第平均指标和变异指标演示文稿

第平均指标和变异指标演示文稿1目前一页\总数七十页\编于十二点2（优选）第平均指标和变异指标目前二页\总数七十页\编于十二点第一节平均指标的概念和作用平均指标的概念平均指标又称平均数，它是统计分析中最常用的统计指标之一。它反映了社会经济现象中某一总体各单位某一数量在一定时间、地点条件下所达到的一般水平，或者反映某一总体、某一指标在不同时间上发展的一般水平。目前三页\总数七十页\编于十二点平均指标具有三个特点：同质性，即总体内各单位的性质是相同的，如果各单位性质上存在着差异，就不能计算平均数。抽象性，即总体内各同质单位虽然存在数量差异，但在计算平均数时并不考虑这种差异，即把这种差异平均掉了。代表性，即尽管各总体单位的标志值大小不一，但我们可以用平均数这一指标值来代表所有标志值。目前四页\总数七十页\编于十二点平均指标的作用可以了解总体次数分布的集中趋势。可以对若干同类现象在不同单位、地区间进行比较研究。可以研究某一总体某种数值的平均水平在时间上的变化，说明总体的发展过程和趋势。可以分析现象之间的依存关系。可作为某些科学预测、决策和某些推算的依据。目前五页\总数七十页\编于十二点平均指标的种类平均指标按其性质可分为静态平均数和动态平均数。静态平均数反映的是同质总体内各单位某一数量标志在一定时间地点条件的一般水平，而动态平均数反映的是某一总体某一指标值在不同时间上的一般水平（本章主要介绍静态平均数）。静态平均数，按其表现形式可分为数值平均数和位置平均数。凡根据总体各单位标志值计算的平均数，称为数值平均数，常见的主要包括算术平均数、调和平均数和几何平均数；凡根据总体标志值在分配数列总的位置确定的平均数，称为位置平均数。常见的主要有中位数和众数。目前六页\总数七十页\编于十二点第二节平均指标的计算和确定1、算术平均数是计算平均指标最常用的方法，其基本公式是：算术平均数=算术平均数的计算有简单算术平均数和加权平均数之分。目前七页\总数七十页\编于十二点简单算术平均数如果我们在掌握了总体各单位标志值（或标志总量）和总体单位总量的资料的条件下，就可以直接用上式计算平均数。计算公式：式中：——算术平均数

——求和符号

——总体各单位标志值

n——总体单位数注：该公式用于所给资料未分组的情况。目前八页\总数七十页\编于十二点[例1]某企业某班组有8名工人，某日各人日产量（件）分别为：1212131313161717，则该组工人的平均日产量为：

（件）目前九页\总数七十页\编于十二点加权算术平均数当变量值已经分组，且各个标志值出现的次数不相同时，就可以采用加权算术平均数的形式计算平均指标。1、由单项式数列计算的加权算术平均数目前十页\总数七十页\编于十二点[例2]就例1的资料，把工人按日产量分组可得表5-1表5—1加权算术平均数计算表按日产量分组（件）x工人数f各组日产量（件）xf12131617231224391634合计8113目前十一页\总数七十页\编于十二点根据表资料，计算平均日产量的计算应是

=在加权算术平均数公式中，f称为权数。这是因为在各组标志值一定的情况下，f的大小对X的大小起着权衡轻重的作用。目前十二页\总数七十页\编于十二点[例3]将例2资料改为加权算术平均数计算表5—2表5—2工人按日产量分组情况按日产量分组（件）工人数（人）各组日产量（件）12131617213224134834合计8119目前十三页\总数七十页\编于十二点则有平均日产量

=可见，某组标志值出现的次数越多，即权数f越大，平均数受该组的影响就越大，反之亦然。如果各组次数完全相同，即各组f相等，此时它不再对x大小产生影响，此时可得：目前十四页\总数七十页\编于十二点[例4]据例2资料，以各组次数占总次数为权数，计算平均日产量。表5—3加权算术平均数计算表按日产量分组（件）x工人数占总人数比重（%）

121316172537.512.52534.87524.25合计10014.125目前十五页\总数七十页\编于十二点（2）由组距数列计算加权算术平均数表5—4某商场食品部工人日销售资料按日销售额分组（元）职工人数（人）f组中值x各组销售额（元）xf2000—25002500—30003000—350027722502750325045001925022750合计16—46500目前十六页\总数七十页\编于十二点[例6]某公司所属15个商店某月商品销售额计划完程度如表5—5。表5—5商品销售计划完成程度检查表按计划完成程度分组%组中值x商店数（个）f计划销售额（万元）f实际销售额（万元）90以下90---100100—110110---120120以上12543100150200250300合计

-----151000目前十七页\总数七十页\编于十二点计算表按计划完成程度分组（%）组中值x（%）商店数（个）f计划销售额（万元）f实际销售额（万元）xf90以下90---100100—110110---120120以上85951051151251254310015020025030085142.5210287.5375合计

-----1510001100目前十八页\总数七十页\编于十二点

110%如用商店数作权数，则：

如用计划销售额作权数，则：目前十九页\总数七十页\编于十二点算术平均数

(数学性质)平均数与次（频）数和的乘积等于所有变量值的总和简单算术平均数加权算术平均数目前二十页\总数七十页\编于十二点算术平均数

(数学性质)2. 各变量值与均值的离差之和等于零

3.各变量值与均值的离差平方和最小目前二十一页\总数七十页\编于十二点2、调和平均数调和平均数是被研究对象中各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，因而也称为倒数平均数。与算术平均数一样，由于掌握的资料不同，分为简单调和平均数和加权调和平均数。目前二十二页\总数七十页\编于十二点简单调和平均数简单调和平均数是标志值倒数的简单算术平均数的倒数。在各个标志值相应的次数或频数均为一的情况下求平均数时，用简单式。其计算公式为：式中——调和平均数；

——各标志值；

——项数。目前二十三页\总数七十页\编于十二点[例7]某集贸市场西红柿的价格，早市每千克1元，午市每千克0.50元，晚市每千克0.25元，若早、中、晚各买1元钱，其平均价格为：用算术平均数计算：①早、中、晚各买1元钱，合计花3元。②早上用1元钱可买1／1＝1千克，中午用1元钱可买2千克,晚上用1元钱可买4千克,合计共买西红柿7千克。③平均价格数：用简单调和平均数计算：元/千克目前二十四页\总数七十页\编于十二点加权调和平均数

简单调和平均数是在各变量值对平均数起同等作用的条件下应用的。式中：——调和平均数的权数目前二十五页\总数七十页\编于十二点[例8]如例7资料，早上买西红柿为3元，中午买2元，晚上买1元，则其平均价格为：价格（元/千克）金额数量（千克）1.000.500.25321344合计611目前二十六页\总数七十页\编于十二点下面通过实例来说明加权算术平均数和加权调和平均数具体应用中的差异。［例9］某饭店分一部、二部、三部，2000年计划收入分别为300万元、260万元、240万元，计划完成程度分别为102％，107％，109％，求平均计划完成程度。根据掌握的资料，平均计划完成程度应采用以计划收入为权数的加权算术平均法来计算，见表5—7。目前二十七页\总数七十页\编于十二点表5—7某饭店计划完成资料及计算表平均计划完成程度为计划完成（%）x计划收入（万元）f实际收入（万元）xf一部二部三部102107109300260240306.0278.2261.6合计800845.8目前二十八页\总数七十页\编于十二点如果掌握的资料是实际数，而不是计划数，就不能用加权算术平均数公式计算，应以实际收入为权数的加权调和平均数公式计算。见表5－8。表5—8某饭店实际完成资料及计算表计划完成数（%）x实际完成数（万元）m计划收入（万元）m/x一部二部三部102107109306.0278.2261.6300260240合计-----845.8800目前二十九页\总数七十页\编于十二点几何平均数1.N

个变量值乘积的N

次方根2.适用于特殊的数据3.主要用于计算平均发展速度4.计算公式为5.可看作是均值的一种变形（简单几何平均数）目前三十页\总数七十页\编于十二点

【例10】一位投资者持有一种股票，1996年、1997年、1998年和1999年收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。平均收益率＝103.84%-1=3.84%几何平均数目前三十一页\总数七十页\编于十二点几何平均数加权几何平均数当计算几何平均数的每个变量值的次数不相同时，则应用加权几何平均法，公式如下：上式两边取对数得：目前三十二页\总数七十页\编于十二点4、中位数中位数的概念将被研究总体的各单位的标志值按大小顺序排列，处于中间位置的那个标志值就是中位数，用符号Me表示。中位数代表了总体各单位标志值的平均水平目前三十三页\总数七十页\编于十二点中位数的确定（1）所给资料未分组①当n为奇数时，中位数就是居于中间位置的那个标志值。［例12］设有9个工人生产某种产品，其日产量件数按大小顺序排列为67778991014。则其中位数位次为，即处于第5位的那个标志值为中位数。即Me=8件。目前三十四页\总数七十页\编于十二点②当n为偶数时，中位数是处于中间位置的那两个标志值的算术平均数。［例］设有10个工人生产某种产品，其日产量件数按大小顺序排列为6777899101418。则其中位数位次P=，就是说中位数处在第5个标志值与第6个标志值之间中点的位置。目前三十五页\总数七十页\编于十二点（2）所给的资料已分组根据单项数列确定中位数[例13]某学院1999到2000学年共有30名同学获得奖学金，其分布情况见表5—11表5—11学生获奖学金分布情况及计算表奖学金金额（元/人）人数（人）人数累计向上累计（人）向下累计（人）300500800100015003687639172430302721136合计30——目前三十六页\总数七十页\编于十二点从表中资料计算，中位数位置为：（人）中位数在第15人的位置上。无论是向上累计法还是向下累计法，所选择的累计人数数值都应是含15人的最小数值。表中的17和21符合这一要求，它们对应的都是第三组，即800元就中位数。目前三十七页\总数七十页\编于十二点②根据组距数列确定中位数[例14]某企业职工按月收入总额分组情况如表5—12目前三十八页\总数七十页\编于十二点对于这类问题的计算，可以用以下两式估算中位数的值：式中：——中位数

L——中位数所在组下限

——总体单位总数

——中位数所在组的次数

——中位数所在组之前的向上累计次数

d——中位数所在组的组距目前三十九页\总数七十页\编于十二点用此公式，可将前述的推算结果计算出：

(元)如果就表所给的资料，计算出向下累计户数，则可用公式式中：U——中位数所在组的上限

——中位数所在组之后的向下累计次数目前四十页\总数七十页\编于十二点5、众数

众数是总体中各单位出现次数最多的那个标志值，也就是该总体各单位中最普通、最常出现的标志值。用众数也可以表明社会经济现象的一般水平。众数的特点和作用众数作为总体中出现次数最多的数值，能直观的说明总体各单位该标志值的集中趋势，故能说明该现象数量方面的一般水平。只有当总体单位数比较多，且标志值的分布具有明显的集中趋势时，众数的确定才有意义。如果标志值的分布呈均匀分布，该数列无众数。当某种社会经济现象不可能或无必要全面登记出各单位标志值及各标志值出现的次数来计算算术平均数时，可用最普遍出现的标志值，即众数来代替其一般水平。目前四十一页\总数七十页\编于十二点众数的确定

首先要将数据资料进行分组，编制次数分布数列；然后，根据变量数列的不同种类采用不同的方法。1、由单项数列来确定众数在单项式数列情况下，确定众数比较简单，只需通过观察找出次数出现最多的那个标志值即可。这里重点介绍根据组距数列如何确定众数目前四十二页\总数七十页\编于十二点2、由组距数列来计算众数仍以表5—12为例，通过观察，第四组的次数最多，故可确定众数在第四组内。可以推断，如果众数所在组的前一组的次数比后一组的次数多，则众数就出现在组中值偏向上限这一边的位置上。利用差数法，可以推断出众数的近似值的公式为：目前四十三页\总数七十页\编于十二点下限公式

式中：——众数

L——众数所在组的下限

i——众数所在组的组距

——众数组与前一组次数之差

——众数组与后一组次数之差目前四十四页\总数七十页\编于十二点上限公式

式中：U——众数所在组的上限目前四十五页\总数七十页\编于十二点算术平均数应用最广泛的一种平均数调和平均数算术平均数的转化形式,这种平均数使用较少。而且，它要求每个原数据值都不能为零。几何平均数用于计算相对数（如比率、速度等）的平均数中位数平均数的补充形式，两者都是为避免原数据中极端值的影响而采用的方法，都不受每个原数据大小的影响，而只受位置和次数的影响。众数根据同一资料分别计算和确定五种平均数，得到的结果一般是不同的。就算术平均数、调和平均数和几何平均数来说，算术平均数最大，几何平均数其次，调和平均数最小。小结目前四十六页\总数七十页\编于十二点计算和应用统计平均指标应注意的问题（一）注意社会经济现象的同质性所谓同质性，就是社会经济现象的各个单位在被平均的标志上具有同类性，不同质的现象，不能用来计算平均指标，这是计算平均指标的基本前提。否则，平均数不仅不能反映总体的本质特征，而且还会抹煞现象之间的本质区别，歪曲现象真相。目前四十七页\总数七十页\编于十二点（二）注意用组平均数补充说明总平均数[例15]某行业甲乙两企业职工工资资料如表5—13。目前四十八页\总数七十页\编于十二点（三）注意用分布数列来补充说明平均数由于平均指标将各单位标志值的差异抽象化了，反映的是总体各单位该标志值的一般水平，因而掩盖了总体各单位的差异及其分配情况，有时这种差异是不能被忽视的。[例16]有如下两个班组工人的日产量资料，见表5—14。目前四十九页\总数七十页\编于十二点（四）把平均指标和具体情况结合起来分析平均数代表的是现象在具体的时间、地点、条件下的一般水平，所以在用平均指标进行统计分析时，一定要把对具体的时间、地点、条件的分析结合起来，才能全面地认识问题，正确地评价事物。目前五十页\总数七十页\编于十二点第三节标志变异指标标志变异指标的意义、作用和种类1.意义社会经济现象总体各单位某一标志值之间，客观上存在着各种各样的差异，平均指标把这种差异抽象化，反映的是该标志值达到的一般水平，说明的是总体标志值的集中趋势，却掩盖了其差异，有时这种差异可能很大，是不能被忽视的。标志变异指标又称标志变动度指标，它反映了总体各单位某数量标志值之间的差异程度，是度量统计分布离中趋势的综合指标。它是说明总体标志值的变异、离散程度，评价平均指标的代表性的指标。目前五十一页\总数七十页\编于十二点[例17]有甲、乙两个培训班，各有10名学员，其年龄（岁）形成的数列如下：甲班19232935363744484960

乙班30373838383939404041从此例可看出，平均水平掩盖了总体内部各单位标志值的差异程度，所以，在分析实际问题时，除了要反映总体的一般水平外，还需要把总体内部各单位标志值之间的差异程度反映出来，即需用标志变异指标来反映这些问题。目前五十二页\总数七十页\编于十二点标志变异指标的作用可以衡量平均指标的代表性。标志变异指标可以说明社会经济现象变动过程的均衡性、节奏性和稳定性。标志变异指标的大小有助于确定必要的抽样数目标志变异指标的种类反映总体各单位标志值变动范围的指标：全距。反映总体各单位标志值对平均数离差程度的指标：平均差、标准差及标准差系数。目前五十三页\总数七十页\编于十二点（一）全距全距又称极差，它是总体各单位标志值中最大值与最小值之差，用R表示，其公式表示为R=最大标志值—最小标志值如前面甲乙两培训班学员年龄之例中：甲班学员年龄全距R=60一19＝41（岁）乙班学员年龄全距R＝41－30＝11（岁）全距这个指标直观、易于理解且计算方便。

标志变异指标的计算目前五十四页\总数七十页\编于十二点平均差是数列中各单位标志值与其平均数值之间绝对离差的算术平均数，这是反映各变量值平均离散程度的一个综合指标。用符号“A.D”表示,平均差可以分为简单平均差和加权平均差。1、简单平均差如掌握的资料未分组时可用简单平均差来计算。其计算公式：（二）平均差目前五十五页\总数七十页\编于十二点[例18]根据例17中甲、乙培训班学员年龄的资料，计算简单平均差。目前五十六页\总数七十页\编于十二点甲班学员年龄平均差（岁）乙班学员年龄平均差：（岁）可见，甲班学员年龄平均差明显的大于乙班学员年龄，说明乙班学员平均年龄的代表性要大于甲班学员平均年龄的代表性。目前五十七页\总数七十页\编于十二点2、加权平均差如果掌握的资料分组时，应采用加权平均法计算平均差，其计算公式为目前五十八页\总数七十页\编于十二点[例19]以某企业某车间工人日产量资料为例，见表5—16

目前五十九页\总数七十页\编于十二点由表求得：（件）（件）一般而言，平均差越大，标志变动度越大，平均数代表性越小，反之，平均数代表性越大。

目前六十页\总数七十页\编于十二点（三）标准差标准差是总体各单位标志值对其算术平均数离差的平方的算术平均数的平方根。又称均方差，用表示1、简单标准差如掌握的资料未分组时可用简单标准差来计算，其计算公式为：目前六十一页\总数七十页\编于十二点[例20]对于为分组资料，仍以甲、乙两班学员的年龄为例，计算其标准差，见表5—17目前六十二页\总数七十页\编于十二点由表中资料计算：甲班标准差（岁）乙班标准差