数学第一章-12-123-空间几何体的直观图

[数学(shùxué)]第一章--12--123--空间几何体的直观图第一页，共43页。第二页，共43页。第三页，共43页。第四页，共43页。美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物(shíwù)在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要局部的位置关系和度量关系．第五页，共43页。问题1：在画实物图的平面图形时，其中的直角在图中一定画成直角吗？提示：为了直观，不一定．问题2：正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时应画成什么？为什么？提示：平行四边形、扁圆形，为增加(zēngjiā)直观性．问题3：这种作图方法与在直角坐标系中画平面图的方法相同吗？提示：不相同．第六页，共43页。1．用斜二测画法画平面图形的步骤(1)在图形中取互相(hùxiāng)垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使，它们确定的平面表示水平面．∠x′O′y′＝45°(或135°)第七页，共43页。(2)图形中平行于x轴或y轴的线段(xiànduàn)，在直观图中分别画成于x′轴或y′轴的线段(xiànduàn)．(3)图形中平行于x轴的线段(xiànduàn)，在直观图中，平行于y轴的线段(xiànduàn)，．平行(píngxíng)保持(bǎochí)原长度不变长度变为原来的一半第八页，共43页。2．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可．(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出(与原图(yuántú)高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图．(3)擦去辅助线，用虚线表示．高线被遮线第九页，共43页。1．画水平放置的平面图形(túxíng)的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．2．用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角化45°(或135°)．第十页，共43页。第十一页，共43页。第十二页，共43页。[例1]画出水平放置的正五边形的直观图．[思路点拨]首先应在原图形中，根据图形的对称性建立平面直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)系，再按照斜二测画法画出直观图．第十三页，共43页。[精解详析](1)取正五边形的中心(zhōngxīn)O为原点，对称轴FA所在直线为y轴，过O与y轴垂直的直线为x轴，建立如图①所示的直角坐标系，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.第十四页，共43页。第十五页，共43页。第十六页，共43页。[一点通](1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(xiànduàn)(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段(xiànduàn)通过与坐标轴平行的线段(xiànduàn)确定它的两个端点，然后连接成线段(xiànduàn)．第十七页，共43页。1．画出边长为1的正三角形(zhènɡsānjiǎoxínɡ)的直观图．解：如下图，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应(duìyìng)的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.第十八页，共43页。第十九页，共43页。第二十页，共43页。[例2]2011年10月7日，我国用长征系列火箭成功把法国W3C通信卫星送入预定轨道．在火箭发射时，要预先搭建发射平台，如下图，其主体结构(jiégòu)为长方体，试画出长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图．第二十一页，共43页。[思路点拨(diǎnbo)]用斜二测画法作空间几何体的直观图，建立恰当坐标系十分关键．在长方体中常选取一顶点为原点，过该顶点的三条棱为轴建系；也可以底面矩形的对角线交点为原点建系．第二十二页，共43页。[精解详析](1)画轴(huàzhóu)．如以下图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.第二十三页，共43页。第二十四页，共43页。(3)画侧棱．过A、B、C、D各点分别(fēnbié)作z轴的平行线，并在这些平行线上分别(fēnbié)截取2cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的局部改为虚线)，就得到长方体的直观图，如上图②.第二十五页，共43页。[一点通](1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住(jìzhù)它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向．(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．第二十六页，共43页。2．如下(rúxià)图，由以下几何体的三视图画出它的直观图．第二十七页，共43页。解：(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.(3)画侧棱．过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取(jiéqǔ)AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正视图的高．第二十八页，共43页。(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉(qùdiào)辅助线，改被挡局部为虚线，如图②即是三视图表示的几何体的直观图．第二十九页，共43页。第三十页，共43页。第三十一页，共43页。[精解详析]如图，建立直角坐标(zhíjiǎozuòbiāo)系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.(2分)第三十二页，共43页。第三十三页，共43页。[一点通]直观图复原平面图形时，要注意坐标系变化(biànhuà)前后变化(biànhuà)的量与不变的量，计算时要结合两个坐标系确定数据．第三十四页，共43页。3.△ABC的直观图如下(rúxià)图，那么原△ABC的面积为________．答案(dáàn)：9第三十五页，共43页。4．如下图，一个水平放置的平面图形(túxíng)的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，那么这个平面图形(túxíng)的面积是 ()第三十六页，共43页。解析(jiěxī)：∵A′D′∥B′C′，∴AD∥BC.∵∠A′B′C′＝45°，∴∠ABC＝90°.∴AB⊥BC.∴四边形ABCD是直角梯形，如下图．第三十七页，共43页。答案(dáàn)：D第三十八页，共43页。1．画空间几何体的直观图，要先画底面，然后画侧棱，整理成图．2．直观图与实物图相比较，有“三不变，两变〞，“三不变〞是指直线的平行性、点的共线性、线的共点性不变；“两变〞是指直观图与原图中的角的大小(dàxiǎo)，线段的长度有变化．第三十九页，共43页。3．三视