理论日5我们要注意对于一个力学系统而言反映物理规律的是运动方程不

是日量。运动方程是物理规律直接决定的， 日量是我们“凑”出来的 日量Lqi,q̇i,t，使得所给出 日方程组d 合们到一统全在多这的 。这些日理，T−V不的造 式。格朗日量。我们假设日量L1qi,q̇i,t是合理的，对应正确的运动方程。现在们 L1qi,q̇i,t

∂Fqj, ∂Fqj, i这里Fqj,t是任意一个以所有广义坐标和时间为自变量的函数。直接的计算给出，方程组 0和方程组 − 0完全相同。于是 ∂̇i ∂̇i 5.5.1a自由一维简谐振子簧置x l。这坐x为然这受外是复保此定拉 T−mẋ2− x−l

∂̇

−kx−l有

F −

−Ftx

x−l2−Ftx. mẋ2 x−l Ft 而相应的日方程就变成 −kx− Ft最后，如果振子的平衡位置l随时间变化，满足 lt，则系统的日量是

mẋ2− x−l Ft −kx−l Ft量分别为m1和m2，求两个重物的运动方程。x1x2。但是由于由于绳子绷紧，因此两个重物到滑轮轴所在的水平面的距离之fx1, x2− ẋ ẋ F2。另一方面，如果数组W1,W2跟约束函数fx1,x2之间满足关∂f ∂f 0,则必然有 能

V −m1gx1−−m1gx1−m2gl−x1 m1ẋ m2ẋ2−V 1 而日方程为

2ẋ m2gl−x1 m2 m1g−̈1

m1g−m2g l1,l21,2的质量分别为m1,2建立图中的x−y坐标轴，以O点为坐标原点，以质点1,2x1,y1,x2,y2f1x1,y1,x2, y2− 2f2x1,y1,x2, x1−x2 y1−y22− 212点为圆心，以l1为半径的圆的切线方向，而轻杆1给质点1的压力，必定沿着该圆的和F和可以视F们来证明这一点。我们把F的分量记为Fx1,Fy1,Fx2,Fy2,。由于杆的F量为012我们有 −Fx, −Fy。由于力沿着杆2的方向，我们有 x12 对于任意的数组Wx1,Wy1,Wx2,Wy2

∂f2

∂f2

∂f2

x1− Wx1− y1− Wy1− 考虑到

,

Fx1 Fy1 Fx2 Fy2 0 mT2−V1−V21ẋ ẏ

2ẋ ẏ l1cosl1sinl1cosl1sinl2̇̇̇l2sinL

2llc1212 1 1 2m1l1cos m2l1cos l2cos2 ∂̇ ∂̇

∂ ∂12∂̇∂̇d∂L/∂̇ ∂L∂̇ ∑piq̇i− i ∂̇

Lqj,q̇j,t。于是我们有i dpiq̇ ∑ − i

– ∂L.∂̇ i d ∂L ∂̇i −∂L 因此，当日量不显含时间时，即∂L/∂t 0，也就是说 T−V，则我们有 ∂̇ ∑piq̇i ∂̇k∂gij̇∂k ∑∑gijq̇kq̇jik q̇ijk ̇j 1; j≠ ≠ ∑piq̇i−i2T T− 刚好是总机械能。注意（5.76）成立的两个条件：第一，动能是广义速度的二 T−V中的势能V与广义速度无关。与力学的情况类似，一系中守恒的广义动量，广义能量，以及其他守恒量会对我们求解日方程提供很大的便利。们是量是（.7）。义义坐标qi的关，果写成L T−V，且V系标而标关如坐义标就坐xi相量 ∂̇

∂̇

需要说明的是，在下面的5.6节中，讨论一类更一般的情况，即拉氏量可以 T−U，这里T仍然是质点组的总动能，而这个U不但是质点坐标的函数，还可能是质点速度的函数。我们称这类U为广义势。在5.6节看到，如果U跟质我们采用柱坐标，那么质点有三个坐标,,z。但是圆锥面对质点构成了约 cot于是我们可以选择, T− ̇ 2̇ ż −2 ̇ 2̇ ̇2 − 2由于Lm ṁ ̇ 2̇ ̇2 2在5.2节中我们导出了日方程（5.40）。而后面的推导表明，如果主动力在

Vx1,...,xN 并把日方程写

∂̇

T−

事实上，引入日量的条件可以进一步放宽。现在我们证明，只要存在直角坐标系中位置和速度的函数Vxj,ẋj，使得FQi可以表示成 −

∂̇

,

T−从而把日方程（5.40）写成（5.82）的简单形式。显然，前面仔细研究的满n nin

––i

∂̇

. ∂̇ ∂̇

∂̇

.

∂̇∂̇ ∂̇ ∂̇

∂̇ ∂̇

∂̇

∂̇∂̇

∂̇

∂̇

−

∂̇

.∂̇

0;i, 1,...,n−这是因为，根据广义坐标的定义，xi仅仅是qj 1,...,n−m的函数，而不q̇jj 1,...,n−m的函数。因为把这个广义力带入日方程（5.40），我们发 ∂T−V ∂̇j

∂T−– –说以量L T− V，把日（.8）的简单形式。形如（.83）V，我们称之为广义势。广义势的最重要的应用，是电磁场点问。xi ∂̇

∂̇

∂̇

miẋi ∂V∂̇我们以前多次，在单位制中，带点为e的质点，在电磁场中受到的c e 1 .c那么E和B满足真空中的方程组。其中的两个方程是 1

0; 0.可以定义矢势A，它满足 1

0. 1

E1Ec

−∇. −∇− −∇1

.c矢势A（5.93）的A c −e∂c

x. ̂x

––

–

––vy

vz

vx

vx

vy

vz v•

∂Ax.

vx

vy

vz∂Ax∂Axxy,z不变的情况下把Ax对时间求偏导数 e−

A

.

c r, c

从而把力表示 −

∂̇

1,2,3分别对应质点的x,y,z坐标。相应的，在N个质点的情况下，对应所质Nc ∑ r, e r, v