2022-2023学年四川省仁寿校南校区高二年级下册学期3月月考数学（理）试题【含答案】

2022-2023学年四川省仁寿校南校区高二下学期3月月考数学（理）试题一、单选题1．设命题，则的否定为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.【详解】命题，则的否定为：.故选：B【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．2．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品任意取出3件，设表示事件“3件产品全不是次品”，表示事件“3件产品全是次品”，表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是（

）A．与互斥B．与互斥C．、、任意两个事件均互斥D．、、任意两个事件均不互斥【答案】B【分析】根据题意，分别写出事件、、的可能情况，再结合互斥事件的概念判断即可.【详解】解：根据题意，选出的三件产品的可能情况为：3件全是次品；2件次品，1件正品；1件次品，2件正品；3件全是正品.其中，事件为：3件全是正品；事件为：3件全是次品；事件为：3件全是次品；2件次品，1件正品；1件次品，2件正品.所以，事件与事件不可能同时发生，是互斥事件；事件与事件不可能同时发生，是互斥事件；当事件发生时，事件一定发生，所以事件与事件不是互斥事件，故选：B.3．若，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由充分条件和必要条件的定义进行分析即可【详解】解：当时，由基本不等式可得，即，而当时，中有可能有负数，如满足，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选：A4．某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为，，新平均分和新方差分别为，，若此同学的得分恰好为，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】利用平均数和方差的公式即可求解.【详解】设这个班有n个同学，分数分别是，，，…，，第i个同学的成绩没录入，第一次计算时，总分是，方差；第二次计算时，，方差，故.故选：C.5．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．16种 B．18种 C．24种 D．36种【答案】B【分析】确定完成事件的方法：甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，由计数原理可得．【详解】解：由题意知，甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列，故台晚会节目演出顺序的编排方案共有有＝18种.故选：B.6．设命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示焦点在轴上的双曲线，若为真，则实数的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据椭圆定义求出命题为真时的范围，根据双曲线定义求出命题为真时的范围，再根据命题和命题均为真求解即可.【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，即命题为真时，；方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，即命题为真时，；若为真，则命题和命题均为真，，故选：A.7．在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意得圆的圆心为，半径为.要使直线与圆相交，则圆心到直线的距离，解得.由几何概型的概率公式，得在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为.故选A.点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.8．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概型概率公式即可求得抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率.【详解】记“抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”为事件A，则事件A共包含以下10种情况：，而有放回的连续抽取2张卡片共有（种）不同情况，则故选：D9．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为()

A．15 B．105 C．245 D．945【答案】B【详解】试题分析：采用列举法列出运算各步结果结束算法，输出，故选B．【解析】算法与程序框图．10．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意，求得两面涂有油漆的小正方体个数，根据古典概型概率公式，即可得答案.【详解】一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个同样大小的小正方体，其中满足两面漆有油漆的小正方体有12×8=96个所以从中随机地取出一个小正方体，其两面漆有油漆的概率故选：D11．四色定理（Fourcolortheorem）又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理．现某校数学兴趣小组给一个底面边长互不相等的直四棱柱容器的侧面和下底面染色，提出如下的“四色问题”：要求相邻两个面不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方案有（

）A．18种 B．36种 C．48种 D．72种【答案】D【分析】涂色方案可分为两类，第一类只使用3种颜色的涂色方案，第二类使用4种颜色的涂色方案，再利用分步乘法原理计算各类的方法数，并结合分类加法原理求出总的方法数.【详解】涂色方案可分为两类，第一类只使用3种颜色的涂色方案，第二类使用4种颜色的涂色方案，只使用3种颜色的涂色方案有种，使用4种颜色的涂色方案种，所以不同的染色方案有种．故选D．12．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由试验结果知对0～1之间的均匀随机数，满足，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值．【详解】解：根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，对应区域为边长为的正方形，其面积为，若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，其面积；则有，解得故选：．【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题.线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.二、填空题13．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”依分层抽样的方法，则北乡共有______人．【答案】8100【解析】先设出北乡人，再根据分层抽样的方法列出式子，即可求解.【详解】解：设北乡有人，根据题意得：，解得：，故北乡共有人.故答案为：.14．6人排成一排照相，其中甲、乙两人必须排在中间两个位置，有_________种不同的排法．【答案】48【分析】先将甲、乙两人排在中间的两个位置，再将剩下的4人排在剩余的4个位置即可.【详解】先将甲、乙两人排在中间的两个位置，有种排法，然后剩下的4人排在剩余的4个位置，有，所以由分步乘法原理可知共有种不同的排法，故答案为：4815．已知P，E，F,G都在球面C上，且P在所在平面外，，，，，在球C内任取一点，则该点落在三棱锥P﹣EFG内的概率为_____．【答案】【分析】由题意画出图形，求出三棱锥外接球的半径，再分别求出三棱锥及其外接球的体积，由测度比为体积比得答案．【详解】如图，在中，由已知可得，，可得，设的外接圆的半径为r，由，可得，再设的外心为，过作底面EGF的垂线，且使，连接OE，则，OE为三棱锥的外接球的半径，则；，由测度比为体积比，可得在球C内任取一点，则该点落在三棱锥P﹣EFG内的概率为．故答案为：．【点精】本题考查球内接多面体及其体积、考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．16．给出下列四个命题:①命题“”为真，则实数的范围是；②设，则“”是“”的充要条件；③关于的方程，存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④函数的定义域为D，若满足：（1）在D内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”．若函数是“梦想函数”，则t的取值范围是；其中真命题有_________（填序号）【答案】②③【分析】分和两种情况讨论，即可判断①，根据充分条件、必要条件及函数的单调性判断②，令直接求出方程的根，即可判断③，根据复合函数单调性的关系先判断函数是单调递增函数，然后根据值域关系建立方程，然后转化为方程根的个数问题即可判断④．【详解】对于①：命题“”为真，当时恒成立，当时则，解得，综上可得实数的范围是，故①错误；对于②：设，与均为上的增函数，为增函数，，，即，，充分性成立，若，则，，则，必要性成立，故，，则“”是“”的充要条件，故②正确；对于③：方程，可化为，当时，，解得或，即，，，解得，，，故方程恰有个不同的实根，故③正确；对于④：设，则，当时，为增函数，也是增函数，则为增函数，当时，为减函数，也是减函数，则为增函数，综上可得：为增函数，即在内是单调函数．是单调递增函数，若为“梦想函数”，则有，即方程有两个不同的正数解，即可得有两个不同的正数解，则有，即，可得，即的取值范围为，故④错误.故答案为：②③三、解答题17．某校早上8:10开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30～8:00之间到校，且每人在该时间段内到校时刻是等可能的，求两人到校时刻相差10分钟以上的概率.【答案】【分析】根据几何概型，利用面积的比值可求概率.【详解】设小张和小王到校时刻分别为，且.两人到校时刻相差10分钟等价于，且.模型符合几何概型的定义，由图可知：所求事件的概率为.18．某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入.现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校.现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流（每名同学被选到的可能性相同).(1)求从这6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率；(2)求从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用古典概型概率公式即可求得从这6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率；（2）利用古典概型概率公式即可求得从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率.【详解】（1）记“从这6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学”为事件A，则，则从这6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率为（2）记“从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校”为事件B，则，则从这6名同学中选出的2名同学代表来自不同的初中学校的概率为19．已知命题:“，不等式”是真命题.(1)求实数的取值集合；(2)设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)；（2）【分析】（1）根据题意将问题转化为在时恒成立，再求得最小值即可；（2）解不等式得集合，故根据题意得：是的真子集，再根据集合关系求解即可.【详解】解：（1）命题：，都有不等式成立是真命题，∴，即在时恒成立，又当时，∴，即；（2）不等式，故∵是的充分不必要条件，则是的真子集，∴，解得，故实数a的取值范围为.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．20．某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量，（，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为元.(1)求商店日利润关于需求量的函数表达式；(2)估计日利润在区间内的概率.【答案】(1)(2)0.54【分析】（1）根据题意列出分段函数解析式，即得答案；（2）判断的单调性，确定日利润在区间内的概率即为求海鲜需求量在区间的频率，结合频率分布直方图可得答案.【详解】（1）商店的日利润关于需求量的函数表达式为：,化简得：.（2）由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；由于时，,故在区间上单调递增，令，得；令，得；故求日利润在区间内的概率即求海鲜需求量在区间的频率，即为；21．2020年是具有里程碑意义的一年我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年．截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的下降至2018年的；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤．某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．(1)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，请根据频率分布直方图，估计该地区2018年家庭人均年纯收入的平均数；(2)2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：月份