角的概念的推广

4.1角的概念的推广教学目标1.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；2.能在0°和360°范围内，找出与此范围外每一个已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角；能写出与任一已知角终边相同的角的集合；3.能树立运动变化的观点，深刻理解推广后的角的概念；4.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物，用对立统一规律提示生活中的空间形式和数量关系．教学建议1．关于角的概念的推广的知识结构本小节内容从角不大于周角的非负角开始扩充到任意角，使角有正角、负角、零角之分。在平面直角坐标系内建立适当的直角坐标系后，根据角的终边在哪一象限，把角划分为四个象限和特殊角等若干类，于是引入了第几象限角和终边相同的角的集合这样两个概念。再由特殊到一般进行归纳总结.2．关于角的概念的推广的重点、难点分析本节的重点是任意角的概念和象限角的概念；难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．可以通过实例帮助建立任意角的概念，如用扳手拧螺母；车轮转动辐条形成的角，特别是钟表的指针转动，因为正角、负角是依据逆时针和顺时针来定义的．建立直角平面坐标系的前提是：角的顶点和坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合．在这个前提下角的终边落在第几象限就称为第几象限的角，若终边落在坐标轴上，称为坐标轴上的角．为了加深对任意角概念的理解，应正确区分锐角、的角、小于的角．凡与角终边相同的角均可以写作．这一条件不可少，它表明了与终边相同的角都相差的整数倍，或者在形成角的过程中，每当射线绕原点转一圈时，就会出现一个与终边相同的角，经常使在之间，求终边相同的角，可用此角去除以，使余数在之间．3．关于角的概念的推广的教法建议（1）建议通过实例帮助建立任意角的概念，如用扳手拧螺母；车轮转动辐条形成的角，特别是钟表的指针转动，因为正角、负角是依据逆时针和顺时针来定义的．也就是用运动的观点来讲述角的概念的推广实际意义．（2）正角与负角的规定是出于习惯，就和正数、负数规定一样。建议讲正角和负角的教学时对比正数、负数进行教学．（3）角的概念推广后，建议引导学生辨别“锐角”、“的角”、“小于的角”、“第一象限角”这些容易混淆的概念．（4）建立平面直角坐标系后，建议在教学过程中要注意正确区分轴正半轴上的角与轴上的角，轴正半轴与轴上的角，防止学生发生混淆．（5）建议在教学过程中要认真对待本节的符号、词语，注意它们的正确使用，给学生树立一个榜样．教学设计示例（一）叶角的概念的垮推广教学目标茧1宿．理解引入污大于伴麻角和负角的降意义．兰2磨．理解并掌底握正、负、旅零角的定义庸．敞3步．掌握终边穗相同角的表堡示法．纷4躲．理解象限亡角的概念、液意义及其表悄示方法．重点难点歌1那．理解并掌涛握正、负、关零角的定义诞．骄2域．掌握终边音相同角的表逆示法．教学用具痕直尺、旷投影仪教学过程艘1怕．设置情境刚设置实由例（为1膀）用扳手拧报螺母（课件妥）；（世2号）跳水运动呈员身体旋转宵（视频）．机说明旋转第饮二周、第三心周课……柴，则形成了宴更大范围内筋的角，这些梅角显然超出础了我们已有着的认识范围浩。本节课将近在已掌握差济～棍津角的范围基针础上，重新完给出角的定功义，并研究色这些角的分廊类及记法．职2旷．探索研究垂（欲1未）正角、负财角、零角概摸念称兄①拥一条射线由替原来位置尚肌，绕着它的恶端点争严，按逆时针精方向旋转转惕到赵率形成的角丹规定为正角泊，如图中角召城；把按顺时哗方向旋转所鼓形成的角驴规定为负角鞠，如图中的坊鞠；射线没作腐任何旋转时布，我们认为游它这时也形夹成了一个角预，并把这个壶角躺规定为零角乡，与初中所啦学角概念一港样，拌南、嚷酸，点粮斯分别叫该角头的始边、终星边、角顶点秒．只影②鱼如果把角顶索点与直角坐炎标系原点重翅合，角的始链边在南良轴的正半轴吩上，这时，仰角的终边落盆在第几象限曲，就称这个粘角是西第几象限角交，特别地，卫如果角的终昼边落在坐标捞轴上，就说损该角不属于刑任何象限，日习惯上称其扭为饰轴上角谱．助砍③恰我们作出慨姿，督派及档显三个角，易杂知，它们的念终边相同。蔬还可以看出谷，土具，扶重的终边也是亭与驳办角终边重合裳的，而且可话以理解，与谁田角终边相同导的角，连同俱住在内，可以得构成一个集俘合，记作割恼．一般地，拍我们把所有挖与角脏磁终边相同的仍角，连同角钳滔在内的一切牺角，记成纯咱，毅用或写成集合卷康形式．百（粥2俱）例题分析榨【例图1垂】在熄贷～帖榨间，找出与掘列列各角终底边相同的角泄，并判定它乎们是第几象魔限角（隶1今）能痕；（酒2傻）析亚；（酬3誉）惧返．窃解：（昌1处）狗∵忙暗缸∴努与渐呜角终边相同冰的角是批改角，它是第色三象限的角红；景（挂2毫）双∵裹软秀拌∴联与尘驻终边相同的限角是睡辽，它是第四浑象限的角；霞（贪3漠）阵俗所以与剃必角终边相同洒的角是励庸，它是第二绢象限角．蝇总结：剧草式写在草疯稿纸上，正东的角度除以径捞，按通常除膊去进行；负纤的角度除以奏练，商是负数仇，它的绝对防值应比被除仙数为其相反宾数时相应的裤商大艇1远，以使余数渠为正值．父练习：（学编生板演，可妹用投影给题郑）嫁（徐1烂）一角为营划，其终边按稀逆时针方向抽旋转三周后呼的角度数为虎_____辩__概．闷（恐2凤）集合搜株中，各角的丹终边都在（滩敞词）傲A额．蹦聚轴正半轴上然，铃B班．坝蚊轴正半轴上贿，窝C奇．爽烟轴或半晚轴上，竟D滨．朋插轴正半轴或局怎轴正半轴上到解答：则（生1点）旬根肚（开2莲）福C兼【例铸2歌】写出与下颗列各角终边芝相同的角的蜘集合违银，并把客爸中适合不等螺式蔬抛的元素班骗写出来：祖（撞1怖）亿丘；（命2字）辛览；（瓜3违）垒丛．虾解：（淡1驾）马思央中适合帐明的元素是柄心随必塌京壁（铅2膨）庆射满足条赤件的元素是宾蹲但称秒关（宽3去）掩经都察中适合元素再是自说明：秘与角统孩终边相同的骄角，连同耍烛在内可记为庄朝，营籍这里惊（五1蚂）炊么；（块2铜）擦昆是任意角；婶（陷3疗）茫轮与滤套之间是沈“揉＋咳”钟连接，如答迷应看做蜡馅；个（誉4荐）终边相同遣角不一定相孔等，但相等读的角终边必市相同，终边度相同的角有镇无数个，它喝们彼此相差剂帜的整数倍；膛（全5灭）检查两角匙禽，暮浙终边是否相辜同，只要看烤谦是否为整数懂．免练习：（学萌生口答：用后投影给出题勒）卡（崭1役）请用集合案表示下列各墨角．慧拾①链冒～档败间的角烦榆②巧第一象限角烟胜③疤锐角哨透④蒙小于醉纵角．枯（浓2救）分别写出刑：就赏①民终边落在细异轴负半轴上授的角的集合劈；痛率②秤终边落在庙悬轴上的角的普集合；泪协③刘终边落在第瓦一、三象限缴角平分线上已的角的集合戚；写晃④迹终边落在四坛象限角平分脊线上的角的旨集合．捞解答（冠1之）就①愁菌；妥画②倡负；惩描③脚怎；闯④诸期（谜2航）水①皆鸣；寨截②要殖；茄闲③过蚕；丈道④绢哄．冻说明：贤第一象限角脚未必是锐角炎，小于探编的角不一定坦是锐角，梁典～进泰间的角，根斤据课本约定魂它包括菌工，但不包含嫩闪．齿【例蹄3哗】用集合表淋示：兰（制1甩）第三象限模角的集合．最（巾2板）终边落在斤士轴右侧的角啊的集合．隔解：（汗1海）在塘导～猎户中，第三象膀限角范围为炊华，而与每个财双角终边相同此的角可记为化房，诱允，故该范围镰中每个角适债合冤集，旋舰，故第三象骨限角集合为些瞧．沾（唐2慨）在叔什～却火中，促赌轴右侧的角摔可记为卸共，同样把该钻范围染“辫旋转葱”她修后，得范醋，齿鉴，故音仇轴右侧角的男集合为栗衰．编说明：翠一个角按顺晚、逆时针旋唤转某京（怪爸）后与原来勾角终边重合耕，同样一个短“付区间打”能内的角，按恼顺逆时针旋槽转刮叶（闭腹）角后，所封得湖“复区间雅”未仍与原区间横重叠．赏3控．练习反馈牧（土1室）与催闹的终边相同砍且绝对值最错小的角是观_____塑_____诵____泻．读（坏2悄）若角渗盼与角洒裁的终边重合犯，则惨壁与除央的关系是威_____鬼_____广_劫，若角栋君与角趴房的终边在一艘条直线上，驻则芝侦与恒弹的关系是首_____贤_____犯__事．栽（兆3粥）若裳片是第四象限抹角，则化掀是（给希妈）．相A陕．第一象限漠角草B浮．第二象限淘角紧C丙．第三象限镰角阔

D针．第四象限得角获答案：（露1配）贫巷；暮（帆2绸）提蔑，笼裂，灿爆；薪（缠3学）称C笔4获．总结提炼兵判断一剧个角愈陆是第几象限熄角，只要把纤广改写成故再，洲为，那么流狱在第几象限础，篇责就是第几象黑限角，若角画穗与角土竹适合关系：圈逼，沸济，则喝猫、白扫终边相同；残若角宫稍与拣思适合关系：液若，缴传，则裤击、罚锄终边互为反填向延长线．往判断一个角绘所有象限或舞不同角之间树的终边关系抹，可首先把茶它们化为：灵民，毯斯这种模式（搭绪），然后只下要考查土暖的相关问题栏即可．另外葱，数形结合邻思想、运动修变化观点都伯是学习本课缴内容的重要蔑思想方法．课时作业帆1周．在悦根到鸣名范围内，找阅出与下列各谷角终边相同僻角，并指出按它们是哪个辛象限角类（归1谊）柜与屠（宰2糊）舌牧（调3虎）侵占响（涝4此）破延2厉．写出终边专在姻愚轴上的角的故集合（用发音～材楼的角表示）芒3烂．写出与喉糟终边相同的缩角的集合，塞并把集合中彻适合不等式摸丈的元素哨至写出来．控4胃．时针走过翁3乓小时最20允分，则分钟弃所转过的角待的度数为纱_____住_____麦____棉，时针所转玩过的角的度半数为陈_____坑_____樱____绍．摸5剂．写出终边发在直线帆堪上的角的集逆合，并给出论集合中介于艰六和鼻葛之间的角．骡6拐．角准瑞是毯傅～揭结中的一个角齿，若角稍尿与序参角有相同始放边，且又有垦相同终边，碗则角欧允．参考答案：麻1席．（篇1戏）果股防（震2恢）菠婚大（布3蚊）云际鸦（饮4必）尺2．抢3柜．袖拨，跳购或宴4．，驰5指．腹事，俯丽或伍6．沈教学设计示尺例（二）逐角的概念的热推广教学目标拉1趟．讨论等分谢角所在象限仅问题．狂2钱．会表示给音定区域内的孤角的集合．重点难点歪1斧．讨论等分咏角所在象限郊问题．根2三．会表示给傻定区域内的钻角的集合．教学用具投影仪教学过程萄1忘．教学情境酸我们都铅知道，葛冬是锐角，贞梁角的一半瓜喘也是锐角，衫那么第一象乳限角：愤拴，销颜的一半喝播是否仍在第杜一象限呢？惑2辉．探索研究揉（欺1摊）在上述问漂题中，令京偏，果漏，则柜烟为了确刘认铸汁的终边所在仇位置，关键钥是侵“牛看卡”悲，胸认是否为贩蜡的整数倍。鹊为此可对腥茫的奇、偶性广展开讨论．书谁①增若尤沾，劫路，则寄撑，进而可知蜓麦与潮蠢角终边相同掀且在间Ⅰ抛象限．榴吼②煤若絮闷，祸裤，则牌因，易知仇联与鲁更角终边相同嘉，都在膝Ⅲ委象限．租综上可镜知，尺堆在哪Ⅰ门或们Ⅲ秒象限，且它症的两个终边没互为反向延坝长线。场（闭2济）若已知：旱角挺猾满足凳痰，成恳、孤渴为常数，丘乏，则贫炕所在位置如次何确定？舱事实上摆，此问题可冬以仿照上述哀问题一样处荒理．争纵∵粒许，纲∴昂为了确曾定娇吼所在区间，那需要确定厘“狂边界天”皮芽，隶甚，袖量的位置，为驶此又需要渐“楚看伙”登庄是否为芬骂的整数倍，畅故讨论如下薯．悦葛①努若设丛，姨随，则路宣，杆镜如图，搭它表示单位袜圆中的扇形浸区域玩Ⅰ故．扒惠②苦若悼雅，征疗，则亩此时，磁沃在单位圆中狡的区域翁Ⅱ难中薯综上知准，躁执在对顶扇形叛Ⅰ定、蜘Ⅱ台之中．涛（鸡3泄）例题分析琴【例鄙1暮】若骨剑是第二象限畅角时，则相境，潜雄，傻卸分别是第几还象限的角？锄解：（仍1权）好∵显挑是第二象限区的角叮∴则，权故调洗是第三或第确四象限的角手，或角的终庸边在宾尤轴的负半轴条上．窝（狡2毕）本∵愚与，鲜当火笼时，跃冻是第一象限煤的角，除当用拴时，酒丹，她辈是第三象限怕的角，膝谢∴佛言是第一或第插三象限的角仰．蓬（跪3辫）怕∵秒阵，祝当池赶时，息喉，化哗∴依掘是第一象限蜘的角，扩当鲜忆时芽树，时臣∴础葬是第二象限抖的角；展当金祖时，诉销，桌杨∴颜台是第四象限封的角；综上奔所述肺授是第一或第要二或第四象辰限的角，如图所示：伐3纳．演练习反午馈嫁1暖．设区吵，熟上系想况，穴颜峡则相等的角落集合为语_____季_____堪_____护．暗2销．如图，终云边落在阴影招处（包括边耀界）的角集挑合为（男泻捏）A．B．C．D．帮参考答案：局1魄．释桨，蓝释

2移．蹄D省4易．总结提炼砍（启1忘）欲问角范房在哪个象限什，只需把统翼改写成再立，其中缓辆，如讨论形别如移双所表示的角爱所在象限，谊可按羞稀，杏肆，殿优对整数城取进行分类，炮目的是痕“影凑于”司出表达：洪执（懂2料）对表达式桐嚼，殃唯，牢泡、威霉为常数，它纱的图示为单池位圆中的对瘦顶扇形．课时作业辨1驾．若倦浸的终边在第关一、三象限样的角平分线碍上，则尽僻的终边在批_____凡__哗．伍2躁．下列各题奴中，正确的营是（备个）侵A今．终边和始歌边都相同的政两个角一定赖相等大B喜．抢远是第二象限菌的角电C雷．若价南，则彻睁是第一象限棚角四D物．相等的两买个角终边一友定相同刻3哗．与美据终边相同的洁角可写成（悼遣姐）施A胞．奏约．首棋孤B三．尚子．源纵C此．焦嘴．昆橡盲D真．乐篮．祸组4穗．已知角督傍的终边与脖行轴的正半轴答所夹的角为弯会，且终边落统在第二象限珍，又术脆，求静诸．5．已知弱寒睁．描求亲粉，案饿．参考答案：体1案．在昼苗轴正半轴上耽．（注：齿社轴正半轴上英角都是司秧吗？）2．选D僻3态．选果C佳取－挑2些时栗伍4犬．昆∵菠愿牛将男∴毅殊，报5．．．典型例题笋例咬1熄傅设希汉，稻弓，苍光，诸虹，那么有（关局）．直A瞧．席弃B绕．示飘C格．拉就（领般）谈D坡．罚赚分析：辜解答本题时蚁，先应明确串所给集合中傲角的具体含茂义，再逐一乳对照每一个雀选项，明辨写真伪．葱解：第格一象限的角知不一定小于被贼（如终泰），故籍A乞错；小于艰滩的角不一定表在第一象限漫（如摄饺），故嘴B车错；慕糖的角踪凳，但监僻的角盖扶，故壁C抗错；又梯坚，因此京D昆对，应选攻D进．霜说明：魄角的概念推僻广后，遇到迎角的问题，棕应根据角的宗范围及相关炊角的概念进渐行具体分析仿．如本题中旺的倦“格锐角借”添与沫“融小于叨们的角篮”插就是两个含姐义不尽相同明的概念．炮例核2傍征在例窃～迫厦间，求出与压下列各角终吴边相同的角肢，并判定它稳们分别是哪纽一个象限的腾角．拢（爽1尽）挖宫；（催2漏）漂运．查分析：洋求解本题，侍其关键在于瑞正确得到倍仔中的锣字值，即用给匹出的角去除御以湾涂所得到的整短数部分．借解：（窝1裙）因为睁乌，虹所以设抄即为欲求的热角，它在第济三象限，从吴而拒布也是第三象图限的角．暂（骂2录）因为胀粥，宾所以池蛋即为所求的纸角，它是第油三象限的角减，故纠瓣也是第三象讽限的角．偏说明：卖在乘础～挠抖内求终边与岩给定的角的捞终边相同的罚角时，若题敲中给定的角泼是负角，在刘应用式子蓝烂表示时，春薄比正常除法瘦所得整数应研小一个单位码，才能使余获数在和防～眯冈内，故这里圈的滋峰只能取－估2丝，而不能－班1宁，若取－般1羡，则普雪，这种形式反对解本题并更无作用，因舅为寇翻不在走毅～随这之间．受例数3屋甲（旬1批）如图，终涛边落在薯创位置时的角铃的集合是住_____醋_____快__烛；线边落在恋虑位置，且在垒捡内的角的集拿合是星_____颗____野；终边落在屿阴影部分（称含边界）的陡角的集合是腰_____顽_____稿____浙．界（岩2屈）已知吉夜，采求捏联与俱悠．匙分析：熔本题可借助脾数形结合的沙思想方法求昂解．类解：（拥1财）由图形直示观可得：终省边落在敏尚位置时角的驳集合是捧费；终边落在痕斩位置，且在疾岂内的角的集埋合是象劈；终边落在箩阴影部分（昌含边界）的棚角的集合是．莲（先2傅）分别在直姓角坐标平面播上画出表示少集合妻拆、谨载的示意图（袋鄙为横线部分之，嗓申为竖线部分批）（如图）观再由图形直旺观得出：管说明：颂求角值的集轧合的交集或咱并集时，借呆助数形结合稍是最简便的杀方法．切例启4截摆已知居纳是第二象限气的角，试求甘（织1聋）甜白角所在的象强限；（尖2框）软沸角所在的象皇限．富分析：先对于本题，格如若不进行芒较深入地推睛演，则很容弃易得到一个狠较明显而又叫错误的结论哪，即认为规溪角在第一象舞限；罗拳角在第四象红限，而事实泼上是不尽然拴的．怀解：（特1涌）因为榆巷是第二象限眼的角，监所以躬强，鸡从而有陶强．震由上知顺，当趟饰为偶数时，盘攻角是第一象狸限的角；当性税为奇数时，民故角是第三象钥限的角．界综上可权知，赢播角是第一或鹅第三象限的顿角．湿（沸2捕）由（员1川）可知，呜菜角的范围是怠药．壤故川芹角是第三象目限，或第四替象限，或是无易轴负半轴上托的角．识说明：听依照（帽1伶）中的方法兴，可得到以靠下规律：当叉害分别是第一速、二、三、现四象限时，筛样则可能顺次领是第一或三衬、一或三、充二或四、二秆或四象限的贩角．仿此，令还可进一步景考虑工助的情形，有禁兴趣的读者垫不妨一试；医另外，应注笋意，在（对2鱼）中，不可寺把秋塘角答成是第雨三象限或第蛛四象限的角书，因为终边璃在醋隐轴负半轴上按的角练刮（竿柏）也是它的临一个解，而闹此角不属于脑任何象限．探究活动著经过阅5炸小时又皇25葱分钟，时钟止的分针、时轮针各转多少悔度？参考答案：主5温小时妥25厅分钟折合成霞325昨分钟．并60洽分钟对应恐360帅°打，所以迎325副分钟对应枯芽，因为顺时恢针旋转，所汗以分针转－隐1950饰°出．臣5忆小时寻25秘分钟折合成象浑小时，富1楼小时对应武斑．所以浩株小时对应珠导，所以顺时驼针转－果162.5僚°线．习题精选一．填空题幅1剖．与融糠终边相同的垃角的集合是牛_____关_____何_窃，它们是第梢_____村_____宿__乏象限的角，愚其中最小的星正角是骑_____弱_____悉_导，最大负角摔是低_____统_____终_欠．津2郑．已知孝数的终边在馒弃轴上的上方捕，那么锁什是第励____妈_____靠_腐象限的角．绪3雅．已知角北迈的终边落在猎第一、四象伟限及艰临轴正半轴，翻则角吓脑的集合为络_____敏_____落__讯；终边在坐赔标轴上的角阀的集合为蛇_____伐_____门__合．邪4松．若角分他与赶废的终边关于贡天轴对称，则洞企与殃笋的关系是蛾_____创_____们；若角万证与义塘的终边互相对垂直，则破殿与暴狼的关系是钟_____攀_____霉_择．敢5她．给出下列扬命题：坑向①队割和惹特的角的终边尘方向相反；值眼②晌兴和买登的角的终边腥相同；况但③往第一象限的螺角和锐角终魂边相同；怒奶④旋兵与嫁陵的终边相同皮；越倾⑤格设店屈，推睛饥，则暮残．拐其中所换有正确命题享的序号是铲_____民_____呜____芳．二．选择题旱6醋．下列命题萍中，正确的透是（渴其）．四A隙．始边和终置边都相同的蝴两个角一定孔相等脖B气．虏求是第二象限由的角假C珍．若苏妙，则馋断是第一象限待角会D淘．相等的两唉个角终边一培定相同顺7誉．与魄根角终边相同册的角可写成偿（泰因）（芝婚）．鼠A宽．类先

B削．楚宅C苹．座女D痛．倒弄8禾．经过膜3奶小时解35代分钟，时针肚与分针转过栽的度数之差薪是（钳阁）．凉A劳．匠屈B烤．藏牧C冶．馅粪D尿．石滋9议．若两角根勤、半既的终边关于起原点对称，敬那么（屑肝）．A．B．C．D．芽10甲．设皂搅，且栽辈的终边与贝贷轴非负半轴蛮重合，则这回样的角最多烈有（宣啊振）．疮A怎．二个数辆膛B证．三个为嫌赢C比．四个树板乔D羡．五个三．解答题宴11厕．求所有与服所给角终边回相同的角的伏集合，并求抓出其中的最基小正角，最安大负角：（劫1猫）医外；（皇2术）亿码．膜12动．求娇废，使塔饲与粒险角的终边相破同，且万碰．顺13棋．如图所示菜，写出图中衡阴影部分（柜包括边界）告的角的集合腾，并指出逝驳是否是该集饼合中的角．庭14愧．已知角愚时是第三象限兼的角，试判膛断唤段、裙后所在的象限犹．膨15趣．若角陵时的终边经过蕉点董漫，试写出角陈检的集合，并外求出集合中留绝对值最小唯的角．伙16络．写出终边梯在函数危释的图象上的僵角的集合遇透，并指出其蔑中在抄鸡内的角．参考答案：一．填空题迁1刑．姐列，三，认渗，割较2．一、三3．，胃4绢．铸泥，序掩腔5恨．剪②如、郊④蔬、导⑤二．选择题吸6舒．袖D

7匀．疗C

8骗．叔C

9据．序D

济10忙．幸D三．解答题否11泳．（慈1救）皂度，其中巩帝的最小正角资为锤架，最大负角搞为俊点；革（期2拒）酒妥，其中丧夫的最小正角题为融孟，最大负角广为晌成．宜12投．由垒将，知符合条京件的角为丧餐，进浪，逗透，胶跳，含业．航13返．阴影部分员角的集合为扰甚，督病是该集合中矩的角．因为双努．讨14矿．级求在第二、四过象限；共碰在第一、三萍、四象限．匹15谋．所求集合纱为号饿，集合中绝凉对值最小的鼓角为拾许．福16都．伤寿，切峰，康怪，静倒，低自．注提示：先由匀页可知所求角率在归炮的值为偏颗或与氧，由此即可马写出集合酬三．期4.2弧制度制教学目标仅1.使镇学生理解弧公度的意义，俗能正确地进匪行弧度与角亚度的换算，孤熟记特殊角樱的弧度数；声2.了索解角的集合任与实数集R脆之间可以建比立起一一对滑应的关系；恭3.掌军握弧度制下妈的弧长公式提，会利用弧仅度解决某些区简单的实际匆问题；亲4.在厌理解弧度制床定义的基础符上，领会弧兼度制定义的蹈合理性；公5.通话过学习，理台解并认识角其度制与弧度泊制都是对角姐度量的方法读，二者是辩骆证统一的.教学建议宿一、关于弧董度制的知识垂结构获二、关于弧确度制的重点旷、难点分析仪重点是崖理解弧度的燃意义，能正乞确地进行角栗度制与弧度部制的换算；沈难点是弧度箱制的概念与互角度的关系堡。绵（睡1宏）要弄清弟1内弧度的意义移。弧度制与额角度制一样攻，只是度量魔角的一种方亮法，但由于画学生有先入古为主的想法喉，所以学起骑来有一定的牺困难，首先治必须清楚阁1快弧度的概念听，它与所在猪圆的半径大虹小无关。其旬次弧度制与苏角度制相比赤有一定的优目点，一是在蓬进位上角度臭制在度、分皆、秒上是腾60剪进制，而弧邮度制却是十遗进制，其二皱在弧长和扇脸形的面积的孙表示上弧度争制也比角度进制简单：冶锻（经2泰）两种制度喷的转换。利隆用它们的意喝义在弧度制咸下圆周角为别烂rad宗，而角度制泽下圆周角为丙锤，所以危尽rad加＝煎俊，进而得到叙磨rad廊责rad.1rad猎三、关于弧柿度制的教法统建议颤华（泻1典）建议教学锻用实例来讲暑述脾1嫁弧度的含义保，这样便于通学生概念的淋理解；敏（接2框）建议在教宁学时，通过妥弧度制与角忙度制对比来胸分析、说明蚕应用弧度制顺的度量比应将用角度制的丰度量方法是棍否具有优越肚性；兔（择3劲）关于弧度段与角度二者迷的换算，教求学时应抓住针：弧度弧度欺这个关键，疫来引导学生肌；同（生4斩）教学应注泛意强调在同秘一式中，所坑采用的单位婶必须一致；葵（赢5伤）通过例舰3讲的教学，应佩让学生知道初，无论是利碌用角度制还功是弧度制，应都能在已知旋弧长和半径卫的情况下推安出扇形面积每公式，但利牧用弧度制来上推导要简单火中些．配教学设计示涂例（一）弧度制教学目标：脾1煮．明确引入叮弧度制的必匀要性，理解驾新单位制意坐义．键2评．熟练掌握伯角度制与弧乞度制的换算惕．栏教学重点：担理解弧度制挽引入的必要匀性，掌握定考义，能熟练包地进行角度辛制与弧度制库的互化．雁教学难点：扮弧度制定义玉的理解．来教学用具：贡投影仪．教学过程甩1树．设置情境世在角度饭制下，当把义两个带着度栗、分、秒各灯单位的角相鞠加、相减时贵，由于运算乞进率非十进垮制，总给我驻们带来不少毙困难．那么锹我们能否重土新选择角单敏位，使在该惩单位制下两婚角的加、减饿运算与常规湿的十进制加材减法一样去党做呢？本节岂课就来尝试抬选择这种新量单位．桥2捐．探索研究侍（唇1拍）复习角度谊制窄我们在蒜平面几何中肃研究角的度区量，当时是预用度做单位倍来度量角，稀找的角是如何虾定义的？炎规定把冷周角的帝瓶作为勿1书度的角．之我们把恐用度做单位伸来度量角的疤制度叫做角申度制，在数鉴学和其他许斗多科学研究杆中还要经常纹用到另一种违度量角的制息度支—衔弧度制，它酒是如何定义仓呢？股（仍2狠）弧度制定络义胜我们把毙等于半径长悼的圆弧所对屠的圆心角叫澡做行1份弧度的角毅，如图评1撞，弧膏叛的长等于半扇径瓣选，凳夸所对的圆心蜻角筋岂就是飞1浅弧度的角，酸弧度制的单陆位符号是军律，读作弧度刺．图1漫而哨的弧度数浑俘兼冷的弧度数份巴提问：峰若弧是一个倍半圆，则其赌圆心角的弧斩度数是多少摊？若弧是一滤个整圆呢？劫因为半东圆的弧长抓称，其圆心角叮的弧度数是凤轿，同理，若姜弧是一个整栗圆，其圆心僚角的弧度数酿是纯俩．缎在须执到甜客的角的弧度览数贷受必然适合不善等式背杆，角的概念核推广后，弧拐的概念也随毁之推广，任其一正角的弧兴度数都是一情个正数．如斜果圆心角表虽示一个负角最，且它以所居对的弧长迫绸，则这个圆缝心角的弧度类数是坦毁，由此我们素给出弧度制苍的定义：一顽般地，可以懒得到：正角口的弧度数是番一个正数，惰负角的弧度陶数是一个负谈数，零角的半弧度数是岩0陶；角早株的弧度数的谁绝对值堪认，其中易刺是以角党隶作为圆心角会时所对的弧督长，搞慈是圆的半径拘，这种以弧娃度作为单位绍来度量角的施单位制，叫多做弧度制．革提问：答为什么可以疗用弧长与其济半径的比值晕来度量角的剖大小呢？即怀这个比值是蔽否与所取的规圆的半径大馅小无关呢？致育如图宣2复，设归劝为自形的角，圆弧包顾和链跃的长分别为成城和多棒，点搜仆和叔脸到点祖柿的距离（即智圆半径）分伙别为示装和总估，由初中学棚过的弧长公等式可得：期宜，甘谦，于是旋饺．上式表明期，以角两亮为圆心角所厨对的弧长与卧其半径的比慕值，由秩蕉的大小来确朗定，与所取殖的半径大小围无关，仅与肥角的大小有灾关．刮因丢至，可以得到信欲，那弧长等视于圆弧所对蓬圆心角的弧冈度数的绝对朗值与半径的士积，这个公待式比采用角刑度制时相应洞公式喊陡要简单．攀（面3趴）角度制与玻弧度制的换积算祝用车“哨弧度舰”眉与愉“撒度荣”阻去度量每一懒个角时，除偶了零角以外荷，所得到的迈量数都是不母同的，但它博们既然是度浑量同一个角杆的结果，二迅者就可以相渗互换算．我叠们已经知识注若弧是一个臭整圆，它的栽圆心角是周梁角，其弧度殃数是乎壶，而在角度铲制里它是决造，因此鸣啦，两边除以词2丧．沉得拥胜杂们等式两边同财除以180察得叹传同理，恳把弧度换成饱角度．衫俯呀馅蜂奸跳梅演驰脸努欣蹈第虫【例遍1宪】把望趁化成弧度．解：∵∴烫【例浮2轮】把轧恢化成度．解：汤同学们在进防行角度制与牙弧度制互化虽时要抓住址盘弧度这个关无键．得下面请大家陕写出一些特馋殊角的弧度仓数．角度

弧度

进按从左至右阀顺序其答案准是：遗0掉、蝴倘、亲严、娃幼、钥沫、红哈、刷泡、疤功、万罩、孩滴、炸于．今后我们屡用弧度制表坝示角的时候悉，哈“夜弧度躺”础二字或斧“帽倚”姜通常省略不费写，而只写放相应的弧度转数．例如：帝角较戏就表示晴汇是洲蒙的角，剥林就表示宰视的角的余弦有，即扮聋．族（告4训）角度制与画弧度制的比躬较智引进弧携度制后，我律们应将它与友角度制进行如比较，同学瞧们应明确：胁①尼弧度制是以爱“莲弧度兄”袄为单位度量钟角的制度，恳角度制是以彻“靠度扇”每为单位度量码角的制度；宗②触1她弧度是等于华半径长的圆私弧所对的圆讨心角（或该稼弧）的大小行，而泻显是圆的廉废所对的圆心怕角（或该弧币）的大小；亚③糠不论是以痛“故弧度翅”者还是以呈“血度巾”蓄为单位的角猾的大小都是刑一个与半径漆大小无关的精定值．晴【例咽3脉】计算：宰（楚1曾）嘴盐；（属2恋）挣把．坦解：（骆1秋）锹∵末满情边∴悦返（傍2其）贷∵效丰练习（用投帖影仪）劲1寄．把下列各占角化成绳次的形式：务（该1拦）均互；（既2端）受狗；潜（榜3护）梨怨．比2轮．求右图策3馅中公路弯道坐处弧味记的长谋扰（精确到忽腔，图中长度免单位：次河）．面缴雾看穷久汉夸失离壤参考答案：芒1均．（师1合）眼词（溜2让）森之（清3薄）拿白径钓2．∵∴升答：弯般道处兄樱的长约为蚀溜．致3为．练习反馈岂（遍1放）若三角形汁的三个内角着之比是装2近：辅3给：奴4镇，求其三个迟内角的弧度略数．格（层2拴）已知扇形福的周长为锤须，面积为易她，求扇形的清中心角的弧肠度数．折（图3卧）下列终边知相同的是（植）．皮A袜．河皂与禁蹲B腊．然独与袄虏C娃．市柴与或胶D榆．滥捉与阁桶参考答案：映（艘1仓）杯坟、渔冰、笨泡；（肉2吗）乓2寺（脖3惕）搜B脱4痒．总结提炼罗（迫1榴）颈峰弧度；闪（饲2膝）胞“汪角化弧浑”出时，将垫庸乘以贵殃；运“双弧化角撑”腰时，将赔弟乘以向佣（动3串）弧长公式料：司佣扇形面积公奋式：睡瞎．（其中岭侄为圆心角摆龄所对的弧长体，危慨为圆心角的馋弧度数，跟逗为圆半径．方）课时作业波1漂．角集合搏哨与晓淋之间的关系库为（颜浩歪）豆A世．张惕B专．父边猫C锁．涌技绵D把．不确定厌2倡．若角准苦和旬族的终边互为唇反向延长线概，则有（孝启委）宴A货．慰理B栋．离分C泻．称学漏D庸．带养3擦．中心角为致诚的扇形，它饰的弧长为镇轿，则该扇形嫂所在圆的半璃径为听_____部_____月____找．丹4软．若女旦，且尖逗与申替的角的终边圣垂直，则夕鹿．史5升．已知直径邮为危木的滑轮上有硬一条长为询蝇的弦，用宪是此弦的中浙点，若滑轮杂以每秒稠5敢弧度的角速御度旋转，则过经过蚕5层秒钟后点帖冤转过的弧长早等于多少？五6茅．已知一个名扇形周长为倡持，当扇形的舞中心角为多肆大时，它有鞠最大面积纲参考答案：喜1障．纠C

2蛛．宵D

3窝．丰6点；兄4虏．包割或桌位；饰5评．罚坚；宁6原．中心角爽尽时，毅余．优教学设计示毅例（二）弧度制教学目标级1值．理解角集猛与实数集骨暴的一一对应撑，熟练掌握蓄角度制与弧毒度制间的互堡相转化．猫际2齐．能灵活应傍用弧长公式侵、扇形面积裙公式解决问标题．筹教学重点：里能熟练地进赵行角度制与戴弧度制的互落化．陵教学难点：茄能灵活应用晒弧长公式、慰扇形面积公窜式解决问题侮．屿教学用具：报投影仪教学过程：胁1孟．设置情境以．皆像角的须概念推广一筑样，我们已健经把转腰～致拣中角，利用卵“船乘以碗惠”芒这一法则映肿射到实数集顺哗上，那么，无迹～航脆以外的角能因否化为弧度响制？如果能议，如何转化司呢？乘数因驱子是否仍为挣“绍仓”届，本节课就撒来讨论这个舱问题．巨2早．探索研究告（谜1睬）正、负角跟的弧度定义故．监下尸正角的弧度恩数是一个正诊数，负角的培弧度数是一犯个负数，零客角的弧度数茧是宁0剧，角滚音的弧度数的疼绝对值遮绵，脱许为以角驳申作为圆心角厕的所对的弧扰的长，齿单是圆的半径匠，这种以弧苗度作为单位难来度量角的茅单位制，叫识做弧度制．敞（仙2吴）角集合与彩实数集岁唐之间的一一杂对应眼用弧度葬制来度量角健，实际上是纸在角的集合希与实数集祝贪之间建立这毅样的一一对鉴应关系（如速图济1永所示）．顷每一个股角都有惟一洒的一个实数中（即这个角糠的弧度数）两与它对应；寇反过来，每帽一个实数也涛都有惟一的她一个角（角默的弧度数等豪于这个实数狗）与它对应坛．凭于是，尊就可以把三嚼角函数看成扒是以实数为死自变量的函蛛数，它的自奉变量的意义霜可以有多种炸解释，从而迈使三角函数屑的应用更加峡广泛，在数耍学与科学研件究中所以普挎遍采用弧度杂制，这是原称因之一．纳（然3娘）有关公式诸来①巡弧长辉②垮（轧4鞋）例题分析咳【例户1皇】下列站个动角中哪几个盈是第二象限构角？急（闸1窄）趟楚术（瓦2究）传刚装（侧3喜）倡鱼抚（欺4膏）泊9姻（归5野）－忠4笔（法6祸）鹿泻解：（档1茅）父度（规2每）峡志（下3射）诊假（系4洗）庭垦（工5穷）码岂（框6睁）络搭从而可知（寨2匀）（赴4岸）（击5沫）所给的角叔在贞Ⅱ律象限．沫点评：歪①茫用弧度制表钢示终边相同爽的角的方法足喉危②富把一角化为狗卷形式，其中在挂从而可判断爆角所在象限只．驶惨③事在同一问题童求解过程中宾，两种单位搂不能混用，效如未渣写法不妥．虑【例尊2腰】（杨1恐）把汽寇化为闲醋，产端，荒摧的形式是（嫌矿福）床A亩．喉诊材B哭．亦局奶C惜．革役D素．耐飘（追2穿）在半径不杂等的两个圆修内，式1诱弧度的圆心订角（播殿漂）各A晒．所对弧长把相等签失B讯．所对的弦甚长相等辉C掉．所对弧长改等于各自半轧径低D阵．所对的弧壮长为智解：∵∴病坟∴纱选猜D仇．顺（绵2元）由弧度制灾定义，知半鸟径为圈矿的圆上，刘1胳弧度的弧长所应等于半径筒大，故选娘欣．找【例寸3尿】填空谎（使1拳）在尊能内找出与电立终边相同的翻角巩_____留_____质____究．匆（道2该）圆的弧长较等于该圆内很接正三角形条的边长，则宁该弧所对的握圆心角的弧损度数是赖_____拆_____想_____堤_占．嗽（捆3贫）在扇形饺索中，裹珍，弧长为阔1殖，则此扇形采内切圆的面黑积纺_____否_____慎__北．艰解：（1）若与浆速终边相同角销，设为缴屋．令夹满叛∴蝇所求角为：煤雪．英（困2膛）设圆半径糟为窝迹，则内接正毒三角形边长刘为艺数，当弧长究拒时，其所对植圆心角厨演．歪（吴3称）如图造2暴，设扇形半夸径为问她，内切圆半守径为叔康，则由裹∵∴哄3液．练习反馈籍（胀1臭）傅尖＝屯___雪_____淋___说弧度；卸护＝凭_____吗_____烛__微弧度；－腰10摊弧度锡_____怪____津度植（掉2典）与轧厌终边相同的稻角是汇_____滤_____眼，它们是第库_____绍_____勿象限角，其紧中最小正角肌为焰_____赔_____笼，最大负角垃为痕_____诱_____膛_促．参考答案：背（蝇1经）项消；盛朽；呼堡（叫2名）浊同；它们是第碎三象限角；捏最小正角为蹄梁，最大负角灭为俯喊．联4衡．总结提炼授（闭1鼻）蜓毛（度）邻斗；旬少这里，话圆为任一角度笛制角，责历为任一实数祝（弧度）铸（酬2删）有了弧度滔制，实现了晓角度集与实策数集合之间丽的一一对应拨，对应法则猫是正比例函洪数忠姓．（喝堂为角度集合缠中元素，秆言为实数集中剧元素）．汪（爆3恋）弧度制的郑引入，使得乳有关公式表瓶达式简单，暴运算为常规株的十进制．迎（缠4笼）任一角煌蓄的弧度的绝奴对值为挥摩，也就是说体，对于任意织角的度量，凶其弧度要把布符号和绝对加值分开求．课时作业开1嘉．若荐祸，粉兄，乖萝，则盼鸡的终边位置族关系是（梅渠赠）岸A是．重合处B驴．关于原点果对称据C宜．关于境庸轴对称照D沟．关于肥砍轴对称拳2蕉．如果弧度坛的圆心角所铃对的弦长为烂2踢，那么这个勇圆心角所对土的弧长是（着雪雁）盒A避．缩轰B激．宋姑C区．榨阻D价．瓜谁3滨．地球赤道尼的半径是渡6370疲㎞，所以赤爸道上周泛的弧长是勤_____壤____糖（精确到天0.01捉㎞）害4俭．一条铁路铁在转弯处成损圆弧形，圆棋弧的半径为站2封㎞，一列火财车用每小时怖30金㎞的速度通秋过，阶10旁秒间转过几态度？热5辩．半径为行镜的扇形，其铺周长为房扫，则扇形中台所含弓形的开面积是多少管？熟6钩．角瓜棍和角掉串的和是单1丹弧度，差为兵口，则顽艇和拍剧的弧度数分稻别是多少？菠参考答案：崭1阀．咏C砖；颂2昂．股C河；坚

3疑．汪1.85猫㎞；洒阁4养．因为圆弧衰半径为鉴细，白唱，测倦走过弧长为案齐，由公式萄匆；平5签．伏爱；貌6尘．赞吹，驰板书设计弧度制（二）1．正、负、零角的弧度制意义2．角度集合与实数集间一一对应3．例1例2例3练习反馈小结典型例题垮例秀1暴尝将下列各角扣化成待盈，且妙畅的形式，并神指出它们是咳第几象限角巡：（固1菠）奉捉；（伞2盖）豆黄．抽分析浙训先把妄锯化成笛初的形式，再怪用弧度制表灵示．工解（夫1锋）除∵意织，行衡∴则扇与右净角的终边相庙同，又黎∵草蝇是第一象限翠角，栋井∴眨营是第一象限滥角．气（仇2驰）兔∵沃元，寨∴饭欺与垫滨角的终边相弱同．丰又收∵绘姻是第三象限间角，退∴警速是第三象限搂角．脚说明吨帖用弧度制表递示终边相同壳角默君时，刘怕是弃符的偶数倍，旋而不是整数光倍．同时，惭却为弧度，不仆能写成蓄攀的形式．腊例摧2轨借若弧度为值2缴的圆心角所统对的弦长为腿2少，则这个圆昌心角所夹扇字形的面积是赶（伪滥土）购A喊．粗槐悲B讯．起灿喇C送．屋炎化D验．帮论分析教谊由扇形的面屈积公式塘词知，要求扇柔形的面积，痛只需求出扇见形的半径污码即可．驰解她梳如图，过点蝴铅作冠恨于星余，延长迎诸，交鸟密于莫蒜，则唐阶令＝良香＝净威，且烈透．送在贤纷中，莫练．昂偶∴佳扇形的面积钉恭．故选C．康例循3每近集合柴哀，拾削，则有（洁赤调）．调A召．斧绵B满．许狂篇C伴．排虏爹D卧．苍渴分析群栏对集合首冬中的整数宋责依次取裙0干，推1来，欢2殿，的3溉，得角区煎，锣也，托只，赢浇，杰歼，辰快，黎聪角的终边相摘同．故选僻兄．贷例洁4诉如图，用弧表度制表示下堆列终边落在险阴影部分的忠角的集合（幅不包括边界诚）．屡解（牵1形）按逆时针与方向，在区算间输补上与角兔撒终边相同的此角为党罗，故所求集用合为：土赢．找（抬2涌）图中第三押象限部分可袖看成是由第舌一象限的阴拿影部分绕原蜂点旋转崭夹弧度而成的蠢，故所求集羞合可表示为穴：誓这．略说明态各当两区域的园边界互为反症向延长线时逗，只用一个丽式扯“沿粥”恨就可以表示圈．松（运3羡）所求集合磨为：配村．豪例戒5背扩已知两角的亩和为固1浇弧度，且两酒角的差为抚揪，求这两个狂角各是多少蚀弧度．艰分析海省设两角的弧蒙度数分别是岛萄、铃吼，通过列方跑程组，就可伏以求出肢伍、电双，但要注意没单位的统一舒．皇解赵心设两角的弧光度数分别是懒柄、拉兼，因为沉蚁，奴则依题精意，得勿环，解之得傻岂即所求料两角的弧度心数分别为虏纺，驾扛．扩展资料剥纸扇能否按逐照黄金比例练设计？与在炎炎吐夏日，用纸慨扇驱走闷热畏，无疑是最矮环好的方法御．扇在美观滑设计上，可跑考虑用料、膜图案和形状蜂．若从数学充角度看，我到们能否利用便黄金比例（莲0.618群）去设计一叼把富美感的泥的白纸扇？撒贵在设计纸扇励张开角（慈从）时，可考浴虑从一圆形斗（半径为鹊披）分割出来椅的扇形的面致积（幼诵）与剩余面屡积（捏段）的比值．现若假设这比惭值等于黄金谦比例，便可保以找出烫疲．祖层况若达寺，春啦以弧度表示刚．狡站誓则急滋．泻博宵（精确至最馋接近的令搂）．营首障除了找市面蜜上的纸扇去艰量度其张开严的角度外，堪我们更可自镜制不同形状削的纸扇，去虫测试一下冶玉接近喝浙的设计是否山最美．探究活动旋转的风车朱旁一个大风车叔的半径为评8m临，痛12朽分钟旋转一念周，它的最痛低点离地面靠2m兄（如图所示傅），求风车贞翼片的一个推端点离地面罢距离圈层（米）与时犹间扮齐（分钟）之脂间的函数关沿系（用弧度悲制求解）．叙际谷解：首先考集虑建立直角皮坐标系，以万最低点的切捎线作为泄规轴，最低点洗作为坐标原改点，如图建袜立直角坐标蹄系．销腾那么，风车浴上翼片端点大所在位置紧柏可由函数付些、庸论来刻画，而辱且比诚．怨浴所以，只需乱要考虑因迁的表示达．盲又设丑且的初始位置筑在最低点即从郑．蠢太在验瓦中，妨懒，望模．州伶而翠痕，所以席恒，肾泳，烫牌．习题精选一、选择题鸣1暮．脱泳的值是（及劈姻）．森A乖．躁饮B占．迫华C舌．奴视计D箩．隆饭2菊．一条弦长臂等于半径的吸灭，则此弦所润对圆心角（赞愿承）．剑A鬼．等于掀盛弧度篇廉B标．等于势挡弧度荷C薪．等于惨迎弧度撕D功．以上都不凡对虹3都．把商呼化为咸赠的形式是（困追晨）．歪A许．孝篇馆B咳．咬课锹C恭．杯昆攀D浆．绩委4灭．扇形的周丈期是合16岁，圆心角是慌2局弧度，则扇霜形面积是（揭逝菠）．组A创．曲勒打B观．宗锣根C田．筛16敏D清．拳32二、填空题值1步．谷辈度；亩尖弧度．妄2遮．半径为德2这的圆中，长赢为残2特的弧所对的唐圆周角的弧角度数为惊_____唇_____简，度数为弃_____惠_____纷__罚．滔3固．结3伍弧度的角的姻终边在第党_____始_____寸___府象限，赢7幅弧度的角的叮终边在第吐_____郑_____冤___横象限．斯4铃．扇形的圆渡心角为选魄，半径为奏踏，则弧长为枝_____筹_____查__斑．洋5甩．若碎托的圆心角所坡对的弧长为稿修，则此圆的巡半径为感_____雪_____眠____原．三、解答题珠1吧．在半径为申边的圆中，扇孙形的周长等鞭于半圆的长栋，那么扇形况的圆心角是昏多少度？扇者形的面积是排多少？少2丽．在直径为村阳的滑轮上有认一条弦，其饰长为统际，且喇底为弦的中点犬，滑轮以每眨秒纳5静弧度的角速粒度旋转，则弯经过报紧后，且禽点转过的弧把长是多少？进阶演练少3事．扇形营科的面积为疼俘，它的周长尝为乒蚕，求扇形圆亡心角的弧度欢数及弦长裳冤．浮4刊．一扇形周惠长是蝶金，扇形的圆税心角为多少鹿弧度时，这源个扇形的面芒积最大？最仍大面积是多昨少？参考答案：一、选择题之1登．榨B

2迈．晒D

3酱．赠D

4烈．锹C二、填空题详1威．乒36彻，姿就2维．计茎，雕谊沿3岔．二、一昂

4悔．格跳溜5怒．洒三、解答题妄1醒．禾说，勤锯

2东．搬幸3屡．热侮，溪挨出4荣．圆心角为占2环弧度时，呜此最大值为磁侵．叼4.3任圣意角的三角退函数教学目标迈（1）坦掌握任意角警的正弦、余步弦、正切的赶定义，了解邪如何利用与港单位圆有关推的有向线段缩，将任意角化α的正弦、询余弦、正切冻函数值分别忽用正弦线、堡余弦线、正蜻切线表示出外来；邮（2）凶了解余切、全正割、余割诚的定义；掌扣握正弦、余奖弦、正切函盏数的定义域约和这三种函少数的值在各尘象限的符号抛；芹（3）搁掌握公式一趁，会运用它迷们把求任意淹角的正弦、颜余弦、正切贪函数值分别裤转化为求0尸°到360爬°的这三种嫁三角函数值作；猪（4）钥通过树立映券射的观点，肌建立正确理胆解三角函数菜是以实数为冲自变量的函掏数的能力；贷（5）拨体会同一角仅的三角函数弱值，不因在标其终边上取优点的变化而姑变化，从而标启示在研究懒问题时，要茎能在千变万例化中，抓住吃事物的本质尊属性，不被雷表面现象所拖迷惑．教学建议咸一、知识结丙构痛先通过刺平面直角坐母标系定义了寇任意角的正踏弦、余弦、欠正切函数，依并利用与单困位圆有关的技线段，将这赏些函数值分捏别用它们的甲几何形式表享示出来；然仗后定义了任禽意角的正切罚、正割、余拘割函数．接黄着着重研究蹦正弦、余弦木、正切函数仔的定义域和辛这三种函数宽的值在各个批象限的符号绝；并根据三术角函数的定冷义，得出浮“慢终边相同的骨角的同一三尖角函数的值穿相等状”主的结论及把肝此结论表示群成第一组诱膜导公式（公学式一）．恨二、重点、舒难点分析且重点是边任意角的正花弦、余弦、圈正切的定义莫及在各象限畅内的符号和热定义域，诱骑导公式一；炊难点是用单怀位圆中的有市向线段表示腐角的正弦、而余弦、正切登值．肚（荡1担）定义中的印六个比值剩皮等，与点苏床在终边上的萄位置无关，饭只与角的大软小有关；它燕们都可以看阵作以角为自野变量，以比产值为函数值田的函数，分拴别称为正弦仪函数，余弦插函数等．低（井2侮）三角函数找在各象限内抄的符号，是待根据三角函留数的定义，接终边上的点测坐标符号来乳确定的，十鱼分重要，在架今后的学习光中经常用到罚．悄（棉3遣）定义域也矿是根据三角圣函数的定义兼，要求其有何意义，即分陷母不为宵0汗而得到角的劈取值范围．退（办4辅）诱导公式走（一）也是端利用任意三脂角函数的定踏义，结合终何边相同的角佣定义得出，伶即终边相同塔的角的同名烤三角函数值危相等：凡注．老（递5币）三角函数朱线是表示一患个角三角函秩数值的几何靠方法，它们薯的大小即长贝度等于逢末的三角函数步值的符号．橡特别注意的瞒是它们均有商方向，即起鞠点和终点，蚀记法：当两闻个端点都在蹄凑轴上时，以揪原点为起点役（余弦线）尘，当两个端舌点有一个在销轴上时，以队轴上的点为录起点（正弦屿线、余弦线鼻），特别是作正弦线和正卫切线在后面剥三角函数的欺图象中，用夺来作出正弦谜曲线和正切萍曲线，所必右须清楚其意科义．攀三、关于任望意角的三角锦函数的教法烦建议瞎失（辨1厅）由三角函叫数的定义可潮知，若已知括角谅钞终边上一点喉，便可求出茫其各三角函羽数值，或通愉过三角函数借定义，可知偷其二求其一誓．声贪三角函数的贿符号与角所济在象限有关关，采用上图喂来记忆．虫你厨（惭2孕）必须讲清寺并强调近晕这六个比值总的大小都与豆点编老在角的终边劣上的位置无适关，只与角辽的大小有关消，即它们都软是以角为自锋变量，以比宅值为函数值踢的函数．牙（妹3绸）教学中应据注意，语言氧要准确严密压．首先妻“砍六种函数统拖称为三角函梦数题”旨这句话，说推明不是这六总种函数的函臂数，都不能首说是三角函图数．笋（宰4晨）教学中，阳应当引导学浊生深刻认识拐三角函数符汤号的含义．惊如，芳林这个符号，阔它表示侍厦，即角紧友的正弦，不浆能把幕压看成最州与球睛的乘积，犹寿如割岂不能看成捏蹈与煎央的乘积一样萍，离开了自泉变量聚酷，符号头追就没有意义悟了．同时也番应注意，每喊个函数记号乓的第一个字蚂母扇“应阴”始或蓝“否奔”渗或经“培滑”释都不能大写征，不能让学修生养成写缓“刑拍”送、颤“黄蛛”填等习惯．恭教学设计示渔例（一）拖任意角的三砍角函数教学目标：教1蚂．通过对初鸭中锐角三角招函数定义的抖回忆，掌握习任意角三角生函数的定义援法，并掌握续用单位圆中恒的有向线段蚊表示三角函贞数值．面2全．掌握已知叼角误规终边上一点谨坐标，求四翁个三角函数汤值．（即给漂角求值问题五）教学重点：袍任意角累的三角函数直的定义．教学难点：贿任意角瘦的三角函数利的定义，正窃弦、余弦、夺正切这三种霉三角函数的长几何表示．教学用具：做直尺、稍圆规、投影若仪．牲教学步骤：切弓1愤．设置情境崭角的范日围已经推广奖，那么对任但一角食高是否也能像距锐角一样定岂义其四种三滚角函数呢？奶本节课就来毯讨论这一问闷题．互2姓．探索研究善（邻1桑）复习回忆先锐角三角函往数浊我们已巨经学习过锐亏角三角函数闭，知道它们绝都是以锐角斗饭为自变量，位以比值为函改数值，定义扒了角列竹的正弦、余投弦、正切、走余切的三角旺函数，本节愚课我们研究袍当角术继是一个任意锯角时，其三百角函数的定毫义及其几何令表示．须（冠2胖）任意角的倡三角函数定械义堤如图芒1畜，设慈呢是任意角，升牢的终边上任辛意一点温哪的坐标是道驼，当角箩回在第一、二冶、三、四象清限时的情形窄，它与原点绿的距离为什涨，则樱损．伤定义：类①众比值伴持叫做好示的正弦，记就作叹边，即鸟汁．馆俯②轮比值奴叉叫做抱映的余弦，记狐作交怠，即单层．图1怠絮③铸比值欣滥叫做敌估的正切，记浮作步惜，即全副．叮同时提继供显示任意渴角的三角函预数所在象限算的课件隶提问：对于慰确定的角蓬廊，这三个比嗓值的大小和派拥点在角阻皂的终边上的案位置是否有崭关呢？重利用三椅角形相似的航知识，可以怠得出对于角与棵，这三个比靠值的大小与武家点在角胁爸的终边上的蚁位置无关，谎只与角浸训的大小有关押．悄请同学管们观察当考凯时，各泛的终边在窃归轴上，此时瓜终边上任一吸点肚获的横坐标宅没都等于最0剑，所以输逢无意义，除凭此之外，对妹于确定的角国掏，上面三个券比值都是惟漆一确定的．拳把上面定义离中三个比的犁前项、后项财交换，那么三得到另外三姨个定义．我爷④陷比值棋利叫做贿痕的余切，记抱作仁恨，则验晚．贸父⑤物比值第赢叫做故拾的正割，记犬作义瞎，则执古．情烛⑥不比值映傲叫做弃残的余割，记限作患颗，则威欧．托可以看出：膛当型荒时，泽夹的终边在黎授轴上，这时蜓捷的纵坐标满奏都等于齐0寿，所以哄币与朝尚的值不存在备，当现阔时，煎筐的值不存在想，除此之外营，对于确定太的角留述，比值蜜漆，祥磁，曲条分别是一个哥确定的实数影，所以我们专把正弦、余痰弦，正切、饥余切，正割嫌及余割都看泪成是以角为互自变量，以兴比值为函数煮值的函数，祖以上六种函套数统称三角湾函数．叫（浑3吗）三角函数岸是以实数为抽自变量的函朱数胖对于确衔定的角坝浑，如图佳2们所示，华踩，助约，车壤分别对应的通比值各是一揉个确定的实疏数，因此，承正弦，余弦盯，正切分别透可看成从一重个角的集合质到一个比值私的集合的映列射，它们都鞠是以角为自井变量，以比崖值为函数值令的函数，当舍采用弧度制响来度量角时糕，每一个确召定的角有惟淡一确定的弧饼度数，这是仪一个实数，红所以这几种宏三角函数也镇都可以看成掉是以实数为满自变量，以锋比值为函数圣值的函数．纷巴即：实粒数咬→栋角（其弧度枕数等于这个扇实数）息→雹三角函数值咽（实数）童（刻4伙）三角函数卧的一种几何铅表示甩利用单逆位圆有关的亭有向线段，加作出正弦线兵，余弦线，涨正切线，如讽下图倍3遮．图3最设任意跃角嘉咬的顶点在原惭点忧谋，始边与吴悼轴的非负半孟轴重合，终凤边与单位圆煮相交于点滔洽，过贯杯作带仿轴的垂线，驻垂足为战巩；过点轨握作单位圆的醋切线，这条覆切线必然平氧行于轴，设踪它与角罪刘的终边（当览芦为第一、四机象限时）或谢其反向延长化线（当勒胀为第二、三债象限时）相止交于帜遵，当角粱蕉的终边不在龄坐标轴上时胜，我们把联颂，住链都看成带有各方向的线段船，这种带方快向的线段叫抽有向线段专．由正弦、输余弦、正切宫函数的定义炭有：赔这几条业与单位圆有丙关的有向线此段舌飘叫做角辛桂的正弦线、妇余弦线、正洽切线．当角驼装的终边在减痒轴上时，正脾弦线、正切席线分别变成浩一个点；当嫂角证扁的终边在惩们轴上时，余新弦线变成一厅个点，正切俘线不存在．扬（旗5偷）例题讲评至【例暂1脏】已知角厉恢的终边经过赵躬，求厕正的六个三角仆函数值（如胞图蓬4祥）．苍解：夸∵邮接∴谜胳滔既祸拖宗女菜买提问：肥若将被植改为亚赏，如何求产兆的六个三角缺函数值呢？饥（分汽堡，题固两种情形讨离论）矩【例飘2芝】求下列各壤角的六个三翼角函数值波（铁1纵）誓铸；（疯2虚）奶缎；（精3廉）背稀．剑解：（薄1充）烂∵棕当停钢时，身匙，纵其扰∴胸扎，挣乞，荣耐杂骡不存在，邪撤，肃隐不存在委（疯2哈）妥∵岭当仗净时，名遵，刃迎盾∴漏授，国慨纳隶不存在枣炊鼻挎不存在箭犹（害3躲）当先昨时，劲厉，生白西∴造寄点跑洒制猴角慧不存在调灭钩劈辰铁不存在顾【例边3傻】作出下列植各角的正弦拌线，余弦线四，正切线．泰（仙1扎）运汉；（羡2叛）目咳．宋解：猛施，中至的正弦线，网余弦线，正糟切线分别为处幕．话【例择4项】求证：当临鸽为锐角时，杆抓．征证明：握如右图，作顶单位圆，当低挡时作出正弦存线短谈和正切线递日，连芝∵∴∴纳利用三角函铺数线还可以差得出如下结忙论紫球赞的充要条件脆是依巩为第一象限偷角．愚敌求的充要条件轮是稼暂为第三象限厌角．浙练习（学生娇板演，利用峡投影仪）尊（脸1润）角欲棚的终边在直拾线励梁上，求阴谁的六个三角两函数值．略（幕2滚）角杯粘的终边经过虎点稍瓜，求晌狡，缝贱，寿茅，浪制的值．脸（孝3溉）说明肥道的理由．源树．解答：给（钱1摇）先确定终橡边位置师爱①页如堪稼在第一象限樱，在其上任拖取一点滩础，继咱，则富研辞，岩匙情拉盗征粥想魄稠嗓肯②爸如貌吃在第三象限警，在终边上枕任取一点腔馋，则确牙嫁泉，蜻尤妻芝岂拔申悉灰侦翠（汇2笨）若淹鼻，不妨令扒鼠，则屠醉在第二角限支昌雾∴辈旷巡倾糊秤便占役匠（居3青）在仆兔终边上任取什一点纽梯，因为娘山与流浩终边相同，唱故卸划也为角搏膏终边上一点稻，所以稿直成立．批说明：瞒以后会知道喇，求三角函覆数值的方法萍有多种途径揪．用定义求辛角类游的三角函数疮值，是基本迹方法之一．泄当角终边不壮确定时，要派首先确定终尊边位置，然豆后再在终边辨上取一个点舞来计算函数狸值．我3确．反馈训练廊（物1膀）若角血芹终边上有一管点即蛙，则下列函卷数值不存在体的是（沟巷万）．候A舞．饲咽奥B而．许田僵C担．闪盒燃D油．悉萄（星2航）函数罪桨的定义域是市（四顾月）．完A蚁．路康B姓．邀久C灿．今误伍D殿．具乞（葬3背）若现筛，危猾都有意义，韵则摄左．沉（豪4鸟）若角鼓痒的终边过点童业，且留蛾，则继盟．蒙参考答案：询（如1扭）伐D税；（距2毯）寿B更；（施3手）枝置或粥8拥，说明点摘落在半径为滔唤的圆上；（另4株）－陶6深．鸭4阴．本课小结团利用定蜘义求三角函健数值，首先裕要建立直角尼坐标系，角寒顶点和始边厕要按既定的蹲位置设置．华角南娇的三角函数济定义式，其摘实是比例的栽化身，它的率背后是相似纵形在支称着刘，不过这个垃定义具有一偏般性，如轴肾上角的三角撑函数，如果萍没有定义作承为论据，欲业求其函数性冻就不是很容悟易．煌分类讨渡论（角位置俊）是三角函吴数求值过程才中，使用频催率非常高的船一个数学思财想，而分类误标准往往是打四个象限及裁四个坐标半沃轴．课时作业：邪1本．已知角数户的终边经过阳下列各点，规求角澡膏的六个三角朱函数值．误（绩1摆）碍兵混（谁2息）满2．计算神（信1标）绍葬（润2莫）害珠（魂3索）锻盈（偶4互）谊3．化简阁（岸1双）亿搏（彩2惑）摘剂（屿3肥）巾瓦（摊4爆）喉参考答案：卷1角．（钱1郊）彼世，检吴，均纯协，询宴，聪夏芳，损兼（恋2医）香赔，串忙，体练龟恰，益猎，拆焦猎膊，赠称2挪．（柔1延）－驻2恋；（房2流）种8楚；（镇3雁）－卷1伐；（丧4僵）蹄吧3郑．（耽1戏）挑0单；（燕2士）功惧；（烟3肃）劝上；（举4六）淡颂教学设计示钉例（二）弓任意角的三疏角函数历缺第二课时教学目标：规1况．根据任意预角三角函数问定义，归纳咏出三角函数鹅在各象限的鄙符号，并能出根据角穴亡的某种函数纽值符号，反蹦馈出毕凭可能存在的测象限．愧2荡．掌握诱导氏公式一，并栏能运用诱导辫公式把角厨林的三角函数注值转化为勒室中角的三角境函数值．教学重点：膀终边相殿同的角的同闭一三角函数杏值相等．教学难点：驾运用诱裳导公式把角脑巾的三角函数手值转化为滥校中角的三角慨函数值．教学用具：箱直尺、竟圆规、投影板仪．教学过程犯1遥．设置情境章设角纯倍均是第二象舌限角，依三教角函数定义气，为了求踏禁的四个三角遥函数值，只羡要分别在笛研终边上取点剩股、摩磁，由比值裙艳，困永，歉绍，膝碰，及腥塑，使屑，肾奶，鞭掏可知，这两龟组比值虽然疾不一定相等忘，但由于斯燕均在第二象熊限，故纪蜡同号，朝映同号，因而恰可见，白慕的正弦、余语弦、正切、芬余切值，符狠号是对应相俱同时。那么酸，当叨事分别为一、辣三、四象限巩时，上述性滚质是否仍然叉成立呢？下史面就可讨论原这一问题．摄2伴．探索研究素（嘴1软）三角函数员值的符号笨今后我怎们还要经常抖用到三角函份数在各个象潮限的符号，短由于从原点童到角的终边新上任意一点短的距离乌务总是正值，资根据三角函娘数定义可知谊，三角函数恢值符号取决宁于各象限内耳的坐标符号公，请同学们涂分象限思考若四个象限中迈三角函数值撑的符号．匙观察六调个三角函数锐，可发现蚂困与叉贤，雾抄与魔兵，陵救与涨呀互为倒数，盗因此它们的扰符号规律相茄同．临喂歌当丝锄在第一、二杜象限时，轧惯，汤冷，所以仅贯为正，而当遍俗在第三、四载象限时，忆斤，帜沙，拘棚为负的．殖同理副克对于第一、孤四象限角是难正的，而对治于第二、三酬象限的角是泪负的．欣李碰与腥咏，当挠厨在第一、三亩象限时，母犬与悠址同号，所以励搬，传难，而当描合在第二、四额象限时，始全与玻柳异号，尾三，轮料．鲁现在我们将倾以上讨论结探果整理成图愚1柏．图1询可以表奴达为正弦和郊余割上正下蝶负，余弦与阴正割左负右爱正，正切与眉余切一、三驴象限为正，扬二、四象限医为负．同学蕉们还可以自愤己用口诀幅“缝全正，武够正，凝仅正，叨尽正唯”睛来记忆．记（螺2纪）诱导公式工一宽上节课挤我们已学过黑同终边的角搞，例如屋忘和娇蛇都与孔把终边位置相终同．灵率∵创刚剪涂∴沸由三角函数啊定义可知它擦们的三角函秆数值相同，幅即娘粪馋弊圈坟猜冬糟略茧育推广到姨一般情形，男我们可得到奸诱导公式一利：终边相同待的角的同一神三角函数值瘦相等，即

晕这组公女式的作用是丹可把任意角驳的三角函数冬值问题转化孝为太0趴～腹360碑°拍角的三角函舍数值问题．萝（标3挽）例题分析院【例罩1蛾】确定下列村三角函数值阿符号：商（爷1祝）最讽；（医2勾）谊旋；（虏3当）取详解：（删1及）勿兼（旺2竭）斗携（虹3闻）肥∵萝郑是第四象限券角，考∴狮屈【例坑2朽】求证角潜丽为第三象限本角的充分必亏要条件是知拖，元妇．证明：泰必要性：当孩冷为第三象限错角时，绸阿，支暂；滋充分性：泥∵姿疾成立，集∴炭摊角的终边可膀能位于第三甜或第四象限算，也可以位荒于水赛轴的非正半仓轴上；又和∵缎阁成立，轿∴枪隐角的终边可炮能位于第一弃或第三象限乏，因为要同樱时成立，所清以形币角的终边只村可能位于第养三象限，于词是角员肚为第三象限问角．横【例桃3初】求下列三踪角函数值：蛇（职1屯）新演；（申2也）科楚；（墨3而）喇欲．盾解：（墙1屯）连拥（集2曲）徒怠（佩3顾）株旅【例寇4厚】如果捏指在第二象限座，则练头的值是什么昏符号？屡解：贯∵宪归在第二象限付，束∴文景俗卸∴净讯，喷然贝∴揉鱼【例眨5郑】若隐观是第二象限贞的角，且颂越，问帆茄是第几象限直角？捞解：拆∵秋拾是第二角限样的角，∴∴怪娱∴磨赴终边在第一未或第三象限歉角，垒又毯∵界采唤∴袄悬故序骑是第三象限屋的角．还【例奶6达】求值：蜜解：原式鞠3奉．反馈练习银（这1郑）已知嫂肉是第三象限圆角且据胃，则（骗浸已）旅A苗．岁贪B神．厦遭C猾．狭踢爪D幕．每只（金2劲）下列各式羞为正号的是授（论疲戒）脖A阶．机棕氏B樱．告究C属．炼卡派D草．慢碍（晃3趁）若带那有意义，则纸组是（惭丽滨）丛A买．第一象限皆角怕仓B妥．第四象限巡角抱爹C金．第一或第伞四象限角瓣D叠．第一或第土四或胸源轴正半轴钟（皱4江）已知爆批的终边过点端暴，且商模，跌帽，则龙缓的取值范围用是絮_____军．苹（避5送）函数继膊的值域是蜻_____咸_____问___叔．糟参考答案：洞（柱1纷）虎B泪；（音2紫）惨C弱；（哭3寸）授C风；（耽4盯）蹲怀；（坝5胸）激铜4外．本课小结车（羊1纸）确定三角伙函数定义域国时，主要应银抓住三角函清数定义中，途比值的分母档不得为零这旨一制约条件白，当终边落度在坐标轴上出时，终边上顶任一点贸救的坐标中，柳必有一分量唱为筐0勇，故相应有弯一比值无意耀义．榨（稠2刺）巷扒时，垂壶，弯漏无意义，这兔两个函数定晒义域为答课时作业：驾1玻．确定下列握三角函数值均的符号馋（冲1淘）栽欲脾（转2盛）极绘序怎（瞧3础）雾秃（弄4冲）宵我吐（扛5熊）揭肃蝶雪（熟6炼）惑2．求值闷（妙1摄）凯菊（垃2捏）钞参考答案：愚1栏．（白1香）＜心0

滥（支2欧）＜碎0

烘（鸟3千）＜思0

石财（肥4犯）＞弯0

卵拍（跑5肆）＜菌0

破萌（图6针）＜惭0游（歪2钉）解：（勒1歪）原式位破挖攻吼亦馅腐欧谷碗（记2宵）原式胀葡尼系馋蜘朋典型例题裳例冻1

鼠若角途见的终边经过除点高伶，试求株幕的六个三角济函数值和角雕杠的集合俗阳，并求出集纱合贤船中绝对值最妻小的角．如查图所示．斥分析：露应先找出党府的值．令解：轮∵扭乳，庙急，∴．则，，，，苦张，州玻．又∵，∴．．洗故闲乎中绝对值最香小的角是卸大．剩说明：此例沉是典型的考乡查定义的题绣．轰例蓝2

首已知角残霸的终边上一滴点网龙，（责哑）求角刻幅的六个三角布函数值．稠分析：锦与上例一样系，应先求出策摘及寒胶．馒解：弃∵陪冬，则，货助∴添啊，洞客，玉狸，碧壤，崖习，宅纲．师说明：此类吓题目应用定幅义解，但若游此类题目没汗有给出修蜜的取值范围迎，要分类讨叠论求解．崭例炉3

死当卷您为第二象限和角，试求针楚的值．倡分析：烂应先由岗遍为第二象限战角这一条件姿求出绝对值刻再求值．机解：当敌乓为第二象限退角时，刚壳，秀林，牧故誉榜．钥说明：此类晃题目旨在考嫩查对符号的钻判定．否例窝4

无若杨库，且掩弊，试确定贴朽所在的象限垫．扒分析：首用不等式表字示出俱虹，进而求解福．毙解：涝∵秧膊，仿∴顶渐在第一或第润二象限，即．扫则吹擦．少当傲茫，有．尼当研烂，有．国故卧灭为第一或第嘉三象限．命又由李饥，可知卧登在第二或第苗三象限．演综上所覆述，理旅在第三象限境．垒说明：应注型意在求此题俯的最终解答想时，要找出铜滋所在有关集周合的交集．腰例趴5

港计算：寿（葵1舌）练歉；跃（垂2挺）略锈．幻分析：燃应利用课本数中给出的公势式以及由此崭推得的下列江公式化简求孕值．；；．率解：（杜1检）原式．州（估2附）原式橡拍辨刊肾弱窗祥．汗说明：应对衬特殊角的三店角函数值熟耍练掌握，以楼便准确应用时．脾例判6

纺已知她级为锐角，试都证：太坦．晃分析：想应在角侨疼的终边上任颜取一点，应服用三角函数地的定义来解观之．贴证明：芽在角做懂的终边上任危取一点脑漫（异于原点族），则睬味梦，晕片．派涌∵谁淋为锐角，量∴虹貌，呀拥．呢嘴镰惊，又．膏故摆蒸．眠说明：（伙1失）本例中，蜓运用三角函晕数的定义，赤将三角函数围表示为比例琴，从而将三前角问题转化耳为代数问题站而获解，这拜是一种十分词重要的解题观方法，应引雪起重视．那（狸2谢）本例中，钩应用了栏嗓，置槽．这种基本貌的不等关系值应熟悉．扩展资料三角函数酬正弦函底数、余弦函盲数、正切函画数、余切函院数、正割侍函数、余割搞函数统称为钻三角函数（阶Trigo病nomet池ricf买uncti翠on）。叶尽管三庙角知识起源暗于远古，但阳是用线段的网比来定义住三角函数，贝是欧拉（1港707-1侄783）在招著名的《无缸穷小分析引近论》一书中利首次给出的补。在欧拉之任前，研究堆三角函数大您都在一个确玉定半径的圆坟内进行的。好如古希腊的禽托勒密（8洽5-165始）定半径为混60；印度铅人阿利耶毗乏陀（约47场6-550或）定半径为蜡3438；戚德国数学家补里基奥蒙特袖纳斯（14固36-14坏76）为了眨精密地计默算三角函数燃值曾定半径泳为600,从000；后佩来为制订更则精密的正弦委表又定半径振为10碗7师。因此，当耻时的三角函村数实际上是自定圆内的一悠些线段（如孙弦）的长。杆乎意大利影数学家利提庄克斯（15答14-15君26）改变勒了前人的做激法，即过去竹一般称AB樱为说的正弦，把日正弦与圆牢封牢地连结在底一起（如图懂），而利提州克斯却把它气称为∠AO征B的正弦，条从而使正弦浇值直接与角赶挂勾，而使猛圆O成为从仁属地位了。朽切到欧拉输时，才令圆泼的半径为1韵，即置角于想单位圆之中阻，从而使三仙角函数定义拉为相应的线潜段与圆半径冲之比。扩展资料梦三角学的历南史打早期三岗角学不是一俊门独立的学折科，而是依雀附于天文学篇，是天文观补测结果推算睡的一种方法盘，因而最先体发展起来的粉是球面三角熟学．希腊、基印度、阿拉奖伯数学中都帅有三角学的茄内容，可大烈都是天文观混测的副产品织．例如，古卫希腊门纳劳蚀斯（Ｍｅｎ柜ｅｌａｕｓ尖宫ｏｆ泽筒Ａｌｅｘａ筐ｎｄｒｉａ幅，公元雁100求年左右）著受《球面学》敌，提出了三减角学的基础京问题和基本掘概念，特别肚是提出了球娇面三角学的嘉门纳劳斯定将理；犯50阻年后，另一匹个古希腊学坛者托勒密（城Ｐｔｏｌｅ城ｍｙ）著《壤天