高考数学大题专练之概率统计

概率统计专练(A组)

L甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获

胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空。比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局

时停止。设在每局中参赛者胜负的概率均为2,且各局胜负相互独立。

求：(I)打满3局比赛还未停止的概率；

(n)比赛停止时已打局数£的分别列与期望EL

2、已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现在从甲、乙

两个盒内各任取2个球.

(I)求取出的4个球均为黑色球的概率；

(II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

(III)设之为取出的4个球中红球的个数，求£的分布列和数学期望.

3、A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2

只服用A,另2只服用B,然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的

2£

多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为5,服用B有效的概率为万。

(1)求一个试验组为甲类组的概率；

(2)观察3个试验组，用之表示这3个试验组中甲类组的个数，求W的分布列和数学期望。

甲、乙两人各…射击一次，击中目标_的概率分别是工2和已3假设两人一射击是_否击中目_标，一相互之间没有影响；

34

每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.

(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；

(2)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击,问：乙怡好射击4次后，被中止射击的概率是多少？

(3)设甲连续射击3次，用摄示甲击中目标时射击的次数，求W的数学期望氏.(结果可以用分数表示

5、

（2007•安徽）在医学生物学试嗡中，经常以果蝇作为试脸对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入

了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一

只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以马表示笼内还剩下的果蝇的只数.

（I）写出马的分布列（不要求导出计算过程）和数学期望E专；

（II）求概率P（I.

（2005•浙江）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是上从B中摸出

一个红球的概率为P.

（I）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止.

（i）求恰好摸5次停止的概率；

（ii）记5次之内（含5次）摸到红球的次数为匕，求随机变量匕的分布率及数学期望EE.

（II）若A、B两个袋子中的球数之比为12,将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是|

求P的值.

7、

某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)。该校合唱团共有100名学

生，他们参加活动的次数统计如图所示。

t参加人数

50-----------------.

40-----------------.-------M

10一一■活.次数

123

(1)求合唱团学生参加活动的人均次数；

(2)从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率。

(3)从合唱团中任选两名学生，用£表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量W的分布列及数学

期望E£

概率统计专练(B组)

1,现从3道选择题和2道填空题中任选2题.

(I)求选出的2题都是选择题的概率；

(II)求选出的两题中至少1题是选择题的概率.(热身题)

2、先后随机投掷2枚正方体骰子，其中X表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数.

(I)求点P(x,y)在直线y=x-\上的概率；

(II)求点P(x,y)满足V<4x的概率.

3、为了解某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重(单位：千克)情况，将所得的数据整理后，画出了频

率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3,其中第2小组的频数为12。

(1)求该校报考飞行员的总人数；

(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中任选三人，设X表示体重超

过60千克的学生人数，求X的分布列和数学期望。

1频率

0.0B

505560657075体血

4、如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中

甲组乙组

的数学成绩.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以。表示.9787

已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同.669a35

（1）求a的值；图

（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；

（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学

成绩之差的绝对值为X,求随机变量X的分布列和均值（数学期望）.

5、某学校为调查高三年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布

直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））.已知图（1）中身高在170~175cm的男生人

数有16人.

图（1）图（2）

（I）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？

（II）根据频率分布直方图，完成下列的2x2列联表，并判断能有多大（百分几）的把握认为“身高与

性别有关”？

>170cm<170cm总计

男生身高

女生身高

总计

(Ill)在上述80名学生中，从身高在170〜175cm之间的学生中按男、女性别分层抽样的方法，抽出5

人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率.

参考公式：心…―?：叱)

参考数据：

2

P(K>k0)0.0250.0100.0050.001

k。5.0246.6357.87910.828

6、对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加

社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如卜一：

分组频数频率

[10,15)mP

[15,20)24n

[20,25)40.1

[25,30)20.05

合计M1

(I)求出表中M,p及图中a的值；

(II)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间［10,15)内的人数；

(III)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数

在区间［25,30)内的概率.

7、某车间在两天内，每天生产10件某产品，其中第…天、第二天分别生产出了1件、2件次品.而质检部门

每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.

(I)求第一天产品通过检查的概率；

(II)求两天全部通过的概率.

8、某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月

1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日

温差X(℃)101113128

发芽数y(颗)2325302616

(I)从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m,n,求事件“m,〃均小于25”的概

率；

(II)请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程亍=菽+心

(ITD若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回

归方程是可靠的，试问(II)所得的线性回归方程是否可靠？

__

(参考公式：回归直线方程式？=6x+2,其中6=上---------,a-y-bx)

tx^-nx2

<=1

9、有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4.

(I)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若

数字相同则为平局)，求甲获胜的概率；

(11)摸球方法与(I)同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样

规定公平吗？

10、甲乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面

朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。

(I)设(i,j)表示甲乙抽到的牌的数字,(如甲抽到红桃2,乙抽到红桃3,记为(2,3)),请写出甲乙二

人抽到的牌的所有情况；

(n)若甲抽到红桃3,则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？

(m)甲乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理

由。

11,某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如卜一,

据此解答如下问题:

茎叶

568

62335689

71223456789

8

9

5060708090100分数

(1)求分数在［50,60)的频率及全班人数；

(2)求分数在［80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中［80,90)间的矩形的高；

(3)若要从分数在［80,100］之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分

数在［90,100］之间的概率.

12、为加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，郑州市教育局举办了全市中学生创

新知识竞赛.某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为

整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：

分组频数频率

一60.5—70.5a0.26

二70.5〜80.515C

三80.5〜90.5180.36

四90.5-100.5bd

合计50e

⑴若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000,001,002,…，199,试写出第二组第一

位学生的编号;

(II)求出a,b,c,d,e的值(直接写出结果)，并作出频率分布直方图;

(HI)若成绩在85.5〜95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人?

13、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫

组织设定的最宽限值，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/

立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标.

某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监

测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)，若从这6天的数据中随机抽出2天.

(I)求恰有一天空气质量超标的概率；

(II)求至多有一天空气质量超标的概率.

PM2.5日均值(微克/立方米)

33

481

793

97

14、中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20〜80mg/100ml（不含80）之间，属

于酒后贺车；在80mg"00ml（含80）以上时，属醉酒贺车，对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给

予不同程度的处罚.

某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒贺

车的驾驶员20人，下图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；

（2）从血液酒精浓度在［70,90）范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率.

15、在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个

小球被取出的可能性相等。

（1）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；

（2）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.

16、为了解学生喜欢数学是否与性别有关，对50个学生进行了问卷调查得到了如下的列联表:

喜欢数学不喜欢数学合计

男生5

女生10

合计50

3

己知在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢数学的学生的概率为g.

（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；

（2）是否有99.5%的把握认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由;

下面的临界值表供参考：

P(K22k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(参考公式：K2=---------"上一把Z--------,其中“=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

17、某高校在2012年的自主招生考试成.绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布

表如下左图所示.

（I）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；

（II）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进

入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（III）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生.接受A考官的面试，求：第4组至少

有一名学生被考官A面试的概率？

期号SI率

第1组[I6O.16S)s0.050

第2粗[IM,170)①a150

第3组1170,175)却②

第4组[I7SJ8O)20a200

«Sffi[180,185]10aloo

100LOO

频率分布发

答案

A组

1、甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获

胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空。I：匕赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局

J

时停止。设在每局中参赛者胜负的概率均为2,且各局胜负相互独立。

求：（I）打满3局比赛还未停止的概率；

（n）比赛停止时已打局数£的分别列与期望EE。

解：令及,弓分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜，

（I）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，

打满3局比赛还未停止的概率为产（4©2&）+尸（802区）=g+}=（；

（n）随勺所有可能值为2,3,4,5,6,

目产©=2）=尸（44）+产出遇）=3+，

产«=3）=产（4C2c3）+尸（用C2G）=5+5=（,

%=4）=产（4G4&）+产（8C）=』+』=：，

22o

年=5）=尸（4弓与44）+正3c2H3&&）=』+』—，

2216

年=6）=P（AC应AG）+产物c应及Cs）=U=士，

2216

故有分布列

23456

2_1111

P

5481616

2x-+3x-+4x-+5x—+6x—=—（局）。

248161616

2、已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现在从甲、乙

两个盒内各任取2个球.

（I）求取出的4个球均为黑色球的概率；

（II）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

(Ill)设&为取出的4个球中红球的个数，求£的分布列和数学期望.

解：(I)设"从甲盒内取出的2个球均黑球"为事件A,

”从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B.

・••事件A,B相互独立,且

P2r2

P(A)P(B)=~4=，.

匕b6

.・取出的4个球均为黑球的概率为

P(AB)=P(A)-P(B)=ix-14.

d»33

(II)癣：设"从甲盒内取出的2个球均为黑球;从乙盒内取出的2个球中，1个匙工红，1个是黑球"为事

件C,

”从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球"为事件D.

•.事件C,D互斥,且

,C；C1

P(C)二号一2,

C6b4%

.・弟出的4个球中怡有1个红球的概率为

P(C+D)=P(C)+P(D)=V+1q.

(HI)解：W可能的取值为0,1,2,3.

由(I),(H)得

P(E=0)=4-P(&=1)=77.

51b

C3X-X

又P(g=3)=

碎碎一而‘

从而P(W=2)=l-P(a=0)-P(E)-P(E=3)喂

W的分布列为

0123

31

PL2

5151030

就E望EPOXt+IX击2X帝

3、A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2

只服用A,另2只服用B,然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的

21

多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为5,服用B有效的概率为万。

(1)求一个试验组为甲类组的概率;

(2)观察3个试验组，用£表示这3个试验组中甲类组的个数，求W的分布列和数学期望。

解：(1)设Aj表示事件”一个试睑组中，服用A有效的小白鼠有识",i=0,1,2,

Bj表示事件"一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只",i=0,1,2

124

依题意有尸(j1)=2X[X5=]

224

PW=—X—=—

339

111

产(鼎)=—X—=—

224

c111

产⑸=

222

所求的概率为

p=F(稣4)+P(BO4,)+尸(瓦•4)

141414

=X—+-X—+-X-

494929

_4,

——I

9

(2)砥勺可能值为0,1,2,3且6~B(3,为

9

*。)书啮

产&=l)=Cx?xg)2=^

P(^=2)=C^X(1)2X-=—

399243

P(^3)=(-)3=—

=9729

砥勺分布列为

0123

1251008064

P729243243729

数字期望

44

E&=3x—=—,

93

4、

_23_______

甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是白和士假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；

34

每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.

(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；

(2)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后,被中止射击的概率是多少？

(3)设甲连续射击3次，用士表示甲击中目标时射击的次数，求屈勺数学期望EL(结果可以用分数表示

（1）记"甲连续射击3次,至少1次未击中目标”为事件Ai,日题急，射击3次,相当于3次独立重复t式验

，故P(Ai)=1-P(/)=l-(-)3=—

Ai327

士012\3

16128

P

27272727

答:甲射击3次，至少1次耒击中目标的概率为上；...（4分）

27

（2）记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A2,田于各事件相互独立，

-A、113111333

故P(Ao)=-x-x-x-+-x-x-x-=一,

4444444464

答：乙桧好射击4次后，被中止射壬的概率是巨•…(8分)

64

(3)根据题意M民从二项分布，E±=3X2=2…(12分)

3

(3)方法二:p(5=O)=CO3-(-)3=—P«=l)=C13-(-)*(-)2=—P«=2)=C23-(-)2*(-)1=—P«=D=

32733273327

C33-(-)3-(-)0=—

3327

,-£<=0xA+1X+2xLi+3x=2...(12分)

27272727

说明：（1）,（2）两问没有文字说明分别扣（1分），没有答，分别扣（1分）.

篱（3）问方法对..算错数的扣（2分）

5、

（2007•安徽）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入

了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一

只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以号表示笼内还剩下的果蝇的只数.

（I）写出年的分布列（不要求写出计算过程）和数学期望

（II）求概率P（玉二Eg）.

【分析】（I）由题意知以名表示笼内还剩下的果蝇的只数，名的可能取值是0，1，2,3,4,5,6,结合变

量对应的事件马出变量的概率，写出分布列，做出期望.

（II）根据上一问做出的期望值，知道概率P（《去Eg）就是求概率P妾2）,在上一间所做的

分布列中，变量大干等干2包括5种情况，这五种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果.

【解答】解：（I）由题意如以W表示茏内还剩下的果蝇的只数，V的可能取值是0，1，2,3,4,5,6

得到V的分布列为:

g0123456

7654321

P

28282828282828

2

・•・数学期望为E§=—(1X6+2X5+3X4)=2.

5+4+3+2+l_15

(II)所求的概率为P(g)=P(§》2)=

28―诋

【点评】本题主要考查等可能条件下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算

，考查分析问题及解决实际问题的能力.

6、

(2005•浙江)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是右从B中摸出

一个红球的概率为P.

(I)从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止.

(i)求恰好摸5次停止的概率；

(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为W，求随机变量马的分布率及数学期望Em.

(II)若A、B两个袋子中的球数之比为12,将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是|

,求p的值.

t分析】(I)(i)由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复

试睑，恰好摸5次停止表示第次一定摸到红球，前四次有两次摸到红球，根据独立重复试验公式得到

结果.

(ii)由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止，随机变量§的取值为

0,1,2,3；由n次独立重复试验概率公式得到概率，写出分布列和期望.

(2)由题意知本题是一个古典概型，试睑发生的所有事件是3m,而满足条件的是:加+2叼?，根据古

典概型公式得到关千P的方程，解方程即可.

【解答】解：(I)(i)由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且

40123

事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，恰好摸5次停止表

32808017

示第五次一定摸到红球，前四次有两次摸到红球，根据独立重复试p

243243

验公式得到243243

C42X(1)2X(|)2X|=^

(ii)由题意知从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止

・••随机变量g的取值为口，1，2,3；

kk

由n次独立重复试验概率公式Pn(k)=CnP(1-P)n*,得

P(g=0)工5。*(1铲备,

P(5=1)=。5〃:义储)4=翡

5?x©2x(0

P(5=2)式落第

P(5=3)涉+。沁吟加涉铲需

随机变量V的分布列是

・re-nr32808051131

..xo+—X1+--X2+—x3=—.

随机变量%的分布列是

••・g的数学期望是E"翡xo+箫X|+果X2+^X3=^.

(II)由题意知本题是一个古典概型，

设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球.

试政发生的所有事件是3m,

而满足条件的是:加+2呀＞,

根据古典概型公式得到

l-m+2mp2

J—=5,

3m

.」3

,，P=30-

某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)。该校合唱团共有100名学

生，他们参加活动的次数统计如图所示。

•参加人数

(1)求合唱团学生参加活动的人均次数；

(2)从合唱团中任意选两名学生，

求他们参加活动次数恰好相等的概率。

(3)从合唱团中任选两名学生，

用W表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量£的分布列及数学期望EL

解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40。

(1)该合唱团学生参加活动的人均次数为

1x10+2x50+3x402302

------------------------=-----=2..5

1001000

(2)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数怡好相等的概率为

或+之+1_41

°4990

(3)从合唱团中任选两名学生，记.这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A,"这

两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B,"这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次

活动.为事件C,易知

F(J=1)=产(⑸+P®=+=卫

G)%99

产(《=2)=尸(C)==—

Goo99

4的分布列：

415029

4的数学期望：£^=0x—+ix—+2x—=±

9999993

B组

1、现从3道选择题和2道填空题中任选2题.

(I)求选出的2题都是选择题的概率；

(11)求选出的两题中至少1题是选择题的概率.

解：(I)记“选出两道都是选择题”为事件45题任选2题，共有10种，

其中，都是选择题有3种..Ip(A)=--

10

(H)记“选出1道选择题，1道填空题”为事件B,

P(5)=—=—

1010

_369

所以，至少有1道选择题的概率P=P(A)+P(B)=3+?==

101010

2、先后随机投掷2枚正方体骰子，其中X表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数.

(I)求点P(x,y)在直线y=x-1上的概率;

(II)求点P(x,y)满足y2<4x的概率.

解：(I)每颗骰子出现的点数都有6种情况，

所以基本事件总数为6x6=36个.

记”点P(x,y)在直线y=x-l上”为事件A,A有5个基本事件:

A={(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5)},

(II)记”点P(x,y)满足y2<4x”为事件B,则事件B有17个基本事件:

当x=l时，y=l;当x=2时，y=l,2；

当x=3时，y=l,2,3；当x=4时，y=1,2,3;

17

当x=5时，y=l,2,3,4；当x=6时;y=l,2,3,4.11分:.P(B)=—.

36

3、为了解今年某校高三毕业班准备报考8行员学生的体重(单位：千克)情况，将所得的数据整理后，画出

了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3,其中第2小组的频数为

12。(1)求该校报考飞行员的总人数；

(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中任选三人，设X表示体重超

过60千克的学生人数，求X的分布列和数学期望。

解：(1)设报考飞行员的人数为n,前三小组的频率分别为必、P2、P3,则

p2=2/?(=0.125

<Ps=3pi...3分，解得<“2=0.25...4分

/7,+p2+/?3+(0.0375^0.0125)x5=1=0.375

12

因为,2=625=......3分，所以n=48...6分

n

由(1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为

p=+(0.0375+0.0125)x5=-……8分，所以X~9分

8

53

所以p(X=攵)=C(7)”(1广人,k=0,1,2,3……11分

88

随机变量X的分布列为:

X0123

27135225125

P

512512512

51213分

E2八27,135c225,12515。515、八

则EX=0x---+lx---+2x---+3x---=—(或：EX=3x-=—)•••14分

512512512512888

4、如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组(每小组4人)在期末考试中

甲组乙组

的数学成绩.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以。表示.9787

已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同.669a35

(1)求a的值;图

(2)求乙组四名同学数学成绩的方差；

(3)分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X,求随

机变量X的分布列和均值(数学期望).

(1)解：依题意，得Lx(87+89+96+96)=」x(87+90+a+93+95),…1分

44

解得a=3..............2分

(2)解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为嚏=92.……3分

所以乙组四名同学数学成绩的方差为

122

s=；[(87—92)2+(93_92『+^93_92)+(95-92)]-9......5分

(3)解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4x4=16种可能的结果

这两名同学成绩之差的绝对值X的所有情况如下表：

16161616

2312

p(X=4)=—，P(X=6)=，，P(X=8)=—，P(X=9)=—.

16161616

所以随机变量X的分布列为:

X01234689

12142312

rD

1616161616161616

随机变量X的数学期望为

12

EX=Ox---hlx--F2xF3X--F4XF6X—+8x-+9x—•.........11分

16161616161