二次函数与四边形的动点问题(含答案)

PAGE31二次函数与四边形的动点问题(含答案)二次函数与四边形一．二次函数与四边形的形状A例1.(浙江义乌市)如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．A（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．B(0,4)A(6,0)EFO练习1.(B(0,4)A(6,0)EFOA（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．练习2.（四川省德阳市）25.如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为．（1）求抛物线的函数关系式；（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？（3）在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？若存，求出点的坐标；若不存在，说明理由．11234554321练习3.（山西卷）如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，，．（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），顶点为，四边形的面积为．若点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点与点重合为止．求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．二．二次函数与四边形的面积例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x…-3-212…y…--4-0…图10(1)求A、B、C三点的坐标；图10(2)若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3)当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．练习3.（吉林课改卷）如图，正方形的边长为，在对称中心处有一钉子．动点，同时从点出发，点沿方向以每秒的速度运动，到点停止，点沿方向以每秒的速度运动，到点停止．，两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设秒后橡皮筋扫过的面积为．BCPODQABBCPODQABPCODQA（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求值；（3）当时，求与之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时的变化范围；（4）当时，请在给出的直角坐标系中画出与之间的函数图象．练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合)，抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.(1)求l2的解析式；(2)求证：点D一定在l2上；(3)□ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由.注：计算结果不取近似值.三．二次函数与四边形的动态探究例1.(荆门市)28.如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．图1图2图1图2例2.（2010年沈阳市第26题）、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．例3..(湖南省郴州)27．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线A平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，表示矩形NFQC的面积．（1）S与相等吗？请说明理由．（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？（3）如图11，连结BE，当AE为何值时，是等腰三角形．图11图11图10练习1.（07年河池市）如图12，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点从出发以每秒2个单位长度的速度向运动；点从同时出发，以每秒1个单位长度的速度向运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作垂直轴于点，连结AC交NP于Q，连结MQ．图12（1）点（填M或N图12（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．练习2..(江西省)25．实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点的坐标，它们分别是，，；图1图1图2图3（2）在图4中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），求出顶点的坐标（点坐标用含的代数式表示）；图4图4归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为（如图4）时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为；纵坐标之间的等量关系为（不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点，（其中）．问当为何值时，该抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点坐标．答案：一．二次函数与四边形的形状例1.解：（1）令y=0，解得或∴A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），E（∵P点在E点的上方，PE=∴当时，PE的最大值=（3）存在4个这样的点F，分别是B(0,4)A(6,0)EFO练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是B(0,4)A(6,0)EFO解之，得故抛物线解析式为，顶点为（2）∵点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，∴y<0，即－y>0,－y表示点E到OA的距离．∵OA是的对角线，∴．因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的取值范围是1＜＜6．根据题意，当S=24时，即．化简，得解之，得故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．点E1（3，－4）满足OE=AE，所以是菱形；点E2（4，－4）不满足OE=AE，所以不是菱形．当OA⊥EF，且OA=EF时，是正方形，此时点E的121234554321而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形．练习2.解：（1）由题意知点的坐标为．设的函数关系式为．又点在抛物线上，，解得．抛物线的函数关系式为（或）．（2）与始终关于轴对称，与轴平行．设点的横坐标为，则其纵坐标为，，，即．当时，解得．当时，解得．当点运动到或或或时，，以点为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点不存在．理由如下：若存在满足条件的点在上，则1235543123554321．过点作于点，可得．，，．点的坐标为．但是，当时，．不存在这样的点构成满足条件的直角三角形．练习3.[解]（1）点，点，点关于原点的对称点分别为，，．设抛物线的解析式是，则解得所以所求抛物线的解析式是．（2）由（1）可计算得点．过点作，垂足为．当运动到时刻时，，．根据中心对称的性质，所以四边形是平行四边形．所以．所以，四边形的面积．因为运动至点与点重合为止，据题意可知．所以，所求关系式是，的取值范围是．（3），（）．所以时，有最大值．提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形能形成矩形．由（2）知四边形是平行四边形，对角线是，所以当时四边形是矩形．所以．所以．所以．解之得（舍）．所以在运动过程中四边形可以形成矩形，此时．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。二．二次函数与四边形的面积例1.解：（1）解法一：设，任取x,y的三组值代入，求出解析式，令y=0，求出；令x=0，得y=-4，∴A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4). 解法二：由抛物线P过点(1，-)，(-3，)可知，抛物线P的对称轴方程为x=-1，又∵抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，点A、B、C的坐标分别为A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4).（2）由题意，，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m， 又，EF=DG，得BE=4-2m，∴DE=3m，∴=DG·DE=(4-2m)3m=12m-6m2(0＜m＜2).注：也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC，或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解.(3)∵SDEFG=12m-6m2(0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6.当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=-，∴，又可求得抛物线P的解析式为：，令=，可求出.设射线DF与抛物线P相交于点N，则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有==，点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是k≠且k＞0.说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.若选择另一问题：(2)∵，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2，又∵，而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3，∴=DG·FG=6.练习1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC．·················1分∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）

···················3分（写错一个点的坐标扣1分）

（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，∵抛物线过点A（0，4），∴．则抛物线关系式为．

··············4分将B（6，4），C（8，0）两点坐标代入关系式，得····························5AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝分解得·····················6分所求抛物线关系式为：．········7分（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m．··········8分

∴

OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA

（0＜＜4）········10分∵．∴当时，S的取最小值．又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值．·······12分（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG．

14分练习3.[解]（1）当时，，，，即．（2）当时，橡皮筋刚好触及钉子，，，，．（3）当时，，，，，即．作，为垂足．当时，，，，，即．或（4）如图所示：练习4.[解](1)设l2的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，∵l1与x轴的交点为A(-2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，-4)，l2与l1关于x轴对称，∴l2过A(-2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0，4)，∴∴a=-1,b=0,c=4，即l2的解析式为y=-x2+4.(还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)(2)设点B(m，n)为l1：y=x2-4上任意一点，则n=m2-4(*).∵四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称，∴B、D关于原点O对称，∴点D的坐标为D(-m,-n).由(*)式可知，-n=-(m2-4)=-(-m)2+4，即点D的坐标满足y=-x2+4，∴点D在l2上.(3)□ABCD能为矩形.过点B作BH⊥x轴于H，由点B在l1：y=x2-4上，可设点B的坐标为(x0，x02-4)，则OH=|x0|，BH=|x02-4|.易知，当且仅当BO=AO=2时，□ABCD为矩形.在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x0|2+|x02-4|2=22，(x02-4)(x02-3)=0，∴x0=±2(舍去)、x0=±EQ\R(,3).所以，当点B坐标为B(EQ\R(,3)，-1)或B′(-EQ\R(,3)，-1)时，□ABCD为矩形，此时，点D的坐标分别是D(-EQ\R(,3)，1)、D′(EQ\R(,3)，1).因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′.设直线AB与y轴交于E，显然，△AOE∽△AHB，∴EQ\F(EO,AO)=EQ\F(BH,AH)，∴.∴EO=4-2.由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面积为S=2SΔACE=2×EQ\F(1,2)×AC×EO=2×EQ\F(1,2)×4×(4-2EQ\R(,3))=16-8EQ\R(,3).三．二次函数与四边形的动态探究例1.解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽Rt△BPA．∴．即．∴y=(0＜x＜4)．且当x=2时，y有最大值．(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则∴y=．(3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，∴该直线为y=x＋1．由得∴Q(5，6)．故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．例2.解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8……1分∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）…4分（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得解得∴所求抛物线的表达式为y＝x2x＋8………7分（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC∴即∴EF＝∴＝∴FG＝·＝8－m∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m…………10分自变量m的取值范围是0＜m＜8…………11分（4）存在．理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8且－＜0，∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8………12分∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）∴△BCE为等腰三角形．…………14分

（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）例3解:（1）相等理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形，所以所以即：（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，设AE＝x，则EC＝5－x，所以，即配方得：，所以当时，S有最大值3（3）当AE＝AB＝3或AE＝BE＝或AE＝3.6时，是等腰三角形练习1．解：（1）点M 1分（2）经过t秒时，，则，∵==∴∴∴∴∵∴当时，S的值最大．（3）存在．设经过t秒时，NB=t，OM=2t则，∴==①若，则是等腰Rt△底边上的高∴是底边的中线∴∴∴∴点的坐标为（1，0）②若，此时与重合∴∴∴∴点的坐标为（2，0）练习2.解：（1），．（2）分别过点作轴的垂线，垂足分别为，分别过作于，于点．在平行四边形中，，又，．．又，．，．设．由，得．由，得．．（3），．或，．（4）若为平行四边形的对角线，由（3）可得．要使在抛物线上，则有，即．（舍去），．此时．若为平行四边形的对角线，由（3）可得，同理可得，此时．若为平行四边形的对角线，由（3）可得，同理可得，此时．综上所述，当时，抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形．符合条