模型的动力学

PAGE2PAGE7有限理性Bertrand模型的动力学分析摘要：研究了具非线性成本的有限理性Bertrand模型的动力学，分析了此非线性系统均衡的存在与稳定性问题，观察到了分叉、混沌行为等复杂现象，并对混沌现象的影响及控制做了有益的探讨。关键词：有限理性；Nash均衡；动态演化；稳定性中图分类号:F713文献标识码:ADynamicsofBertrandmodelwithboundedrationalityZengxiang-jin,Yiqi-guo(SchoolofSciences,WuhanUniversityofTechnology,Wuhan,Hubei,China,430070

)Abstract:ABertrandmodelwithboundedrationalityarestudied.Weanalyzetheexistenceandstabilityofthenonlinearsystem,andobservethecomplicatedphenomenonsuchasbifurcationandchaos.Wealsostudytheinfluenceandcontrolofchaosandgainsomehelpfulresults.Keywords:boundedrationality;Nashequilibrium;dynamicalevolution;stabilityZengXiang-jin:Prof.;SchoolofSciences,WUT,Wuhan430070,China.1引言近年来,关于有限理性条件下的寡头博弈的研究工作引起了越来越多的经济学者的兴趣。Bischi和Naimzada研究了一个具线性成本的有限理性双寡头博弈模型，Ahmed,Agiza以及Hassan等把Puu的模型修改成具非线性成本的有限理性多寡头博弈模型和不同行为规则的寡头非线性博弈的混沌动力学,观察到了分叉、混沌行为等复杂现象。Yassen和Agiza则研究了一个具有滞后效应的有限理性双寡头博弈模型,并发现滞后效应能够增加博弈达到均衡的可能性[1-6]。易余胤,盛昭瀚,肖条军研究了具溢出效应的有限理性双寡头博弈的动态演化[7],指出溢出效应将增加博弈达到Nash均衡的可能性。文章用数字模拟的方法观测到了这一现象,并对混沌现象的出现及其对市场、企业的影响做了有益的探索。他们在不同行为规则下的Cournot竞争的演化博弈模型[8]中，分析了把企业产量动态调整机制和企业行为规则选择机制结合在一起构成一个非线性的演化博弈动态系统,并分析了双寡头竞争的产量均衡和企业对行为规则的选择概率的动态演化。然而，他们研究的寡头模型都是企业选择产量的Cournot模型，近几年在中国西式快餐市场,双寡头麦当劳和肯德基之间的竞争在价格上频频做文章，胶卷市场富士激战柯达也是以降价作为利器。这些实例表明有必要探讨寡头企业选择价格的Bertrand模型的动力学机制，并就此探讨混沌的出现对市场的影响，并为企业在混沌市场中生存发展提供理论参考。2模型分析假设pi(t)是第i个寡头在时期t的价格，i=1,2,t时期的产量q是由双方的价格决定的一个线性逆需求函数为qi(pi,pj)=a-pi+bpji,j=1,2,ij，其中常系数a>0,b<0,表示两企业的产品是互补的,b>0表示两企业的产品是可替代的。两个企业的成本函数为非线性形式ci(qi)=cqi2,即为简化讨论，假设俩企业的生产方式类似。第i个企业的利润函数为混(p咬i潜,p成j拥)=p旦i须q恼i型-cq屠i名2珠循剪i,j=栏1,2,链i谱j世假愈设葵每个寡头企阔业都是有限侨理性的察，煤他们进行重温复的穷Bertr自and廊饰双寡头博弈幅,宁他们都不完罗全清楚需求枪函数轨,分只是在每一田期根据对边必际利润的估聋计来更新他成们的生产策姿略袜：绝在每个时期羡t昌,舱如果估计的倚边际利润是虚正纳(光负妇)乎的春,烟那么企业将涨增加鼻(跑减少徐)蜡第嫁t+舟1资期的价格形.击每一期的边惩际利润按如土下估计蜻:椒Φ注i吓(t)=泡=锈a完(茂1+2沃c)-押2殖(惯1室+c)p答i形+(尤1+2扛c)bp宪j侵,燥拳i,j诊=1,2,芒葵i悔j蹲老霜(1)其中股禾-霜<b<甜去脑愁痒故宝(脖2)伴那么描述爪Bertr农and遥筐双寡头重复柱博弈的价格打动态调整机扶制可以表示明为讯p驶i凯(t+1)荡=p善i秋(t)+黎α卸i烫(p提i洋)Φ苏i赶矿,供饶i=校武1梢,望2哭威长躬刻(由3航)裤这里函数神α掩i晶(p观i旅)>彩0时,挤它表示第拜i横个企业相应休于他所估计星的边际利润胶的产量调整树幅度杨。平有了这个动眼态调整机制抄,稳完全理性博州弈的两个假劫设条件就可泽以放宽乖:剂双寡头不需赤要需求函数碑的完全信息金,虏只需要推断钻产量发生小何变化时市场趟如何反应钉。压产量的变化际由对边际利娇润的估计决洽定扣。系显然苍,竿对边际利润碎的局部估计藏要比获得需盟求函数的完侵全信息容易恳得多刃。取这种每一期历重新决定产届量的动态调械整机制比道传统经济学己的瞬间调整畜更贴近现实休,虫因为现实的市市场经济中赤,榨产量决策不虾可能在瞬间睡改变坑。流假设函数司α伤i堤(p爆i乐)浸剧为线性函数用,α迟i分(p起i亡)=α振i掩p婚i歪,i百=卵1喘,厚2兼,术即假设产量叹的相对变化捏与边际利润世是成比例的鱼,五即会[p筐i仿(t+穗1百)-p虫i济(t)]/延p受i碍(t)=探α晌i之Φ护i黎这里稳α幅i石证表示产量调刮整速度的正创常数草,所代表企业对惜每单位产品狸利润信号的胶反应速度传。骄动态系统探(区2牌)矮可以写为如陶下形式拒p学i努(t+1)肆=p爸i破(t)+促α既i哑p粒i刘(t)扰[壁a(律1+2忘c)成-2孔(玻1碰+c)p少i帝+(货1+2顿c)bp挤j弱]厨坚(4蹦)写从经济学的最观点紫,馅只有非负均伙衡才有意义衣。划可以定义这循个有限理性炉双寡头重复烧博弈的均衡种点为系统沸(茧4双)韵的非负定点叮。肢则在系统袍(兆4吴)黄中令那p绿i老(t+1)气=p纸i织(t)委,抚i毁=箩1惩,观2双得到非线性若系统左(4)盯的4个均衡暂为份E兴0痛=(0,0货),E狮1仰=(驱,0),锋E亏2句=(0,壶研),E端*=(p*躁,p*)庄其中延p炎*=祖>0,吨即示b<叶不妨称均衡怀E丘0啦鸡,菠失E潮1若鸡,因E岗2杆为有界均衡昏,哗均衡亩E*幸为辈Nash牺均衡妥。惰下面研究这值些均衡的局逢部稳定性招。值先计算系统瘦(东4悦)攻艇的母Jacob滔ian沉矩阵密,叹即从J=欢在有界均尸衡点计E热0敌透处尿,夸Jacob光ian肿矩阵为J=剃它的特征值拣为迁=猛和近=枯显然远，腥>拍1饺，仙目>发1栋,恨逮故战E包0墓不稳定。战在有界均衡娱点雁E盐1自努处听,齿Jacob副ian糖矩阵为J=哪它的特征值商为肃=错和到=谢，它们的特算征向量为岗r打1拘(1)迷=(1,0除)和r扰1件(2)京=(1,押)讲.台箱因此丙,副E岛1票狭是一个鞍筑点。当校α卧1她软<雁2/队[习ɑ食(1+2趟c察)援]适时孤,脸沿着历q役1故斜轴的轨线是昨稳定的暂,黎沿着禾r哥1垃(2)撕的切线不稳阅定摧。旱算此外腔,虫E超1和蜘是不稳定节渡点举。吗E科2死设和凶E傅1荷乘具对称结构挎,谁故潜E破2份骗也是一个鞍胜点顷。抖孕下面研究N盘ash均衡势E*=(p堵*,p*)需的局部稳定赚性。先计算推E*羽点处的Ja荣cobia皮n矩阵为J=壤其中遣x保=a(训1+2狡c)+[(锯1+2什c)b性-4敏(利1搬+c)]p适*，元特征方程为搬P(肆)＝护2话－trJ遣+det纤J=0必这里trJ刺为喜Jacob帝ian开矩阵的迹，难detJ为吊Jacob侵ian邮矩阵的行列扩式，表示如毙下雨trJ=绵2+(涝α故1歌+涨α博2市)乏x允detJ=炒1+(室α肝1腾+梅α莲2略)糟x联+翼α芒1背α童2票[很x销2籍-b查2两p*青2虹(1+2善c拢)纱2佩]料因为羊trJ翠2砍-4det贞J=扇x剖2皱(孝α泳1溉-α德2阁)耗2挎+4港α扎1衫α锁2汽b虽2勉p*柿2趋(1+2刷c沙)丧2必>0底眯这说明妙Nash牧均衡协E*邪的特征值是跳实的膝。昂那么灯,富下面给出繁Nash担均衡还E*商稳定的充分斧必要条件崇。丝Nash芝均衡的局部遭稳定性可以房用陕Jury联条件给出升,哪即喘1）阅1滥-肌trJ务+框detJ税挣=纺α聚1钳α覆2车a邮(1+2壤c槐)饮[鲁a墨(1+2吐c陷)+2残bp*绿(1+2遍c)镰]>0,弯当且仅当爪b扑>-侮，符合式椒(2)虽;丢2）逝E*驻丙的局部渐近痕稳定的充分对条件是誓1+t届rJ+蚕det拾J宾>0急即罪4+2(顷α杜1随+树α呢2访)朗x+式α蜜1艇α罢2衔[怒x掏2蛮-b箱2易p*图2竹(1+2逐c蹦)标2僵]>0侵上面这个方押程定义了亮E*之的一个稳定消区域担,凳这个稳定区雷域由一段双标曲线与殃α贷1秧,诚α统2纵推的正半轴界壮定羽。拦Nash锅均衡孙E*目在这个区域奶内是稳定的训均衡点馆,舌但篇α纪1吹嚼,α冈2皱一旦超出这敌个区域殃,及E*绕就变得不稳普定折,宁并在点此A诚1拉戒=(-2涉/挑x进,0)池和伐A旷2亏=(0,-涛2/婶x互)绑处开始出现嘱分叉。辉显然唇,第E*泉的稳定性依畜赖于系统参低数斧。宫事实上栽,灰若增加确保魔E*氏局部稳定的按参数集中的听α团1仆粱,α筝2特的值机,机使得恨α板1胃，切α孙2长惊离开稳定区浩域盒,盲都将引起分撑叉选。蓄3睁数字模拟恐及结论乓本节通过数药字模拟显示垃这个有限理称性双寡头博桐弈非线性系青统斯(交4怕)的的动态演化塌。答香图耕1波为有限理性顶Bertr诸and截低双寡头博弈闻动态演化图衔。均淹参数值为惯a=此3.5魄，竞b=抄-0.站2镜5禁,朗c叶雕=批0迹.承5躲，悼α弦1眉=0.33婆,液图2为有限婶理性洁Bertr孩and葛双寡头博弈乖的混沌吸引出子。乔参数值为你a=撤3.5挡，斗b=节-0.25佳醒,悼c俊茎=着0幸.箩5，件α灰1贫=0.33知,肠膏α闻2界=0.43箩。嘴白半图声1慌有限理性仰Bertr尤and扎双寡头博弈迷动态演化图已敬图沸2编彩有限理性煎Bertr饶and汪双寡头博弈另的混沌吸引葡子录在本文中皱,得产量调整速疫度起着一个死扰动作用垮,巴增加它的值屠可能使流Nash却均衡不再稳饼定慨,木而且还会出姨现更为复杂寨的混沌现象级。达从图监1争、图梦2鸡可以看到能,地混沌的出现庸是敏感的依蒸赖于系统的裕初始条件的稀,原初始条件的评细微变化能强够导致系统夕未来长期运理动轨迹之间咽的巨大差异饲。耐在本文中脖,虏产量调整速稠度的最大值叙就是混沌出净现的临界值枯,乌只要有限理船性双寡头估鸭计的产量调遵整速度小于蛇这个临界值贼,胆竞争双方的转产量在重复抖博弈多次后昏都会动态地液趋向于均衡肉状态淘。舌然而舅,鸣一旦超过这灭个临界值炎,部产量调整就惰进入到混沌饺状态锐,征市场出现不馋可预测性咬,诵此时脑,双双寡头都无沈法决定长期限动态调整后迷的产量奔。披因此挎,砖为使市场处绝于平衡态罚,剩彻企业应当慎贱重选择博弈烛的初始条件让。佛4续结束语狡研究双寡