能量原理及其应用

能量原理及其应用第1页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页2等离体不稳定性概述第2页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页3不稳定性现象一个力学系统当处在力学平衡状态(总的受力为零)时,如受到一个小扰动力的作用、就会偏离平衡态.系统在平衡态附近的随时间扰动一般分成三种情况--扰动幅度随时间而减小,即阻尼的扰动;--扰动辐度不随时间变化,即稳定的波动;--扰动的辐度随时间而增大,即不稳定的扰动,或称不稳定性.第3页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页4不稳定性起因对处在力学平衡下系统的小扰动会使系统的总能产生小的变化.如果扰动使系统总能增加,则扰动能就会转变成系统的总能.这样扰动辐度就随时间而减少.这就是阻尼的扰动.在稳定的扰动—波动情况下,扰动不改变平衡系统的总能量.在不稳定的扰动下,系统会进入总能更低的状态,从而把一部份能量转给了扰动、使它随时间而增长.这部份可以交给扰动的能量被称为自由能.第4页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页5等离体不稳定性分类(1)宏观(流体)的不稳定性(3维坐标空间)--磁(单)流体不稳定性---理想的磁流体(IdealMHD)不稳定性---电阻(耗散)的磁流体不稳定性--电磁(双)流体不稳定性微观(动理学)的不稳定性(3维坐标空间+3维速度空间)第5页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页6等离体不稳定性分类(2)按扰动的极化性质分类--静电型;--电磁型;--静电-电磁混合型.按不稳定扰动随时间变化特征分类--线性不稳定的扰动(A=A0+A1,A1<<A0)--非线性不稳定的扰动,或弱湍流、发展中湍流--饱和的不稳定扰动,或完全发展了的湍流按扰动本身的特征时间和空间尺度--理想磁流体时间(τA=1/kva,k≈1/a);--电阻磁流体时间(τR=μa2/η);--混合型.第6页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页7线性不稳定性描述方法简正模(时间可作Laplace(A1∝exp[-iωt])变换)法

--扰动量的全部空间变量均可作Fourier变换(A1∝exp[ik·x]),它的线性微分方程、变成关于(ω,k)的齐次代数方程.由解的存在条件得出色散方程:ω=ω(k)=ωR+iωI.当ωI>0，扰动不稳定(exp[ωIt]);当ωI<0，扰动衰减;当ωI<0，扰动是稳定的波.--部分(等离体参量均匀)空间可作Fourier变换,全空间的微分方程变成剩余坐标的约化微分方程,由其解和边界(或连接)条件得出色散关系;--微分方程存在奇异性,由奇点处的非平凡解存在条件得出色散关系.能量原理(仅对IMHD系统适用)初值(初始扰动的时间演化)问题第7页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页8Tokamak中主要的磁流体不稳定性IMHD不稳定性--外kink(扭曲)模--内kink(扭曲)模--Exchange(交换)模,特别是Ballooning(气泡)模电阻MHD不稳定性--Tearing(撕裂)模,--Neo-classicalTearingMode(NTM)介于IMHD和耗散MHD之中的模--RWM(ResistanceWallMode,电阻壁)模第8页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页9MHD不稳定性从两个方面

决定了tokamak等离体的

运行性能和极限第9页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页10对Tokamak运行性能的第一类限制MHD不稳定性决定了tokamak可达到的--最大plasma电流,--最大plasma压强(β)及其梯度,--并在决定plasma的最大密度上起重要作用.这样,在决定反应堆水平tokamak基本设计和plasma性能的三个关键物理基石:β极限、密度极限和能量约束时间中,有二个和MHD不稳定性有关.而上述三个物理量综合起来决定了--可以产生的聚变功率:Pfusion--聚变功率增益:Q=Pfusion/Pauxilary--中子在壁上的负荷第10页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页11对Tokamak运行性能的第二类限制至今已知道:有一些破裂是在任何反应堆尺度的Burningplasmas中都会不可避免地出现的.而破裂决定了tokamak某些结构和元件—尤其是那些与plasma功率和粒子排出有关的元件--的使用寿命.而这些破裂是MHD不稳定性的直接或最后结果.为了减少破裂出现的次数,以及在它不可避免出现时、减缓或软化它的后果,必须通过对引发破裂的MHD不稳定性有深入和定量的了解.第11页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页12ITER中重要的IMHD不稳定模式锯齿(Sautooth)模--内kink模,在正磁剪切下产生NTMs的种子磁岛,结果设置了βN极限值,并使能量约束变坏.电阻壁模(RWM—ResistanceWallMode)--自举电流驱动的外kink模,对具有反(负)磁剪切的等离体设置了βN极限值.局域的内MHD模--存在于具有内部输运垒(ITB)的高性能等离体中,限制了稳态运行范围.第12页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页13本讲座内容柱形等离体中理想磁流体力学(IMHD)扰动的能量原理及不稳定模式准备知识

--扰动位移矢量ξ的IMHD线性方程--F算子、其自伴性和相应的哈密顿量H--变分原理、能量原理一维位形下的IMHD不稳定模式分析直柱tokamak位形中的IMHD不稳定性分析第13页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页14参考文献ProgressintheITERPhysicsBasis,NuclearFusion47(June,2007)Chapter3.ITERPhysicsBasis,NuclearFusion39(1999)2137-2664.胡希伟,‘等离子体理论基础’,北京大学出版社,2006,第四章.J.Wesson,‘Tokamaks’,SecondEdition,ClarendonPress–Oxford,1997,Chapter6.第14页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页15IMHD能量原理准备知识第15页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页16能量原理的原理第16页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页17IMHD方程和总能量第17页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页18线性化磁流体方程组从磁流体力学方程组出发,取平衡解为:然后令:第18页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页19引入位移矢量以直接积分二个方程第19页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页20位移矢量ξ的运动方程,力算子F第20页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页21总能量守恒与算子F

自伴第21页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页22位移矢量ξ的初值和简正模解第22页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页23IMHD本征模的三个特点令,由F的自伴性可以证明:(1)ω2为实数,ω为正负实数或纯虚数.(2)满足运动方程-ω2ρ0ξ=F(ξ)的ξ是实矢量,(3)若有分立谱本征值{ωn}(n=1,2,…),则所对应的本征矢{ξn}构成正交集.-ωn2ρ0ξn=F(ξn)第23页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页24F算子自伴性的证明在‘等离子体理论基础’的第四章中,对两种情况证明了F算子的自伴性。同时也给出了扰动位势δW（ξ，ξ）的具体表达式：--无界磁流体,--柱形，有界（r=a）磁流体.第24页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页25无限大磁流体力学体系的扰动位能第25页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页26第26页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页27力算子F

自伴性的证明第27页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页28自伴性的最后证明因为,而又能证明,第28页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页29自伴性的最后证明(续)第29页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页30柱形磁流体力学体系其中是磁流体体积中的扰动位能.而后两项分别是柱面的扰动位能和柱外真空中的扰动位能第30页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页31磁流体内扰动位能的第II

种表达式这是物理意义最清楚的一种表达式其中第1项对应于弯曲磁力线的扰动(如剪切Alfven波);第2项出自同时压缩了流体和磁场的扰动(如压缩Alfven波);第3项则代表单独压缩流体的扰动(如离子声波);这三种扰动都引起势能增加,是致稳项.第4项是平行电流所驱动的不稳定扰动(Kinkmode);第5项是由压强梯度和磁场曲率联合产生的扰动,由于<0,当<0(坏曲率)时,这项为负、会驱动不稳定扰动(Interchangemode).在整个扰动势能中只有这后两项是解(致)稳项.

第31页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页32磁流体内扰动位能的第IV种表达式这种表达式在推导Screw(螺旋)Pinch及直柱tokamak等离体中扰动位能表达式时特别方便.第32页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页33变分原理第33页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页34能量原理第34页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页35如何挑选合适的ξ来极小化δWF第35页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页36首先选取合适的ξ||来极小化δWF第36页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页37第37页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页38δW∥取极小与不可压缩性第38页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页39第39页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页40IMHD不稳定性分类第40页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页41第41页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页42ExternalKinkMode第42页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页43InternalKinkMode第43页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页44InterchangeMode第44页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页45BallooningMode第45页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页46休息!就休息一会儿第46页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页47一维位形下的IMHD不稳定性θ-PinchZ-PinchScrewPinch及其定域内模的Suydam判据第47页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页48θ-Pinch第48页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页49第49页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页50第50页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页51第51页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页52Z-Pinch第52页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页53第53页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页54第54页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页55第55页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页56第56页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页57第57页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页58第58页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页59ScrewPinch第59页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页60第60页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页61极小化δWF(1):检验不可压缩性第61页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页62极小化δWF(2):对η取极值第62页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页63第63页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页64引入环向波数

n=-kR0第64页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页65原始表面δWs第65页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页66真空δWv第66页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页67第67页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页68ScrewPinch

δWF的最后表达式第68页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页69从δWF

表达式可得的一般性结论第69页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页70定域内模的Suydam判据第70页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页71直柱tokamak的IMHD不稳定模第71页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页72直柱马克的δW

表达式第72页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页73第73页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页74直柱马克典型的IMHD模式定域(在有理面附近)的内交换模—Mercier判据非定域的内(kink,interchange)模--m=0和m≥2的内模总是稳定的--m=1,n=1的内模在q(0)<1时,是不稳定的.m=1的外kink模—Kruskal-Shafranov极限m≥2的外kink模-–扭曲模的稳定图第74页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页75定域内模只出现在rq’/q≈0

处

第75页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页76Mercier判据,q(0)>1稳定充分条件第76页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页77非定域内模，m≥2情况第77页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页78m=0

非定域内模总是稳定的第78页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页79m=1,n=1/q(rs)共振面不在等离体中第79页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页80m=1,n=1/q(rs)共振面在等离体中第80页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页81第81页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页82反剪切

q(r)

位形下的m=1内模第82页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页83ITERDesignScenario4中的反剪切位形第83页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页84外扭曲模的物理机制和扰动位能第84页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页85外扭曲模的扰动位能,m=1模第85页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页86m=1

外扭曲模的稳定条件第86页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页87m≥2

的外扭曲模第87页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页88m≥2模的稳定条件与电流分布有关第88页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页89均匀电流剖面下的稳定判据第89页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页90第90页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页91第91页，共101页，2023年，2月20日，星期四总100页92第92页