计算机辅助设计

计算机辅助设计第1页，共91页，2023年，2月20日，星期四主要内容图形图像处理的基本概念图形学的数学基础二维图形的变换三维图形的变换窗口到视区的变换交互技术第2页，共91页，2023年，2月20日，星期四4.1图形图像的基本概念什么是图形？照片，美术作品数学方法描述的图形（包括几何图形，代数方程或分析表达式确定的图形）

y=2x+1

广义上两者都是计算机要处理的对象，包括图片，图画，图形等。统称为图形，即包含图像的含义又包含几何形状的含义。图像,图画，景象，形象图形第3页，共91页，2023年，2月20日，星期四构成图形的要素，点线面体----几何要素明暗，灰度，色彩-----非几何要素计算机表示图形的方法点阵法：用具有灰度或色彩的点阵表示图形。参数法：用图形的形状参数和属性参数表示图形。形状参数：方程的系数，线段起点，终点。（几何要素）属性参数：灰度，色彩，线型。（非几何要素）图象，光栅图形图形，矢量图形第4页，共91页，2023年，2月20日，星期四计算机图形学的任务：用计算机处理图形的图形输入生成显示输出变换图形的组合，分解等运算。第5页，共91页，2023年，2月20日，星期四4.2图形学的数学基础4.2.1坐标系

二维图形：笛卡尔直角坐标系三维图形：右手坐标，左手坐标系几种常见的坐标系

1。世界坐标系WC(Wordcoordinates)

右手三维直角坐标系或二维坐标系，一般是用户绘图时候所取的坐标系，也叫用户坐标系第6页，共91页，2023年，2月20日，星期四2。设备坐标系DC(DeviceCoordinates)

与设备的物理参数有关的坐标系。显示器：屏幕坐标系绘图仪：绘图坐标系3。规范化设备坐标系NDC(NormalizedDeviceCoordinates)

这种坐标系是为了摆脱图形支撑软件对具体的物理设备的依赖性，在不同应用和不同系统之间交换信息，其坐标系的取值范围约定【0，1】上。

第7页，共91页，2023年，2月20日，星期四4.2.2齐次坐标技术引入：为了方便的描述各种图形的转换算法。齐次坐标可以表示无穷远点,并且可以通过透视变换将无限远点变换成有限远点。齐次坐标表示法：用n+1维矢量表示n维矢量

n维空间点的位置矢量：（p1,p2,….pn)

用齐次坐标表示点（hp1,hp2,…..hpn，h）一个点在n+1维齐次空间内对应无穷个点

【9，6，3】【3，2，1】【3，2】

－对多的映射当h=1时，空间矢量成为齐次坐标的规范化形式

第8页，共91页，2023年，2月20日，星期四Z=1平面（x,y,1)第9页，共91页，2023年，2月20日，星期四4.2.3矢量运算矢量V1(x1,y1,z1),V2(x2,y2,z2)单位矢量i=[100]j=[010]k=[001]矢量之和

v1+V2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)矢量长度

|V1|=v1.v1=(x1*x1+y1*y1+z1*z1)1/2矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘第10页，共91页，2023年，2月20日，星期四4.2.4图形变换方法用齐次坐标表示二维空间的点（x,y,1)二维空间的图形可以用点集表示三维空间和多维空间依次类推

第11页，共91页，2023年，2月20日，星期四计算机绘图中常见的变换，平移，旋转，缩放，投影，实质是改变图形点的坐标，图形变换可以看成坐标系不变而图形变动，或图形不动，而坐标系变动。这两种变化是等效的。（两种变换矩阵互为逆矩阵）已知二维点p(x,y)---P1(x’,y’)

必存在

x’=ax+cy+ly’=bx+dy+m采用齐次坐标可以表示为第12页，共91页，2023年，2月20日，星期四T=[]为变换矩阵，可以实现二维图形的基本变换a,bC,d对图形进行缩放，旋转，对称，错切等变换[l,m]对图形产生平移变换PQ对图形产生投影变换[S]对图形作伸缩变换第13页，共91页，2023年，2月20日，星期四4.3二维图形变换4.3.1二维图形基本变换第14页，共91页，2023年，2月20日，星期四T=[]为变换矩阵，可以实现二维图形的基本变换a,bC,d对图形进行缩放，旋转，对称，错切等变换[l,m]对图形产生平移变换PQ对图形产生投影变换[S]对图形作伸缩变换第15页，共91页，2023年，2月20日，星期四比例变换变换矩阵中b=c=0其中a,d分别为x,y方向的比例因子

a=d=1恒等变换a=d<>1等比变换a<>d不等比变换图形产生畸变第16页，共91页，2023年，2月20日，星期四xYa=d=1恒等变换a=d<>1等比变换(a=d>1比例放大）(a=d<1比例缩小）？a=d<0是何种情况第17页，共91页，2023年，2月20日，星期四对称变换对坐标轴的对称变换X轴x’=xy’=-yY轴x’=-xy=y’对原点的对称变换对y=x的对称变换第18页，共91页，2023年，2月20日，星期四xYX轴对称Y轴对称原点对称Y=x对称Y=-x对称1，0，00，-1，00，0，1-1，0，00，1，00，0，1-1，0，00，-1，00，0，10，1，01，0，00，0，10，-1，0-1，0，00，0，1第19页，共91页，2023年，2月20日，星期四错切变换沿x向错切b=0

第20页，共91页，2023年，2月20日，星期四沿y向错切C=0第21页，共91页，2023年，2月20日，星期四xY1,0,0C,1,00,0,1沿x向错切1,b,00,1,00,0,1沿y向错切图示b<0(b！=0）图示c>0(c！=0）第22页，共91页，2023年，2月20日，星期四旋转变换图形旋转是指绕坐标系原点旋转θ，且逆时针为正（x,y)(x’,y’)xyO第23页，共91页，2023年，2月20日，星期四（x,y)(x’,y’)xyOCossin0-sincos0001第24页，共91页，2023年，2月20日，星期四平移变换无法使用它进行变换第25页，共91页，2023年，2月20日，星期四xYlm1,0,00,1,0l,m,1第26页，共91页，2023年，2月20日，星期四第27页，共91页，2023年，2月20日，星期四变换名称矩阵说明示意图恒等变换1，0，00，1，00，0，1(1,0,0)x轴无穷远点同理其他平移变换1，0，00，1，0l,m,1L：x平移量M：y平移量比例变换Sx,0,00,Sy,00,0,1Sx=Sy=1恒等变换Sx=Sy>1比例放大（反之，比例缩小）Sx！=Sy不等比例缩防对称变换a,d,0b,e,00,0,1b=d=0a=-1e=1:y轴对称b=d=0a=1e=-1:x轴对称b=d=0a=-1e=-1:原点对称b=d=1a=e=0:y=x轴对称b=d=-1a=e=0:y=-x轴对称旋转变换cosA,sinA,0-sinA,cosA,00,01A逆时针为正错切变换，d，0B,1,00,0,1D=0,b!=0:x错切D!=0,b=0:y错切B，d！=0：沿x,y同时错切第28页，共91页，2023年，2月20日，星期四4.3.2二维组合变换绕任意点旋转变换第29页，共91页，2023年，2月20日，星期四xYaa将旋转中心平移到原点绕原点旋转将旋转中心平移到原处第30页，共91页，2023年，2月20日，星期四对任意直线的对称变换直线方程ax+by+c=0-c/a-c/b角度α第31页，共91页，2023年，2月20日，星期四第32页，共91页，2023年，2月20日，星期四第33页，共91页，2023年，2月20日，星期四3。3三维图形变换产生透视变换产生全比例变换产生平移变换产生比例错切旋转对称等基本变换第34页，共91页，2023年，2月20日，星期四3。3。1三维基本变换矩阵比例变换a，e，j为x，y，z的比例因子xyz第35页，共91页，2023年，2月20日，星期四对称变换Xoyxozyozxyz第36页，共91页，2023年，2月20日，星期四错切变换第37页，共91页，2023年，2月20日，星期四沿x含y错切沿x含z错切xyz第38页，共91页，2023年，2月20日，星期四沿y含x错切沿y含z错切xyz第39页，共91页，2023年，2月20日，星期四沿z含x沿z含yxyz第40页，共91页，2023年，2月20日，星期四旋转变换右手螺旋为正绕X绕y绕zxyz第41页，共91页，2023年，2月20日，星期四平移变换xyz第42页，共91页，2023年，2月20日，星期四3。3。2三维图形的投影变换人们观察自然界的物体时，所得视觉映像同观察点、观察方向有关。要用计算机生成一幅三维视图，也需要确定观察点、观察方向，还需要将观察范围以外的部分图形裁剪掉。由于图形输出设备通常都是二维的，还必须将三维图形转换到输出设备的观察平面上，这一转换过程称为投影变换。下面讨论投影变换的实现。第43页，共91页，2023年，2月20日，星期四投影变换分类在投影变换中，观察平面称为投影面。将三维图形投影到投影面上，有两种基本的投影方式，即平行投影和透视投影。

平行投影中，图形沿平行线变换到投影面上；透视投影，图形沿收敛于某一点的直线变换到投影面上，此点称为投影中心，相当于观察点，也称为视点。投影线与投影面相交在投影面上形成的图象即为三维图形的投影。

平行投影透视投影第44页，共91页，2023年，2月20日，星期四保持物体的有关比例不变透视投影不保持相关比例，但能够生成真实感视图投影平面投影方向投影平面投影方向第45页，共91页，2023年，2月20日，星期四正平行投影正平行投影根据投影面与坐标轴的夹角又可分成两类：正投影(三视图)和正轴测投影。当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图，这时投影方向与这个坐标轴的方向一致。否则，得到的投影为正轴测投影，如下图所示。第46页，共91页，2023年，2月20日，星期四1.正投影Xoz正面投影(主视图）Y=0第47页，共91页，2023年，2月20日，星期四Xoy平面投影（水平投影，俯视图）投影到xoy平面绕x轴旋转－90沿负z方向平移一段距离第48页，共91页，2023年，2月20日，星期四投影到xoy绕x轴逆时旋转90(此图应向上，图示为顺时针旋转90）)平移一段距离第49页，共91页，2023年，2月20日，星期四侧面投影（yoz，侧视图)投影到yoz平面绕z轴旋转90沿负x方向平移一段距离第50页，共91页，2023年，2月20日，星期四2正轴测投影正轴测投影是能够显示形体多个侧面的投影变换，如果投影平面不与任一坐标轴垂直，就形成正轴测投影。正轴测投影有正等测、正二测和正三测三种。当投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等时为正等测；当投影面与两个坐标轴之间的夹角相等时为正二测；当投影面与三个坐标轴之间的夹角都不相等时为正三测。正等测投影中三个坐标分量保持相同的变化比例；正二测投影中三个坐标分量中的两个保持相同的变化比例；正三测投影中三个坐标分量的变化比例各不相同。第51页，共91页，2023年，2月20日，星期四轴测变换是一种约定的组合变换，它是由依次绕两个坐标轴旋转，再向一个平面投射三个基本变换组合而来的。例如先绕Z轴旋转角，再绕X轴旋转角，最后向y=0的平面投射。组合变换矩阵为xyz逆时针旋转使其和x轴平行顺时针旋转，平行于xoz平面第52页，共91页，2023年，2月20日，星期四第53页，共91页，2023年，2月20日，星期四完整的变换式表示如下：适当选取两个角，就可以得到正二测和正等测投影变换。第54页，共91页，2023年，2月20日，星期四例如绕z轴旋转45°角，可以得到投影面与X轴和y轴之间夹角相等的正二测投影，此时的变换矩阵为：对于正等测投影变换，根据定义，不同坐标轴上的单位矢量经变换后变化比例相同，其模应相等。利用正二测投影的变换矩阵，看sinΦ和cosΦ取何值时，才能变为正等测投影要求。不妨利用X轴和Z轴上的单位矢量变换进行推导：第55页，共91页，2023年，2月20日，星期四利用模相等，可得第56页，共91页，2023年，2月20日，星期四正等侧投影变换矩阵为同理：可以计算出正二测投影变换矩阵正等测变换θ=45Φ=35°15´正等测变换θ=45Φ=19°28´第57页，共91页，2023年，2月20日，星期四3．斜平行投影斜平行投影与正平行投影的区别在于投影方向与投影面不垂直。斜平行投影能够将正平行投影的可测量性和正轴测投影的立体效果特性结合起来。比如选择投影面垂直于某个坐标轴，这样，对平行于投影面的物体表面其长度和角度投影后保持不变，可进行测量。同时，它还可以显示一些其面。第58页，共91页，2023年，2月20日，星期四斜平行投影的倾斜度可以由两个角来描述，如右图所示。此图中投影面选择垂直于Z坐标轴，且过原点。下面我们推导斜平行投影的变换矩阵。空间一点P(x,y,z）投影到投影面上的位置是(x′,y′,0），它的正投影坐标是(x,y,0）。从点(x,y,z）到点(x′,y′,0）的斜投影线与点(x′,y′,0）到点(x,y,0）的连线构成夹角α，而此连线与投影面水平方向构成夹角β。记点(x′,y′,0）到点(x,y,0）的连线长度为L，则有：L=z*ctgα投影方向空间点投影点投影面的正投影点L第59页，共91页，2023年，2月20日，星期四从图中可以直接得出斜投影的坐标是：于是，斜平行投影的投影变换矩阵为：第60页，共91页，2023年，2月20日，星期四常用的两种斜平行投影是斜等测和斜二测。当ctgα=1，即投影方向与投影面成α=45°角时，得到的是斜等测投影。这时，和投影面垂直的任何直线段，其投影的长度不变。当tgα=2（α≈63.4°）时，得到的是斜二测投影，这时，和投影面垂直的任何直线，其投影的长度为原来的一半。而角β通常选择为30°或45°，这将显示出一物体的前面、侧面和顶面（或底面）的立体视图。下图表示了立方体的斜二测投影的例子。从图中可以看出，这种图形的真实感较强。第61页，共91页，2023年，2月20日，星期四4透视投影透视投影不同于平行投影，它必须设定投影中心。投影中心也称为视点，它相当于观察者的眼睛。投影面位于投影中心与需要投影的三维图形之间，将三维图形上各点与投影中心相连所得到的投影线与投影面相交，其交点就是三维图形的透视投影。第62页，共91页，2023年，2月20日，星期四简单的一点透视投影变换P0： 视点S平面： 投影面，屏幕画面点Qw的透视：P0Qw与平面S的交点QwSYXZOP0当投影面与某轴垂直时为一点透视；当投影面平行于某坐标轴，但与另外两轴不垂直时为二点透视；否则为三点透视Z2Z1Qw(Xw,Yw,Zw)Qs(Xs,Ys)XsYsQs第63页，共91页，2023年，2月20日，星期四透视投影

P’xzy

P为Q的投影CQPC’Q’P’zxC’Q’zczxcx

在oxz平面上的正投影xPO

在坐标系oxyz中来讨论投影，假设投影平面就是z=0。(一点透视)

设视点C(xc,yc,zc)，空间中任一点Q(x,y,z)在z=0平面上的投影为P(xp,yp,zp)。设Q、P、C在oxz平面上的正投影为Q’，P’和C’，可得透视投影的计算公式第64页，共91页，2023年，2月20日，星期四整理后便有

xp=xc+(x-xc)zc/(zc-z)同理可得

yp=yc+(y-yc)zc/(zc-z)这两式便是透视投影的计算公式。把空间上任一点（x,y,z）的坐标代入上式便可求出在z=0平面的投影点P（xp,yp）。透视投影(Perspectiveprojection)计算公式。(xp-xc)/zc=(x-xc)/(zc-z)P’zxC’Q’zczxcxxP当投影面位于视点和投影点之间同样可以得到上述公式第65页，共91页，2023年，2月20日，星期四则变换矩阵为T=第66页，共91页，2023年，2月20日，星期四当三维图形用透视变换投影到投影面上，图形中与投影面平行的平行线投影后仍保持平行。不与投影面平行的任一组平行线投影后收敛于一点，此点称为灭点。每一组平行线都有其不同的灭点。一般说来，三维图形中有多少组平行线就有多少个灭点。平行于某一坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点又称作主灭点。因为有X、Y和Z三个坐标轴，所以主灭点最多有三个。当某个坐标轴与投影面平行时，则该坐标轴方向的平行线在投影面上的投影仍保持平行，不形成灭点。投影中主灭点数目由与投影面相交的坐标轴数目来决定，并据此将透视投影分类为一点、二点或三点透视。一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行；两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行；三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。第67页，共91页，2023年，2月20日，星期四第68页，共91页，2023年，2月20日，星期四第69页，共91页，2023年，2月20日，星期四4.4窗口到视区的转换窗口与剪裁第70页，共91页，2023年，2月20日，星期四二维图形输出流水线二维变换二维裁剪规范化变换/窗口-视区变换工作站变换观察变换图形显示第71页，共91页，2023年，2月20日，星期四用户域是用户定义设计对象的连续无限的二维或三维空间。窗口在用户域中指定的一个区域，用户只能将该区域的图形输出到图形设备上。窗口是用户域的一个子域。窗口一般是矩形区域，可用其左下角点和右上角点坐标来表示。通常窗口的边界与坐标轴平行。窗口可以嵌套。第72页，共91页，2023年，2月20日，星期四屏幕域和视图区屏幕域屏幕域是图形设备上输出图形的最大区域屏幕域是有限的整数域，如分辨率为1024×768的显示器，其屏幕域DC可定义为：

DC∈[0∶1023]×[0∶767]视图区用户在屏幕域内指定的用于显示图形的区域用设备坐标定义，一般定义成矩形，由其左下角点和右上角点坐标来定义一个屏幕可以定义多个视图区，并且视图区可以嵌套第73页，共91页，2023年，2月20日，星期四点的剪裁线段的剪裁第74页，共91页，2023年，2月20日，星期四线段裁剪的基本过程：首先，对于给定的线段，判定它是否完全在裁剪窗口内；如果不是，判定它是否完全在裁剪窗口外。最后，如果我们不能判定一个线段完全在裁剪窗口内或外，则必须与一个或多个窗口边界求交。具体方法：对线段的端点进行“内-外”测试。（1）若线段的两个端点都在窗口内，则保留线段；（2）若线段的两个端点都在窗口任一边界的外侧，则舍弃线段；（3）所有穿过一个和多个窗口边界的线段需进行求交运算。以找出该线段落在窗口区内或窗口边界上的起始点和终止点的坐标。第75页，共91页，2023年，2月20日，星期四100110001010000000100110010001010001第76页，共91页，2023年，2月20日，星期四求出线段两个端点的编码如编码同时是0000，线段可见编码按位与，非0，线段位于窗口的同一侧，线段不可见如上述不满足，则线段必有一个端点在窗口外p1端点p1在那一条边外，求出交点，重复上述步骤。多边形的剪裁视区，窗口到视区的变换窗口，规范化设备坐标，视区转换第77页，共91页，2023年，2月20日，星期四视区，窗口到视区的变换第78页，共91页，2023年，2月20日，星期四(1)把窗口平移(-wxl,-wyl)，使窗口左下角与用户坐标系重合。(2)进行比例变换，x方向和y方向的比例因子分别为(3）再做一次平移变换，平移量为(vxl，vyl)，使之转换成指定的视区。

窗口一视区变换的变换矩阵为第79页，共91页，2023年，2月20日，星期四

规范化设备坐标系110视区viewport规范化设备坐标系规范化设备坐标系：用一个单位正方形定义的一个虚拟显示设备的显示区域，且单位正方形的左下角位于坐标系统的原点。目的与作用：引入一个与显示设备无关的工具描述显示区域。使应用程序与图形设备无关，增强应用程序的可移植性。第80页，共91页，2023年，2月20日，星期四工作站变换HV0工作站视区Workstationviewport设备/图像坐标系工作站变换：将规范化坐标变换为离散设备/图像坐标。它本质上是第二个窗口-视区变换。110工作站窗口规范化设备坐标系屏幕区注:工作站窗口可以是这个视区,也可以是其一部分.第81页，共91页，2023年，2月20日，星期四二维图形输出流水线二维变换二维裁剪规范化变换/窗口-视区变换工作站变换观察变换图形显示第82页，共91页，2023年，2月20日，星期四4.5交互技术交互控制技术定位几何约束橡皮筋拖动交互拾取技术选择选择反馈多重选择菜单技术第83页，共91页，2023年，2月20日，星期四4.6二维几何图形的拼合运算几何图形的方向性A〉0A<0R>0直线：起点到终点+园逆时针为正用R〉0表示a>0(小于1