2023版高考数学一轮复习讲义：第八章立体几何初步8-2

成套的课件成套的教案成套的试题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸第二节空间几何体的表面积和体积·最新考纲·了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．·考向预测·考情分析：高考常以三视图为载体，主要考查柱、锥、球的表面积和体积，以选择题、填空题的形式出现，属于容易题．学科素养：通过空间几何体的表面积与体积的计算考查直观想象、数学运算的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记2个知识点1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝____S圆锥侧＝____S圆台侧＝________2.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝____锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝________台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上球S＝________V＝________二、必明3个常用结论1．正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.2．长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a23．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.()(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．()(4)球的体积之比等于半径之比的平方．()(二)教材改编2．[必修2·P27练习T1改编]已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________cm.3.[必修2·P29习题B组T1改编]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于________，表面积等于________．(三)易错易混4．(长度单位与体积单位的换算出错)《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆的周长约为(A.1丈3尺B．5丈4尺C.9丈2尺D．48丈6尺5．(不会分类讨论致误)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为________．(四)走进高考6．[2021·全国甲卷]已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一空间几何体的侧面积和表面积[基础性、综合性][例1](1)[2022·云南省部分学校统一检测]《九章算术》中将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“阳马”和某“堑堵”的组合体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．28＋122B．24＋122C．26＋122D．12＋242(2)[2022·河南周口模拟]如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为()A．4＋42B．4＋43C．12D．8＋42听课笔记：反思感悟三类几何体表面积的求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将不规则几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出不规则几何体的表面积【对点训练】1．[2020·全国卷Ⅲ]如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A.6＋42B．4＋42C.6＋23D．4＋232．[2022·安徽池州市高三模拟]古希腊数学家欧几里德在其著作《几何原本》中定义了相似圆锥：两个圆锥的高与底面的直径之比相等时，则称这两个圆锥为相似圆锥．已知圆锥SO的底面圆O的半径为3，其母线长为5.若圆锥S′O′与圆锥SO是相似圆锥，且其高为8，则圆锥S′O′的侧面积为()A.15πB．60πC.96πD．120π3．[2022·福建厦门市高三模拟]2008年北京奥运会游泳中心(水立方)的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形)，已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是()A.93＋6B．93＋8C.123＋6D．123＋8考点二空间几何体的体积[综合性]角度1公式法求体积[例2]正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为()A.20＋123B．282C.563D．听课笔记：角度2割补法求体积[例3]在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为4cm，母线长最短5cm，最长8cm，则斜截圆柱的体积V＝________cm3.听课笔记：一题多变(变问题)若例3中条件不变，求斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.角度3等体积法求体积[例4]如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为()A.312B．C.612D．反思感悟(1)处理体积问题的思路(2)求体积的常用方法①直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算．②割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算．③等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换．【对点训练】1．如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形．点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1­AEF的体积为2，则四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为()A.12B．8C．20D．182．图1是一种生活中常见的容器，其结构如图2所示，其中ABCD是矩形，ABFE和CDEF都是等腰梯形，且AD⊥平面CDEF.现测得AB＝20cm，AD＝15cm，EF＝30cm，AB与EF间的距离为25cm，则几何体EF­ABCD的体积为()A.2500cm3B．3500cm3C.4500cm3D．3800cm3考点三空间几何体的外接球与内切球[创新性]角度1几何体的外接球[例5](1)[2022·天津市武清区检测]《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P­ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A.12πB．20πC．24πD．32π(2)[2022·天津高三模拟]长方体ABCD­A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB＝2，AD＝3，AA1＝1，则球面面积为()A.83πB．43πC．4πD听课笔记：反思感悟处理球的“接”问题的策略把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[例6](1)[2022·成都市高三模拟]《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P­ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱锥P­ABC有一个内切球O，则球O的体积为()A.9π2B．9π4C．9π16(2)[2022·江苏南京高三模拟]已知直三棱柱ABC­A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为()A.25∶1B．25∶1C.5∶1D．5∶1听课笔记：一题多变(变条件，变问题)若例6(1)中“若三棱锥P­ABC有一个内切球O，”改为“若三棱锥P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，”则球O的表面积为________．反思感悟(1)处理球的“切”问题的策略，解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：【对点训练】1．[2022·河北衡水市检测]已知正三棱锥S­ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为2，则此三棱锥的外接球的表面积为()A.πB．3πC．6πD．9π2．[2022·沙坪坝区测试]在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝PC＝5，AB＝AC＝BC＝3，则三棱锥P­ABC外接球的表面积是()A.9πB．152C.4πD．2543．已知在三梭锥A­BCD中，AB＝CD＝2，AD＝AC＝BC＝BD＝3，则该三棱锥内切球的体积为()A.714π64BC.1111π3D微专题28数学文化与立体几何的交汇交汇创新纵观近几年高考，立体几何以数学文化为背景的问题层出不穷，让人耳目一新．从中国古代数学文化中挖掘素材，考查立体几何的有关知识，既符合考生的认知水平又可以引导考生关注中华优秀传统文化，并提升审题能力，增加对数学文化的理解，发展数学核心素养．[例][2022·四川眉山市高三模拟]中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”．如图所示的鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，若CD＝1，AC＝5，且顶点A，B，C，D均在球O上，则球O的表面积为________．解析：由题意可知：球O为鳖臑ABCD的外接球，∵AB⊥平面BCD，BD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥BD，AB⊥CD，又CD⊥BC，AB，BC⊂平面ABC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴CD⊥AC；取AD中点E，连接BE，CE，∵AB⊥BC，∴BE＝AE＝DE，同理可知：CE＝AE＝DE，∴点E与球O的球心O重合，球O的半径R＝12AD＝12AC∴球O的表面积S＝4πR2＝6π.答案：6π名师点评求解与数学文化有关的立体几何问题，首先要在阅读理解上下功夫，明确其中一些概念的意义，如“堑堵”“阳马”和“鳖臑”等的特征是求解相关问题的前提，其次目标要明确，根据目标联想相关公式，然后进行求解．[变式训练][2022·安徽高三测试]《九章算术》是中国古代的数学专著，在卷五《商功》中有一问题：今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈．问积几何？答曰：四千三百七十五尺．意思是说现在有一条水沟，截面是梯形，梯形上底长一丈五尺，下底长一丈，水沟的深为五尺，长七丈．问水沟的容积是多大？答案是4375立方尺．若此沟两坡面坡度相同，某人想给此沟表面铺上水泥进行固定，不计水泥厚度，则需要水泥多少平方尺？(一丈等于十尺)()A．4375B．1875＋3505C．1750＋3505D．700＋3505第二节空间几何体的表面积和体积积累必备知识一、1．2πrlπrlπ(r′＋r)l2．Sh13Sh4πR243π三、1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．解析：设底面半径为r，由侧面展开图为半圆可知，圆锥母线长l＝2r，所以S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，所以r2＝4，所以r＝2.答案：23．解析：如图，由三视图可知该几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的一半，故该几何体的体积为12×π×22×3＝6π，表面积为2×12×π×22＋4×3＋π×2×3＝10π答案：6π12＋10π4．解析：设圆柱底面圆半径为r，高为h，依题意，圆柱体积为V＝πr2h，即2000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9尺，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺．答案：B5．解析：圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝4π，即r＝2.所以S底＝4π，所以S表＝24π2＋8π.②以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝6π，即r＝3，所以S底＝9π，所以S表＝24π2＋18π.答案：24π2＋8π或24π2＋18π6．解析：设该圆锥的高为h，则由已知条件可得13×π×62×h＝30π，解得h＝52，则圆锥的母线长为h2+62＝254+36＝13答案：39π提升关键能力考点一例1解析：(1)由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，“堑堵”的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为4，“阳马”的底面是边长为2的正方形，高为2，所以该几何体的表面积分两部分，“堑堵”部分的表面积S堑堵＝12×2×2×2＋22×4＋2×4＋2×4－12×2×2＝18＋8“阳马”部分的表面积，S阳马＝2×2＋12×2×2＋12×2×22+12×2×22＝所以该几何体的表面积为S堑堵＋S阳马＝18＋82＋6＋42＝24＋122.(2)连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝22，BC＝2.又AB⊥BC，则AB＝2，则该三棱柱的侧面积为22×2＋2×2＝4＋42.答案：(1)B(2)A对点训练1．解析：在正方体中还原几何体如图．几何体为正方体的一部分：三棱锥P­ABC，S表面积＝S△PAC＋S△PAB＋S△PBC＋S△BAC＝12×22×22×32+12×2×2＋12×2×2＋12答案：C2．解析：由题意得：圆锥SO的底面直径为6，高为52-3所以高与底面直径之比为46＝2因为圆锥S′O′与圆锥SO是相似圆锥，且其高为8，所以圆锥S′O′的底面直径为823＝12，则底面半径为所以圆锥S′O′的母线长为82+6所以圆锥S′O′的侧面积为12×2π×6×10＝答案：B3．解析：棱长为1的正方形的面积为1×1＝1，正六边形的面积为6×12×1×1×32＝又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，所以该多面体有6个正方形，正六边形有6×4÷3＝8个，所以该多面体的表面积为8×332＋6＝123答案：C考点二例2解析：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h＝22-2下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，所以该棱台的体积V＝13h(S1＋S2＋S1S2)＝13×2×(16＋答案：D例3解析：方法一(分割法)将斜截圆柱分割成两部分：下面是底面半径为2cm，高为5cm的圆柱，其体积V1＝π×22×5＝20π(cm3)；上面是底面半径为2cm，高为8－5＝3(cm)的圆柱的一半，其体积V2＝12×π×22×3＝6π(cm3)∴该组合体的体积V＝V1＋V2＝20π＋6π＝26π(cm3)．方法二(补形法)在该几何体上方再补上一个与其相同的几何体，让截面重合，则所得几何体为一个圆柱，该圆柱的底面半径为2cm.高为8＋5＝13(cm)，该圆柱的体积V1＝π×22×13＝52π(cm3)．∴该几何体的体积为圆柱体积的一半，即V＝12V1＝26π(cm3)答案：26π一题多变解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝12×(5＋8)×(π×4)＝26π(cm2)答案：26π例4解析：易知三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积，又三棱锥A­B1BC1的高为32，底面积为12，故其体积为13答案：A对点训练1．解析：设点F到平面ABB1A1的距离为h，因为VA1­AEF＝VF­A1AE＝13S△A1AE·h＝1312AA1·AB·h＝16(AA1·AB)·h＝16S四边形ABB1A1·h＝16VABCD­A1B1C1D1，所以V答案：A2．解析：如图，连接AC，EC，AF.∵ABCD是矩形，∴AB＝CD.∴过点D作DG⊥EF，垂足为G，连接AG，则AG⊥EF.由题意知，AG＝25cm.∵AD⊥平面CDEF，∴AD⊥DG.∵AD＝15cm，∴DC与EF间的距离DG＝252-152＝20(cm).∵EF＝30cm，AB＝DC＝20cm，∴S△ECD＝12×20×20＝200(cm2)，S△EFC＝12×30×20＝300(cm2)．∴VA­EDC＝13×200×15＝1000(cm3)，VA­EFC＝13×300×15＝1500(cm3)．∵VB­AFC＝VC­AFB＝23VC­AEF＝23VA­CEF＝23×1500＝1000(cm3)，∴几何体EF­ABCD的体积VEF­ABCD＝VA­DCE＋VA­EFC＋VB答案：B考点三例5解析：(1)将三棱锥P­ABC放在一个长方体中，如图示：则三棱锥P­ABC的外接球就是一个长方体的外接球，因为PA＝AB＝2，AC＝4，△ABC为直角三角形，所以BC＝AC2-AB2＝4设长方体的外接球的半径为R，则(2R)2＝4＋4＋12＝20，故R2＝5.所以外接球的表面积为S＝4πR2＝20π.(2)因为长方体ABCD­A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，设球的半径为R，因为AB＝2，AD＝3，AA1＝1，所以4R2＝22＋(3)2＋12＝8，球的表面积为4πR2＝8π.答案：(1)B(2)D例6解析：(1)因PA⊥平面ABC，则PA⊥BC，而AB⊥BC，PA∩AB＝A，于是得BC⊥平面PAB，PB⊥BC，而PA⊥AB，PA⊥AC，又PA＝BC＝4，AB＝3，则有AC＝AB2+BC2＝5，PB＝三棱锥P­ABC的表面积为S＝S△PAB＋S△CAB＋S△PBC＋S△PAC＝12(PA·AB＋AB·BC＋PB·BC＋PA·AC)＝32连接OA，OB，OC，OP，如图：三棱锥P­ABC被分割为四个三棱锥O­PAB，O­ABC，O­PBC，O­PAC，它们的高均为球O的半径r，VP­ABC＝VO­PAB＋VO­ABC＋VO­PBC＋VO­PAC＝13r(S△PAB＋S△CAB＋S△PBC＋S△PAC)＝32r而VP­ABC＝13PA·S△ABC＝13×4×12×3×4＝8，则32r3＝8，得所以球O的体积为V＝43π·r3＝43π·34(2)设正三棱柱底面正三角形的边