2021年高考数学真题评析（新高考全国1卷带解析）

2021年高考数学真题名师评析（新高考全国1卷带解析）

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赍科都今内容来源于网珞

一、武卷段用地区

山东、湖北、湖南、江苏、广东、福建、河北

二、武卷是坪

2021年高考数学全国卷命题，试题突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原则；

倡导理论联系实际、学以致用，关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果，通过设计真实问题情境,

体现数学的应用价值；科学把握必备知识与关键能力的关系，科学把握数学题型的开放性与数学思维的开放

性，稳中求新，体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求.

2021年高考数学全国卷命题，坚持思想性与科学性的高度统一，发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点,

命制具有教育意义的试题，试题运用我国社会主义建设和科技发展的重大成就作为情境，深入挖掘我国社会

经济建设和科技发展等方面的学科素材，引导考生关注我国社会现实与经济、科技进步与发展,增强民族自豪

感与自信心,增强国家认同，增强理想信念与爱国情怀.试卷关注科技发展与进步，关注社会与经济发展.如第18

题以“一带一路”知识竞赛为背景，考查考生对概率统计基本知识的理解与应用.试卷关注优秀传统文化，如第

16题以我国传统文化剪纸艺术为背景，让考生体验探索数学问题的过程，重点考查考生灵活运用数学知识分

析问题的能力.试卷坚持开放创新，考查关键能力，改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和

“机械刷题''现象.加大开放题的创新力度，利用开放题考查考生数学学科核心素养和关键能力，发挥数学科的

选拔功能.第21题第（2）问要求考生运用解析几何的基本思想方法分析问题和解决问题，考查考生在开放的

情境中发现主要矛盾的能力.倡导理论联系实际，学以致用2021年高考数学全国卷命题注重理论联系实际，体

现数学的应用价值，并让考生感悟到数学的应用之美.理论联系实际的试题，体现现代科技发展和现代社会生

产等方面的特点，有机渗透数学建模、数据分析、逻辑推理等数学核心素养与数学思想方法的应用.

总之,2021年高考数学全国卷试题很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能,同时突

出数学学科特色，发挥了高考数学科的选拔功能，对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用.

三、考点分布细目表

题号命题点模块（题目数）

1集合的交集集合（共1题）

2复数的概念与运算复数（共1题）

3圆锥中基本量的计算立体几何（共3题）

4三角函数的单调性三角函数与解三角形（共3题）

5椭圆与基本不等式1.解析几何（共4题）

2.不等式（共2题）

6三角变换及求值三角函数与解三角形（共3题）

7曲线的切线条数导数（共3题）

8相互独立事件的概率概率与统计（共3题）

9样本的数字特征概率与统计（共3题）

10平面向量的数量积平面向量（共1题）

11圆的方程与性质解析几何（共4题）

12三棱柱与空间向量立体几何（共3题）

13函数的奇偶性函数（共3题）

14抛物线的方程及几何性质解析几何（共4题）

15导数及函数最值1.导数（共3题）

2.函数（共3题）

16实际问题中的数列求和数列（共2题）

17数列的通项与求和数列（共2题）

18随机变量的分布列与期望概率与统计（共3题）

19解三角形三角函数与解三角形（共4题）

20线面位置关系的证明及几何体的体积立体几何（共3题）

21双曲线、直线与圆锥曲线解析几何（共4题）

22用导数研究函数单调性、不等式证明1.导数（共3题）

2.函数（共4题）

3.不等式（共2题）

四、试题深度解凄

1.已知集合4={川一2cx<4},8={2,3,4,5},则403=

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

【命题意图】本题考查集合的交集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.

【答案】B

【解析】由2GA3wA,4史A5eA，可得A「|3={2,3},故选B.

【点评】集合是高考每年必考知识点，一般以容易题面目呈现，位于选择题的前3题的位置上，考查热点一是集

合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系，这种考查方式多年来保持稳定.本题所给两个集合，一个是

不等式的解集，但无需化简，一个是离散的数集，足见命题者有意降低试题难度，突出对交集概念的考查,该题难

度与往年老教材全国卷11,111的文科集合试题难度相当.

【知识链接】

1.求解集合的运算问题的三个步骤：

(1)看元素构成,集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数

集、点集还是图形集等，如{小=/(x)),{y|y=«r)},{(%,>,)仅=«r)}三者是不同的.；

(2)对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；

(3)应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).

2.已知z=2-i,则z(5+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【命题意图】本题考查共辄复数及复数的乘法运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.

【答案】C

【解析】

解法一：因为z=2-i,所以三=2+i，所以z(z+i)=(2—i)(2+2i)=4+4i—2i—2尸=6+2i

故选C.

解法二：因为z=2-i,z(z+i)=+zi=5+2i+l=6+2i.故选C.

【点评】复数是高考每年必考知识点，一般以容易题面目呈现，位于选择题的前3题的位置上，考查热点一是复

数的概念与复数的几何意义，如复数的模、共枕复数、纯虚数、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.

去年新高考试卷复数考查的是复数的除法运算,考查内容单一，今年把共辗复数与复数的运算结合在一起考

查,背景有所创新，为降低难度，把除法运算改为乘法运算，可见新高考试卷入手依然比较容易.

【知识链接】

解复数运算问题的常见类型及解题策略

(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作

另一类同类项，分别合并即可.

(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轨复数，解题中要注意把i的幕写成最简形式.

(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为。+从(“力eR)的形式，再结合相关

定义解答.

(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为力©R)的形式，再结合

复数的几何意义解答.

3.已知圆锥的底面半径为行，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()

A.2B.272C.4D.472

【命题意图】本题考查圆锥及圆锥的侧面展开图，考查直观想象与数学运算的核心素养.难度：容易.

【答案】B

【解析】设圆锥的母线长为/,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则位=2兀x0.解得1=242-

故选B.

【点评】立体几何在高考中一般有2道客观题,一般有一道是多面体，一道是旋转体；一道是容易题，一道是较

难的题.考查热点是几何体中元素的位置关系与数量关系、儿何体的表面积与体积、球与几何体的切接等.另

外，单选题中考查空间几何体元素数量关系的题，常与数学文化及生产生活相联系.本题求解时只用到一个关

系式，考查知识点单一、运算简单，依然属于送分题，这提醒我们在复习时要注重基础知识，基础题失分过多是

考生高考数学考不好的主要原因.

【知识链接】几何体的展开与折叠

(1)几何体的表面积，除球以外,一般都是利用展开图求得的，利用空间问题平面化的思想,把一个平面图形折叠

成一个几何体，再研究其性质,是考查空间想象能力的常用方法.

(2)多面体的展开图

①直棱柱的侧面展开图是矩形；

②正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形；

③正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形.

(3)旋转体的展开图

①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长；

②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；

③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长.

4.下列区间中，函数/(x)=7sin(x-(］单调递增的区间是()

【命题意图】本题考查三角函数的单调性，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：容易.

【答案】A

【解析】

解法一：因为函数y=sinx的单调递增区间为（2E一5,2%兀+母小eZ）,对于函数〃x）=7sin|x-£j,

由x--<2kn+—^keZ），解得2而一百<x<2攵兀+生伙eZ）,取Z=0,可得函数/（x）的一

26233

个单调递增区间为（一W，猴），则1-•，兀）-选项满足条件,B不满足条件;

取左=1,可得函数/（X）的一个单调递增区间为（§,可

石57r，石87T）।CD选项均不满足条件，故选A.

1T

解法二：利用复合函数的单调性逐个验证.设，=x-z

6

对于A,当xG（呜）时t€（一看?）由V=7sinf在（一己,"上是增函数，可得A满足条件;

对于B,当无€（5■，兀卜寸feit5兀兀5兀

3,~6，由y=7sinr在3,~6上不单调，可得B不满足条件;

（3兀）,（5兀4吟（5Ji4兀）

对于C,当xe，由y=7sinrrEy,y上是减函数，可得C不满足条件;

对于当（当无）时4兀11兀4兀117T

D,XG,2fG，由y=7sinr在上不单调，可得D不满足条件;

7万

故选A.

解法三：/（x）=7si在区间（a,b）上单调递增，则xe（a,8）时/（x）=7cosx-卷）20恒成立.

对于A,当微时—<%—<—*/'(x)之0恒成立,A满足条件;

663

对于B,当冗卜寸，由/„）=cos与=—g<0,可得B不满足条件;

对于C,当xe=cos兀=-1<（），可得C不满足条件;

对于D,当无e作,2兀）时，由/詈17兀

COSF<°，可得D不满足条件;故选A.

【点评】三角函数与解三角形在新高考全国卷中一般有2道客观题,1道解答题，解答题一般考查解三角形，客

观题考查热点是三角变换及三角函数的图象与性质.本题以正弦型函数为载体，考查三角函数的单调性，试题

简洁流畅,属于常规题型，侧重对重要基础知识的考查.三角函数单调性是三角函数的一个重要性质，也是高考

考查的热点,对于求正弦型函数的单调性课本有不少类似的题，这说明课本是高考试题的生长点，复习时不要

丢掉课本.

【知识链接】求形如y=Asin（s+p）（其中。>0）的单调区间时，要视“s+夕”为一个整体,通过解不等式求解；

研究y=asinx+8cosx的单调性，要先利用辅助角公式把函数化为构造y=4衣京sin（x+夕）的形式研究

y=«sin2x+bsinxcosx+ccos2x+d的单调性，要先利用sin2x=-~卜"之",sinxcosx=—sin2x,

22

cos2x=1+C；s22降塞,再利用辅助角公式把函数化为构造产Asin（2x+p）+B的形式.

22

5.已知K，尸2是椭圆C：5+?=1的两个焦点，点M在C上，则伙〃讣|咋|的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质及基本不等式的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难

度：容易.

【答案】C

【解析】

解法一：由题=9,〃=4,则耳|+|M《|=2a=6,所以印耳卜四周《附〉周=9（当且仅当

<24

阿制=|帙|=3时,等号成立）.故选©.

解法：：设四用=t,由椭圆定义可得眼闾=6-，则眼/讣|叫|=《6-3）2+949,当r=3时

取等号，故选C.

【点评】本题把椭圆的方程与椭圆的几何性质及基本不等式结合在一起考查,虽在知识交汇处命题，但涉及的

都是基础知识，且运算简单，属于容易题，注意与椭圆焦点弦长或焦半径有关的计算问题及与焦点有关的距离

最值问题，常利用椭圆的定义求解.

【知识链接】椭圆的定义具有双向作用，即若|MQ|+|MB|=2a(2a>|QT),则点M的轨迹是椭圆;反之，椭圆上任

意一点M到两焦点的距离之和必为2”.涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的

定义求解.解决与椭圆有关的最值问题,特别是求距离之和的最大值，可利用椭圆定义转化为距离之差的最大

值，再利用三点共线确定差的最大值

,,八“sin6(1+sin28)

7.若tan。=-2，则-------------L=()

sin6+cos。

6n2r6

A.----B.-----C.-D.一

5555

【命题意图】本题考查同角三角函数关系式在求值中的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中

等偏易.

【答案】C

【解析】

如(过电=sine®n"s4=疝皿°十3

解法一:

sin0+cos0sin^4-cos0

sin8(sin8+cos。)_tar^O+tan。_4-2_2

故选C.

sin26>+cos2(91+tan2^1+45

解法二：因为tan6=2^=—2,所以sin^=-2cos6>,所以所6(1+sin26)=

cos0sin。+cos0

sin/sinO+cos。)--2cos0(-2cos0+cos0)'-2cos302…

(sin6+cosO')(sin20+cos20^(-2cos0+cos(4cos20+cos2-5cos305故选

【点评】三角函数与解三角形在新高考全国卷中一般有2道客观题,1道解答题，解答题一般考查解三角形，客

观题考查热点是三角变换及三角函数的图象与性质,难度一般为容易或中等偏易.本题主要考查利用同角三

角函数基本关系式求值，常规求解思路是把所给式子化为关于sindcos。的齐次分数,再进一步转化为关于

tanS的分式，然后代入求值，本题解法思路容易，但运算量稍大，也有一定的技巧，难度较前几题有所增加.

【知识链接】关于sina、cosa的齐次式，可以通过分子、分母同除以分式中cosa的最高次幕转化为关于tan

a的式子后再求值.注意有时为了拼凑分子分母齐次，需要灵活地进行“1”的代换，由l=sin2a+cos2a代换后,

再构造出关于tana的代数式.

7.若过点(以。)可以作曲线y=e’的两条切线，则()

A.eft<aB.ea<b

C.0<a<ehD.0<Z?<en

【命题意图】本题考查导数几何意义的应用，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等.

【答案】D

【解析】

解法一：设过点(。,人)的切线与曲线y=e'切于对函数y=e，求导得y'=e',所以曲线y=e'在点

尸处的切线方程为y-e'=e'(xT),即丁=八+(1—》',由题意可知,点(。,》)在直线丁=八+(1—。3

上，所以b=ae'+(1-)e'=(a+1—f)e',过点(a力)可以作曲线尸e*的两条切线厕方程匕=(a+1T)e'

有两个不同实根，令/(。=(a+1-/)e'，则/'«)=(a—f)e'.当，<a时,/'(/)>0,此时函数/“)单调递增,

且/(。>0,当，>a时.此时函数了(。单调递减，

所以,/(。皿=/(〃)=e",如图所示，当直线y=b与曲线y=/。)的图象有两个交点时，当0<0<e"时，

直线y=匕与曲线y=/(。的图象有两个交点.故选D.

解法二：画出函数曲线y=e，的图象如图所示，根据直观即可判定点(a,8)在曲线下方和x轴上方时才可以

作出两条切线.由此可知0<b<e°.故选D.

—x

~~6*

【点评】导数的几何意义是高考的一个高频考点，考查热点主要有：求曲线在某点处的切线；求两条曲线的

公切线；确定满足条件的曲线的条数..本题主要考查利用导数的几何意义研究确定的切线，注意等价转化思想

的应用：切线有两条—切点«,e’）有2个整理出关程>关于,的方程b=（a+1—有2个不同实根

―直线y=6与/⑺=（a+l-r）ez有2个交点.另外由解法二可知：点（a⑼在曲线下方且在x轴上方时

符合条件的切线有2条；点3。）在曲线上一或在x轴上或在x轴下方时符合条件的切线有1条：点3。）在

曲线上方时符合条件的切线不存在；若把题中的切线换成y=/，点（a,b）位置与切线条数有何关系,有兴趣

的同学可以探讨一下.

【知识链接】求曲线切线的条数一般是设出切点”,/（/））、由已知条件整理出关于/的方程，把切线条数问题

转化为关于/的方程的实根个数问题.

8.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出

的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表

示事件“两次取出的球的数字之和是7",则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

【命题意图】本题考查用概率判断相互独立事件，考查数据分析与逻辑推理的核心素养.难度：中等.

【答案】B

【解析】由题意可得P（甲）=」，尸（乙）=!，P（丙）=上，P（丁）=三=二，

6636366

p（甲丙）=o,p（甲）p（丙尸二，P（甲丙）（甲）P（丙），p（甲丁）=_L,P（甲）尸（丁）=_!_,

2163636

尸（甲丁）=P（甲）尸（丁），p（乙丙）=-L,p（乙）尸（丙尸工，尸（乙丙）#尸（乙）p（丙），

36216

P（丙丁）=0,p（丙）p（丁）=3,P（丙丁）HP（丙）P（丁），故选B.

216

【点评】本题涉及相互独立事件的判断,同学们习惯根据相互独立立事件的概率计算公式，求相互独立立事件

的概率，本题反过来利用概率计算的结果判断事件是否相互独立，高考全国卷选择题中首次考查此类问题，故

该题背景新颖，但思路不难想到，与第7题相比较，该题难度略低于第7题.

【知识链接】

（1）“独立”与“互斥”的区别

两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没

有影响（如有放回的抽取模型）.两事件相互独立通常不互斥，两事件互斥通常不独立.若事件A.B互斥，则

P（A+3）=P（A）+P（B），若事件A,B不互斥，则P（A+8）=P（A）+P（B）-P（AB），若事件A,B相互独

立，则P（AB）=P（A）P（B）

（2）对于复杂概率的计算一般要先设出事件，准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立

事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次判断事件是A+B还是AB事件,确定事件至少有一个发生,

还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事

件、〃次独立重复试验的概率公式求解.

9.有一组样本数据xt,x2,...,xn，由这组数据得到新样本数据,%,其中X=七+c（i=1,2,…,〃）,c为

非零常数，则（）

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样数据的样本极差相同

【命题意图】本题考查样本的数字特征，考查数据分析与数学运算的核心素养.难度：中等偏易.

【答案】CD

【解析】因为y=x‘+c,所以x=-Zx">=-Z（£+c）=x+c，因为c#0,所以错误：设第

〃,=1〃,=1'

一组中位数为4,则第二组的中位数为%=X*+C,CHO,所以％错误；第一组数据的标准差

（3―@，第二组数据的标准差=\!'（七—药正确；若第一组数据

Vn/=iVni=lVn/=1

的极差为与ax-/in，则第二组数据的极差为Xnax=（%ax+。）一（/in+q=X用一/in，故D正确；故

选CD

【点评】概率与统计是高考重点，在高考试卷中既有客观题又有解答题，由于该模块涉及知识点比较多,高考命

题没有固定的热点,一般情况下,统计与概率、随机变量的分布列都会涉及，客观题至少会有2道.本题涉及到

中位数、平均数、标准差及极差等样本的数字特征，题型是常规题型,考生在复习时训练的比较多，绝大部分考

生都能得分.

【知识链接】

(1)有关平均数、方差的一些结论

若数据X1,X2,…,X”的平均数为，方差为S2.

则axi,ax2,…,axn的平均数为ax，方差为a2s2.

数据mxi+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数为，+a,方差为m2s2.

(I)众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布直方图的关系

①众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值来显示,即在样本数据的频率分布直方图中，最

高矩形的底边中点的横坐标.

②中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.

③平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和.

10.已知0为坐标原点，点片(cose,sin«),P2(cos力,—sin/?),鸟(cos(«+力),sin(a+尸))，A(l,0),则()

A.|的卜|漉|B.|福|=|砧|

C.丽・丽3=*龙D.砺•笳=漉•丽

【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算、三角变换，考查数学运算、逻辑推理及数学抽象的核

心素养.难度：中等

【答案】AC

【解析】由西=(cosa,sina),OR=(以%/?,-5m0,可得|0附=|0周=1,故人正确;

|丽|=-J(cosa-l)2+sin2a=A/COS2a-2cosa+1+sin2a=^2(1-cosa)=^4sin2y=2|siny|,

同理|亚|=J(cos力一D'+sii?夕=21sin§||观巧|不一定相等，故B错误；

由OA-OPi=lxcos(a+A)+Oxsin(a+/?)=cos(a+Q),

OPXOP?=cosa-cos尸+sina•(—sin0)=cos(a+/?),可得C正确；

由OAOP}=lxcos<2+0xsin（z=coscOP,OPi-cosftxcos（a+尸）+（—sin尸）xsin（a+J3）

=cos(p+(a+B))=cos(a+2p).砺.所，漉.逋不定相等,D错误，故选AC

【就题论题】平面向量是高考数学必考知识点，•般以客观题形式考查，热点是平面向量的线性运算及平面向

量的数量积,可以是容易题，也可以是中等难度题,中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查.本题涉

及平面向量的数量积及坐标运算，又涉及三角变换，在知识交汇处命题，背景较新颖，能有效考查考生分析问题

解决问题的能力，是一道难度适中的好题，熟悉新教材必修二(A版)的同学们应该知道P35有利用向量证明

两角差余弦公式的例题，该题应该是由此题改编而成.

【知识链接】平面向量数量积求解问题的策略

①求两向量的夹角：0«9=瑞,要注意9G0利.

②两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：aLb<^a-b=O^ta—b\—\a+b\.

③求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：/=。”=|02或|3=晒;|“±6|=必五讦京;若a

=(x,y),则|a|=1炉+叫.

11.已知点尸在圆(x—5)2+(y—5)2=16上，点4(4,0)、3(0,2),则()

A.点尸到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NPBA最小时,归邳=3五

D.当NP3A最大时,忸叫=3五

【命题意图】本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系，考查直观想象、逻辑推理及数学抽象的核心素养.难

度：中等

【答案】ACD

【解析】圆(X—5)2+(y—5)2=16的圆心为M(5,5)，半径为4,直线AB的方程为(+1=1,即

|5+2x5-4|111175

x+2y-4=0,圆心M到直线AB的距离为J=^=—产=」3>4.

VP77V55

所以，点P到直线AB的距离的最小值为小叵-4<2，最大值为三电+4<10,A选项正确,B选项错误；如

55

下图所示:

当ZPBA最大或最小时.与圆M相切，连接MP、BM,可知PM工PB,

\BM\=,J(()-5)2+(2-5)2=>/34,1网=4.由勾股定理可得忸P|=yl\BMf-\MPf=372CD选项正

确.故选ACD.

【点评】圆的方程及直线与圆的位置关系一直是高考热点，通常作为客观题考查,长度、面积的计算，参数问题

及最值问题是考查热点.本题涉及的与圆有关的最值问题是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系，

又能与圆锥曲线相结合，命题方式比较灵活，故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐.在运动变化中,动点到

直线、圆的距离会发生变化，圆上点到动直线的距离也会发生变化,在变化过程中，就会出现一些最值问题，如

距离、角最小，最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便

可利用这些结论直接确定最值问题，故在此提醒考生解题时千万不要得“意”忘“形

【知识链接】(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何

性质数形结合求解.注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离

(2)与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或

者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法,基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形

结合思想求解.

12.正三棱柱ABC一A4G中,AB=A4,=1,点P满足丽=入反+〃的，其中4e[0,1],4e[0,1],则()

A.当2=1时,△A87的周长为定值

B.当〃=1时,三棱锥尸一A3。的体积为定值

C.当a=；时，有且仅有一个点P,使得

D.当〃=；时，有且仅有一个点P,使得A81平面AB,P

【命题意图】本题考查空间向量的应用、几何体中面积与体积的计算及线面位置关系的判断及应用,考查直

观想象及逻辑推理的核心素养.难度：中等偏难.

【答案】BD

【解析】

解法一：对于A,当；I=1时，丽=前+〃丽=反+〃工'，所以CP=〃CG,因为〃w[0,1],

所以点P是线段CG上的动点，所以△44尸周长不是定值，故A错误；

对于B,当〃=1时，而=%而+函=函+%耳C,所以印=4昭，因为4e[0』,所以点尸为线段4G

上的动点，而B©//BC,B£H平面ABC,点到平面A.BC的距离为定值，所以，三棱锥P-&BC的体积为定

值，故B正确.

当;1=；时，而=；前+〃丽]取5c中点M,B|G中等N,则而历+丽=〃两,即宓=〃丽,

所以点P点是线段MN上的动点，易得当点P与点M或点N重合时都有A/，BP,故C错误;

AC

1―.—.1——._,_._._,_.

对于D,当〃=5时,BP=ABC+-38],取8g.CG中点为E,F.则BP=BE+4EF，即EP=AEF，所以

乙乙

点P是线段EF上的动点.若A/，平面,则48，6尸,取BC中点D,可得AD1BtP,

，所以B7_L平面AB。，所以用P_LBD,所以点P与点F重合,D正确，故选BD.

解法二：易知，点P在矩形BCG4内部（含边界）.

对于A,当;1=1时，丽=前+〃西=而+〃苗,即此时Pe线段CG44qP周长不是定值，故A错误；

对于B,当〃=1时，丽=2BC+函=瓯+2瓯,故此时P点轨迹为线段耳G，而B\CJiBC,BQ〃平面

ABC,则有P到平面48c的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.

对于C,当;I=；时,8P=1BC+，取5C,B|G中点分别为。,H,则BP=BQ+"QH,所以P点轨迹

为线段。”,不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图,4白,0」.尸（0,0,川，《0,摄0）,则

Af=---,BP-0,-彳尸•8P="（"_1）=O,所以〃=0或〃=1.故“,Q均满足,

2\2）

故c错误:

1―.—.1_______

对于D,当〃=一时,8P=/18C+—BB],取中点为M，N.丽=丽+2丽，所以P点轨迹为线

22

段MN.设P,,为，；，因为A所以叫一£,即；不=,学；,一1

，所以

3111

-+-%一一=0=＞为=一一.此时尸与N重合，故D正确.故选BD.

422-02

【点评】几何体中对线面位置关系的综合考查常作为较难试题出现,求角度问题、截面位置不固定几何体的

体积、最值问题,均是热点问题,多选题中的立体几何试题，常把多个知识点交汇考查，如把几何体长度、角度、

面积、体积的计算与线面位置关系结合在一起考查,也可与函数、不等式及空间向量结合在一起考查，此类问

题对空间想象能力要求较高，难度也比较大.

【知识链接】计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形,“化曲为直''来

解决,因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.求一些不规则几何体的体积时，常

用分割法转化成已知体积公式的几何体进行解决.此外求三棱锥的体积或高时常利用等积法进行转化.“补形

法”是立体儿何中一种常见的重要方法，在解题时,把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更

熟悉的儿何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题.

13.已知函数/（力=/（4.2、一2-、）是偶函数,则。=.

【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查数学运算及逻辑推理的核心素养.难度：容易

【答案】1

【解析】因为〃6=六。.2,-2-)故〃—x)=—丁(/2一'—2'),

因为/(x)为偶函数，故/(-%)=/(%)，即%3(a-2x-2T)=-x3(a•Tx-2'),整理得到

(a—l)(2'+2-')=0,故a=L

解法二：因为/(x)=%3(a-T-2-x)是偶函数,y=/是奇函数，所以g(x)=a.2*—2一”是奇函数，

所以g(0)=a—l=0,a=0.

解法三：因为了(X)为偶函数，所以/(—1)=/(1),即一解得a=1.

【点评】函数的奇偶性如单独命题一般为容易题,此类问题考查热点是判断函数的奇偶性；给出奇函数在一

个区间上的解析式，求函数值或函数在另一个区间上的解析式：根据函数的奇偶性求参数取值等，如与函数的

其他性质综合在一起考查，一般为中等题.

【知识链接】

(1)函数奇偶性常用结论

①如果函数大用是偶函数,那么兀v)=A卜|).

②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

③在公共定义域内有：奇士奇=奇.偶±偶=偶，奇*奇=偶，偶、偶=偶，奇、偶=奇.

④/(X)为偶函数弓(x)=AWI).

⑤若奇函数在x=0处有意义，则10)=0.

(2)常见的奇函数与偶函数

2

y=log“(；+；；)(a>0,axl,m^0),y=*(a>0,a*1),j?=log(/px+1-xj(<7>0,a1),

y=—^—+—(a>0,a1)是奇函数,y=a'+ax(«>0,a丰l),y=log“(1+a")-x(a>0,aR1)是

6Z—12

偶函数

14.已知。为坐标原点,抛物线C：V=2px(2>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,。为工轴上

一点，且PQ，",若|F。=6，则C的准线方程为.

【命题意图】本题考查抛物线的方程及几何性质，考查数学运算及逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易

【答案】》=一:3

2

【解析】

解法一:抛物线C：y2^2px(P>0)的焦点尸仁,0「“为C上一点,尸产与X轴垂直，不妨设哨，P)，

0-j1

所以生户=2,因为PQJ.OP,所以攵=—二，因为。为x轴上一点，设。(%，0)，则P一一7，/=W,

2%一万2

所以|FQ|=年一月=6,。=3,所以。的准线方程为》=一|

解法二：抛物线C：V=2px(〃>0)的焦点尸仁,0卜2为。上一点,尸产与％轴垂直，

所以？的横坐标为代入抛物线方程求得夕的纵坐标为土P，不妨设尸名,p),

nUlm

因为。为X轴上一点，且尸。，。尸,所以。在尸的右侧，又・・・|/。1=6,・・.Q(6+5,0),.,.PQ=(6,—p),因为

「。_10/\所以而.而=/、6-/=0々，>0,..，=3,所以。的准线方程为_¥=-|.

2

解法三:抛物线C：y=2px(p>0)的焦点户(],0),•尸为C上一点,P尸与x轴垂直，不妨设P(gP]

因为PQ，ORP/F。。，由射影定理可得|Pff=0川/7@,即p2=日x6,解得〃=3,所以。的准线方

3

程为*=一彳.

2

【点评】客观题中的抛物线一般考查抛物线的几何性质及运算能力，有时会与向量及不等式等知识交汇.

上面提供的解法一把垂直问题转化为斜率之积为-1,是最常规的解法，解法二把垂直问题转化为数量积为零,

这种转化思路在解析几何中常用，它可以避免讨论斜率是否存在,解法三直接利用平面几何中的射影定理求

解,使运算量减小，提高了解题速度

【知识链接】

⑴设AB是过抛物线)2=2川(“>0)焦点F的弦，若A(©,yi),B(X2,y2),则

①XIX2=£,)1丫2=一尸.

②弦长|AB|=XI+X2+P=嘉;(a为弦AB的倾斜角).

③以弦AB为直径的圆与准线相切.

④通径：过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦.

(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点求解题，特别是涉及焦点、

顶点、准线的问题更是如此.

15.函数/(x)=|2x-l|—21nx的最小值为.

【命题意图】本题考查导数在研究函数性质中的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.

【答案】1

【解析】

解法一：/(x)=|2xT|-21nx定义域为(0,+oo),.•.当时,/(x)=l—2x—21nx单调递减；当

2

121

一时/(x)=2x-l-21nx，r(x)=2-一，所以一<xW1时，/(x)<0,/(此单调递减；当x>l时，

2x2

/'(X)>0,此时/(X)单调递增；f(x)2/⑴=1,即/(x)=|2x—1|—2Inx的最小值为1.

解法二：由不等式lnx<x-l得/(x)N|2x-l|+2-2xN2x-l+2-2x=l,当x=l时取等号，所以

/(九)的最小值为1.

【点评】本题解法一是先把含绝对值的函数转化为分段函数,再利用导数确定该在每个单调区间上的单调性，

然后由单调性确定最值，属于常规解法,解法二是利用In-1进行放缩，注意题中连续两次放缩，要保证等

号能够同时成立.

【知识链接】(1)求函数/U)在力］上的最大值和最小值的步骤：①求函数在3/)内的极值；②求函数在区间

端点的函数值负。)次6)；③将函数1x)的极值与人。)1A份比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)

分段函数与含参数的函数的最值一般不通过比值求解，而是先讨论函数的单调性，再根据单调性求出最值.含

参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间，二是定极值点动区间,这两类问题一般根据区间与

极值点的位置关系来分类讨论.

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dmx12dm的

长方形纸，对折1次共可以得到10dmxl2dm,2()dmx6dm两种规格的图形，它们的面积之和d=24()dm\

对折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm.20dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和

S?=180dm)以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为:如果对折〃次，那么\>«=

k=］

_____dm2.

【命题意图】本题以剪纸之术为背景考查数列求和，考查逻辑推理与数学建模的核心素养.

,,,.,15(3+〃)

【答案】(1).5(2).720——

2n

【解析】(1)由对折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形，所以对着三

53

次的结果有：2*12,5*6,10乂3；20*—洪4利］不同规格(单位dm)；

22