_______.【答案】/【分析】由余弦定理求出，再由正弦定理求出，即得解；【详解】在中，，由余弦定理得，所以.由正弦定理得，.即.又因为平分，所以.故答案为：三、解答题17．某企业从生产的一批产品中抽取个作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；(2)用频率代替概率，按分层抽样的方法从质量指标值位于、内的产品中随机抽取个，再从这个产品中随机抽个，求这个产品质量指标值至少有一个位于内的概率.【答案】(1)平均数为，中位数为(2)【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出，利用中位数的定义可求得样本的中位数；（2）分析可知质量落在有个，分别记为、、、，质量落在有个，分别记为、，列举出所有的事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）解：由已知得．因为．设中位数为，则，则，解得．（2）解：质量指标值位于、内的产品的频率分别为，，其中，所以用分层抽样的方法抽取的个产品中，质量落在有个，分别记为、、、，质量落在有个，分别记为、，则从这个产品中随机抽个，共种情况，如下：、、、、、、、、、、、、、、，这种情况发生的可能性是相等的.设事件为从这个产品中随机抽个，这个产品质量指标值至少有一个位于内，有、、、、、、、、，共种情况.则.18．已知等差数列的公差为，前n项和为，现给出下列三个条件：①成等比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.(1)求数列的通项公式；(2)若，且，设数列的前n项和为，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先分析条件①②③分别化简，若选①②，①③，②③，联立化简后条件求首项与公差得出通项公式即可；（2）由，利用累加法求出求出，再由裂项相消法求出的前n项和，结合的单调性可得证.【详解】（1）由条件①得，因为，，成等比数列，则，即，又，则，由条件②得，即，由条件③得，可得，即.若选①②，则有，可得，则；若选①③，则，则；若选②③，则，可得，所以.（2）由，且，当时，则有又也满足，故对任意的，有，则，所以，由于单调递增，所以，综上：.19．如图1，圆O的内接四边形中，，，直径.将圆沿折起，并连接、、，使得为正三角形，如图2.(1)证明：图2中的平面；(2)在图2中，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用勾股定理证明，然后结合可证；（2）利用可求答案.【详解】（1）由题意得到，，所以.所以.因为为直径所对的圆周角，所以.又，平面，平面，平面.（2）因为平面，平面，所以，因为，，所以平面，因为平面，所以，所以.20．已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆的上、下顶点分别为点和，动点在圆上，动点在椭圆上，直线、的斜率分别为、，且.证明：、、三点共线.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）求出的值，利用椭圆的定义可求得，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）计算得出，结合已知条件可得出，即可证得结论成立.【详解】（1）易知椭圆的.点在椭圆上，且，.由得，椭圆的标准方程为：.（2）设，因为.由得.为圆的直径，所以，，.故、、三点共线.【点睛】关键点点睛：本题考查三点共线的证明，解题的关键在于根据椭圆的方程计算得出，以及由圆的几何性质得出，结合斜率关系来进行证明.21．已知函数在处的切线方程为.(1)求实数a，b的值；(2)当时，恒成立，求正整数m的最大值.【答案】(1)，(2)3【分析】（1）求出导数，根据题意列出方程组求解即可得解；（2）分离参数转化为的最小值，利用导数判断单调性及极值确定最小值为，根据单调性求出的范围即可得解.【详解】（1）定义域为，.由题意知，解得，.（2）由题意有恒成立，即恒成立设，，.当时，，令，其中，则所以函数在上单调递增因为，，所以存在唯一，使得，即，可得.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增.，，由对勾函数性质知函数在递减，，.当时，不等式对任意恒成立，正整数m的最大值是3.【点睛】关键点点睛：第一个关键点首先要分离参数，将问题转化为恒成立，第二个关键在于求取函数的最小值，需结合零点存在性定理得出隐零点，分析的范围.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），曲线，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求，的极坐标方程；(2)若射线分别与曲线，相交于A，B两点，求的面积.【答案】(1)，(2)【分析】（1）两式平方相减消去参数即可得出曲线普通方程；利用将直角坐标方程转化为极坐标方程；（2）利用极坐标的几何意义，求得的长，利用直线与夹角为及的长，求得边上的高，从而求得面积.【详解】（1）依题意得，化简整理得：令，，化简得.对于，化简得：.（2）