计算机图形学 投影

计算机图形学课件投影第1页，共37页，2023年，2月20日，星期四8.1投影分类：投影透视投影(中心投影)平行投影一点透视斜平行投影正平行投影二点透视斜等测三点透视斜二测正轴测投影多面视图

正等测三视图正二测正三测剖视图第2页，共37页，2023年，2月20日，星期四8.2平行投影

投影中心到投影平面的距离为无穷大时投影称为平行投影。平行投影可分为正平行投影（投影方向垂直于投影面）和斜平行投影（投影方向不垂直于投影面）。计算机绘制的三视图、正轴测图和斜轴测图就是通过这两种平行投影得到的平面图形。第3页，共37页，2023年，2月20日，星期四

三视图即主视图、俯视图、侧视图是分别将三维立体对正面、水平面和侧面作正投影得到的三个基本视图。用计算机绘制立体图的三视图的具体步骤：建立三维空间坐标系，这里定义一个右手直角坐标系，即z轴正向朝上。在这个定义的坐标系下，确定三维立体上各点的位置坐标，同时引入齐次坐标。求出所作变换相应的四阶变换矩阵，一般根据变换前后图形上点的几何关系或由已知的变换矩阵求得。将所作变换写出矩阵表示式，通过运算求得三维立体上各点(x,y,z)竟变换后的相应点(x’,y’)或(y’,z’)或(x’,z’)，一般是二维点的齐次坐标。有变换后的所有二维点绘出三维立体投影后的平面图形，即为主视图、俯视图或侧视图。8.2.1三视图第4页，共37页，2023年，2月20日，星期四第5页，共37页，2023年，2月20日，星期四

在右手直角坐标系中，将三维立体向xOz面（正面V）作正投影，得到主视图。由投影变换前后三维立体上点到主视图上点的关系，可知此投影变换的变换矩阵为：(1)主视图第6页，共37页，2023年，2月20日，星期四

Tv：主视图的投影变换矩阵，简称投影矩阵。若已知三维立体上n个点(xi,yi,zi)，则各点的齐次坐标可写成n4阶矩阵，主视图的投影变换矩阵表示式为：

在绘图时，只要取x=xi,y=zi(i=1,2,…,n)，，就可在屏幕上绘出三维立体的主视图。第7页，共37页，2023年，2月20日，星期四

三维立体向xOy面（水平面H）作正投影得到俯视图。其投影变换矩阵：

为了使俯视图与主视图也画在一个平面内，就要使H面绕x轴负方向转90o，此旋转变换矩阵为：(2)俯视图第8页，共37页，2023年，2月20日，星期四

为了使俯视图与主视图间有一定的间距，还要使H面沿负z方向平移一段距离z0。其变换矩阵为：第9页，共37页，2023年，2月20日，星期四因此俯视图的投影变换矩阵为上面三个变换矩阵的连乘积，即：

其中TH矩阵的第二列为零说明H面绕x轴负方向转90o后，xOy上的投影变成了xOz面上的投影。第10页，共37页，2023年，2月20日，星期四俯视图的投影变换矩阵表示为：

由此得到三维立体的俯视图上n个点(xi,-yi-z0)(i=1,2,…,n)，取x=xi,y=-yi-z0(i=1,2,…,n)，便可绘出三维立体的俯视图。第11页，共37页，2023年，2月20日，星期四

将三维立体向yOz面(侧面W)作正投影得到俯视图。其投影变换矩阵：

为了使俯视图与主视图都画在一个平面内，就要使W面绕z轴转90o，此旋转变换矩阵为：(3)侧视图第12页，共37页，2023年，2月20日，星期四

为了使侧视图与主视图间有一定的间距，还要使W面沿负x方向平移一段距离x0。其变换矩阵为：第13页，共37页，2023年，2月20日，星期四因此侧视图的投影变换矩阵为上面三个变换矩阵的连乘积，即：

其中TW矩阵的第二列为零说明W面绕z轴转90o后，yOz上的投影变成了xOz面上的投影。第14页，共37页，2023年，2月20日，星期四侧视图的投影变换矩阵表示为：

由此得到三维立体的侧视图上n个点(-yi-x0,zi)(i=1,2,…,n)，取x=-yi-x0，y=-zi(i=1,2,…,n)，便可绘出三维立体的侧视图。先让三维立体作投影面，然后旋转投影面得到平摊在同一个平面上的三个视图。也可以先把三维立体作旋转，然后再向投影面作正投影得到同样的三视图。第15页，共37页，2023年，2月20日，星期四8.2.2正轴测图正轴测图是将三维立体向一个单一的投影面作平行投影并且投影方向垂直于投影面时得到的平面图形。正轴测图可分为正等测图、正二测图、和正三测图。正轴测图的形成：将三维立体绕某一坐标轴旋转一个角度，在绕另一坐标轴旋转一个角度，最后向包含这两个坐标轴的平面作正投影即得到正轴测图。第16页，共37页，2023年，2月20日，星期四正轴测图的投影变换矩阵

选定右手直角坐标系，三维立体位于此坐标系中，按照正轴测图形成过程，可先将立体绕z轴旋转-角，再将立体绕x轴角，然后将立体向Ozx面作正投影，得其正轴测图的投影变换矩阵为：第17页，共37页，2023年，2月20日，星期四取=20.7o,=19.47o取=45o,=35.27o常用的正轴测图有正等轴测和正二轴测，正等轴测图是作正轴测投影时，x,y,z三个方向长度缩放率一样时的正轴测图。正二测图是作正轴测投影当x,z两个方向长度缩放率一样时的正轴测图。正等轴测图与正二测图的变换矩阵为：第18页，共37页，2023年，2月20日，星期四8.2.3斜轴测图斜轴测图是将三维立体向一个单一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直与投影面所得到的平面图形。常用斜轴测图可分为斜等测图和斜二测图。斜轴测图也可以看成：先将三维立体图形沿两个轴向错切，然后再向投影面作正投影，则得到立体的斜轴测图。选定右手直角坐标系，三维立体位于此坐标系中，按照斜轴测图形成过程，可先将立体沿x含z方向错切，再沿y含z方向错切，最后向xOy面投影，得其轴测图的投影变换矩阵为：第19页，共37页，2023年，2月20日，星期四第20页，共37页，2023年，2月20日，星期四常用的正轴测图有斜等轴测和斜二轴测，斜等轴测图是作斜轴测投影时，x,y,z三个方向长度在投影后保持不变的斜轴测图。斜等轴测的变换矩阵为：第21页，共37页，2023年，2月20日，星期四斜二测图是作斜轴测投影时，x,y两个方向长度不变，z方向的长度改变的斜轴测图。斜二轴测的变换矩阵为：第22页，共37页，2023年，2月20日，星期四8.3透视投影图透视图和轴测图都是单面投影图，所不同的是轴测图是用平行投影原理形成的，透视图是用中心投影原理形成的。两者虽然都是立体图，但透视图的效果更接近人们用肉眼观察的实际效果，因而它的立体感和真实感均优于轴测图。第23页，共37页，2023年，2月20日，星期四透视图的形成

灭点：垂直于画面M的直线在无穷远处的透视。假设在观察者与物体之间放置一透明的画面M，透视投影中心称为视点，视点与物体上各点的连线称为视线，各视线与画面的交点a,b,…称为A,B,…各点的透视，将物体各点的透视连接起来便得到立体的透视投影图。第24页，共37页，2023年，2月20日，星期四透视投影图透视变换矩阵一点透视两点透视三点透视特点：产生近大远小的视觉效果，由它产生的图形深度感强，看起来更加真实。第25页，共37页，2023年，2月20日，星期四第26页，共37页，2023年，2月20日，星期四一点透视先假设q=0，p=r=0。然后对点（x,y,z）进行变换，结果如下：齐次化得：当y=0时：(x*,y*,z*)=(x,0,z)当y时：(x*,y*,z*)=(0,1/q,0)(0,1/q,0)就是灭点，象这样形成一个灭点的透视变换称为“一点透视”效果图第27页，共37页，2023年，2月20日，星期四一点透视效果图q<0第28页，共37页，2023年，2月20日，星期四同理，当p=0，q=r=0时，将会在x轴上的1/p处产生一个灭点，其坐标值为（1/p,0,0），此时所有平行于x轴的直线将延伸交于该点。当r=0，p=q=0时，将会在z轴上的1/r处产生一个灭点，其坐标值为（0,0,1/r），此时所有平行于z轴的直线将延伸交于该点。第29页，共37页，2023年，2月20日，星期四两点透视p,q,r中有两个为非零数，将会生成两个灭点，因此得到两点透视。当p=0，r=0时，结果为：齐次化得：

x*=x/(px+rz+1)y*=y/(px+rz+1)z*=z/(px+rz+1)当x时：一个灭点在x轴的1/p处当z时：一个灭点在z轴的1/r处第30页，共37页，2023年，2月20日，星期四三点透视当p,q,r都不为0时，结果将会产生三个灭点，从而形成三点透视。产生的三个灭点分别在x轴的1/p处、y轴的1/q处、z轴的1/r处。第31页，共37页，2023年，2月20日，星期四生成透视投影图的方法：先是对立体进行透视变换，然后是将其投影到正面投影面上，形成正投影图。透视投影矩阵：第32页，共37页，2023年，2月20日，星期四一点透视投影图的生成

为了获得较好的效果，通常将立体平移到一个合适的位置，然后在进行透视投影变换。则生成一点透视投影的变换矩阵为：

取-1<q<0，可获得效果较好的透视图。第33页，共37页，2023年，2月20日，星期四二点透视投影图的生成先将立体绕z轴旋转一个角，以使得立体上的xOz平面和yOz平面与正面投影面产生一定的倾斜交角，然后再对立体进行透视变换并向正面投影面进行投影。二点透视又叫“成角透视”。生成二点透视投影的变换矩阵为：第34页，共37页，2023年，2月20日，星期四三点透视投影图的生成先将立体绕z轴旋转角；再将立体绕x轴顺时针旋转角；进行透视变换；进行正投影。生成三点透视投影的变换矩阵为：第35页，共37页，2023年，2月20日，星期四绘图步骤绘制三视图、正轴测图和斜轴测图