2022-2023学年河北省石家庄市第四十一中学高二年级下册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省石家庄市第四十一中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．展开后，共有多少项？（

）A．3 B．4 C．7 D．12【答案】D【分析】根据多项式的乘法运算法则即可求解.【详解】根据多项式的乘法运算法则分两步，第一步，在第一个因式中选一项，有种方法；第二步，在第二个因式中选一项，有种方法；根据乘法分步原理可得，展开后共有项，故选：.2．在的展开式中的系数是（

）A． B． C．20 D．15【答案】D【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】由题意，令，则系数为.故选：D3．若函数在处有极值为，则、的值分别为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得出，可求得、的值，再结合极值点的定义检验即可.【详解】因为，则，因为函数在处有极值为，则，解得，此时，，由可得，由可得或，所以，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得极大值，合乎题意.故选：D.4．小张接到4项工作，要在下周一、周二、周三这3天中完成，每天至少完成1项，则不同的安排方式共有（

）A．36种 B．24种 C．18种 D．12种【答案】A【分析】应用分步计数乘法原理，再结合排列组合数即可求出不同的分配方案的种数.【详解】由题意可得，一天完成两项工作，其余两天每天完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种．故选：A．5．函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的导函数，再令求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得.【详解】因为，所以，所以，所以，所以函数，.故选：A6．一个质地均匀的正四面体，四个面分别标以数字1，2，3，4．抛掷该正四面体两次，依次记下它与地面接触的面上的数字．记事件A为“第一次记下的数字为奇数”，事件B为“第二次记下的数字比第一次记下的数字大1”，则下列说法正确的是（

）A． B．事件A与事件B互斥C． D．事件A与事件B相互独立【答案】C【分析】分别求出，，，进行判断即可.【详解】由题意得，，，∵，∴事件A和事件B不相互独立，．故选：C．7．若函数在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出函数的导函数，由分析可得有解，利用即可求得实数的取值范围.【详解】由，可得，恒成立，为开口向上的抛物线，若函数在既有极大值也有极小值，则有解，所以，解得或.故选：B8．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据构造函数，利用函数的奇偶性、单调性比较大小．【详解】令函数，则，因为定义域为的是奇函数，，函数的定义域为，定义域关于原点对称，所以，所以函数为偶函数；当时，因为，即，所以在上为单调递增，，，，因为，所以，根据在上单调递增，所以．即．故选：C．二、多选题9．下列式子正确的有（

）A． B．C． D．，【答案】CD【分析】利用基本初等函数的导数和导数的运算法则，逐一对各选项进行求导判断即可得出结论.【详解】对于选项A，，所以选项A错误；对于选项B，，所以选项B错误.对于选项C，，所以选项C正确；对于选项D，，所以选项D正确；故选：CD.10．如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（

）A．在区间上是增函数B．是的极小值点C．在区间上是减函数，在区间上是增函数D．是的极小值点【答案】BC【分析】根据函数得出导函数的符号，进而得出函数的单调性，再结合函数的极值的定义即可求解.【详解】根据图象知当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故A错误，故C正确；当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确；当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误.故选：BC.11．有甲、乙、丙等6名同学，则说法正确的是（

）A．6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480B．6人站成两排，且甲乙不在同一排，则不同的站法种数为432C．6名同学分配到工厂参加实践活动，每个工厂2人，则有90种不同的安排方法D．6名同学分别去三个展馆参观，则不同的方法有种【答案】ABC【分析】A选项，利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法；B选项，利用倍缩法求解；C选项，先进行平均分组，再进行全排列，得到答案；D选项，分步乘法计数原理.【详解】A选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有种排法，再将甲、乙两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，故A正确；B选项，甲、乙在前、后排各有种方法，其余4人全排列，，故B正确；C选项，6名同学平均分成三组到工厂参观（每个工厂都有人），则有种不同的安排方法，故C正确；D选项，6名同学分别去3个展馆参观，分6步，每步3种不同方法，共有种方法，故D不正确.故选：ABC.12．展开式中，下列说法正确的有（

）A．偶数项二项式系数和为 B．奇数项的系数和为C．第8项与第9项的二项式系数相等 D．第9项的系数最大【答案】BC【分析】利用二项式定理展开式的性质判断AC，通过赋值法奇数项的系数和判断B，列不等式求最大项的系数，判断D.【详解】对于A：展开式奇数项二项式系数之和，故A错误；对于B：设，令得，令得，两式相加得，故B正确；对于C：第8项二项式系数为，第9项二项式系数为，，故C正确；D：二项展开式的通项为，由，即，即，得，所以r＝10，即第11项系数最大，故D错误.故选：BC.三、填空题13．在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有_________种（用数字作答）【答案】240【分析】直接利用分步乘法计数原理即可求出结果.【详解】由分步乘法计数原理得种,故答案为：240.14．展开式中的系数为________【答案】45【分析】利用组合数和二项展开式的通项公式即可求出结果.【详解】展开式中：若提供常数项2，则提供含有的项，可得展开式中的系数，若（2）提供项，则提供含有的项，可得展开式中的系数，由通项公式，可知当时，可得展开式中的系数为，当时，可得展开式中的系数为，展开式中的系数为：30+15＝45．故答案为：45.15．随机变量的分布列如下表所示：12340.10.3则_____【答案】0.3##【分析】根据给定的数表，利用分布列的性质求出m，再利用互斥事件的概率公式计算作答.【详解】由分布列的性质得，，解得，所以.故答案为：0.316．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为二项式的展开式的各项系数之和．现从中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为__________．【答案】【分析】先求得二项式的展开式的各项系数之和为.然后在一共个数字中任选两个共有种，和为的只有两种情况，由此得出该图形为“和谐图形”的概率.【详解】令代入得，即二项式的展开式的各项系数之和为.从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字方法有：共种，其中和为的有共两种，所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率为，故答案为：四、解答题17．现有0，1，2，3，4，5六个数字(1)可组成多少个没有重复数字的偶数；(2)组成没有重复数字的五位数，从小到大排列21350是第多少个数字？【答案】(1)848(2)155【分析】（1）先对组成几位数讨论，再对末位元素进行分类讨论，再利用排列、组合即可求出结果；（2）通过对万位、千位、百位、十位元素进行分类讨论，再利用排列、组合即可求出结果；【详解】（1）当组成的数是一位数时，一位偶数有个；当组成的数是二位数时，可分两类：末位是0时有个，末位是2或4时有个，二位偶数共有13个；当组成的数是三位数时，可分两类：末位是0时有个，末位是2或4时有个，三位偶数共有52个；当组成的数是四位数时，可分两类：末位是0时有个，末位是2或4时有个，四位偶数共有156个；当组成的数是五位数时，可分两类：末位是0时有个，末位是2或4时有个，五位偶数共有312个；当组成的数是六位数时，可分两类：末位是0时有个，末位是2或4时有个，六位偶数共有312个；综上，组成的没有重复数字的偶数的个数为.（2）万位是1的五位数有个,万位是2、千位为0的五位数有个,万位是2、千位为1、百位为0的五位数有个,万位是2、千位为1、百位为3、十位为0或4的五位数有个,因此，在21350的前面共有154个数字，所以21350是第155个数.18．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出与；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解.【详解】解：（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”，则，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为.（2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为.19．对于的展开式，若所有二项式系数的和为512(1)求n；(2)展开式的常数项是第几项；(3)求展开式有多少个有理项？并写出升幂排列的第二个有理项.【答案】(1)9(2)第7项(3)5个，【分析】（1）直接利用二项展开式的二项系数和即可求得结果；（2）利用二项展开式通项公式，即可求出常数项为第七项；（3）先利用二项展开式通项公式，再由，得出结果.【详解】（1）由已知得，所以.（2）因为的展开式的通项为：，其中，由，得，即时为常数项，常数项为第7项.（3）由二项展开式的通项公式，当或2或4或6或8时，展开式的项为有理项，共5个，升幂排列的第二个有理项为.20．若直线是曲线的切线，(1)求；(2)当，求的最大值与最小值.【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为.【分析】（1）设切点为，求得且，写出切线方程，结合题意列出方程组，即可求解；（2）由题意得到，求得，得出函数的单调性和最小值，结合，再求得最大值，即可求解.【详解】（1）由函数，可得，设切点为，可得且，所以曲线在点的处的切线方程为，又因为是曲线的切线，可得，解得；（2）因为，所以，令，解得；令，解得，又因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为，又由，，可得，所以最大值为，故最大值为，最小值为.21．某花店每天以每枝5元的价格从农场进购若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．(1)若花店一天购进18枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，）的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n16171819202122频数10201616151310①若花店一天购进18枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进18枝或19枝玫瑰花，你认为应购进18枝还是19枝？请说明理由．【答案】(1)(2)①数学期望86；方差；②花店一天应购进19枝玫瑰花【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝赔本5元，即可建立分段函数；（2）①分别求出，，时，的取值，对应表中频率得出对应的概率，得出分布列代入期望与方差公式即可求解；②同理求出一天购进19枝玫瑰花的利润的期望，两者比较即可.【详解】（1）当天需求量时，利润，当天需求量时，利润，所以当天的利润y关于当天需求量n（单位：枝，）的函数解析式为：.（2）①时，，；时，，；时，，；所以X的分布列为：7080900.10.20.7所以期望，所以方差；②由①知当一天购进18枝玫瑰花时，当天的利润的数学期望为，设当一天购进19枝玫瑰花时，表示当天的利润，时，，；时，，；时，，；时，，；所以.所以，所以花店一天应购进19枝玫瑰花.【点睛】关键点点睛：离散型随机变量的分布列，数学期望与方差的求法，古典概型等基础知识点，需要考生有较强的分析转化与运算的求解能力.22．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论求解即可；（2）参变分离，构造函数，求导研究函数图像的单调性及极值，最值情况，求出的取值范围.【详解】（1）解：函数的定义域为，，所以，当时，恒成立，在上单调递增；当时，得，

故当时，，单调递减，

当时，，单调递增，综上，当时，在