江西省名校2022-2023学年数学高三第一学期期末质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，平面a与平面月相交于8C,ABua,CDu/3,点4走比?,前D生BC,则下列叙述错误的是（）

A.直线与8C异面

B.过只有唯一平面与平行

C.过点。只能作唯一平面与8C垂直

D.过AZ）一定能作一平面与8C垂直

2.已知命题p：“a>6”是"2">2&”的充要条件;<7：3xeR,|x+l|<x,则（）

A.（R）vq为真命题B.Pvq为真命题

C.PA4为真命题D.1<7）为假命题

3.在△A8C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB+bsinA=c.若a=2,AABC的面积为3（近一1），

贝!]/?+c=（）

A.5B.272C.4D.16

4.已知斜率为A的直线/与抛物线C：V=4x交于4,8两点，线段48的中点为"（1,机）（加>0）,则斜率"的取

值范围是（）

A.（-oo,l）B.C.D.[1,+℃）

5.已知函数f(x)=sin2Mx—GsinMxcosMx,则/⑴+/.⑵+...+八2020)的值等于()

444

A.2018B.1009C.1010D.2020

6.已知集合A={0,1,2},B={x|x(x—2)<0}4!]AnB=

A.{1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}

7.已知集合A={x[Y<]},B={x\\nx<l},则

A.An^={x|0<x<e)B.An^={x|x<e)

C.A|J£?={x|0<x<e}D.AlJB={x|-l<x<e}

a-,a,an1

8.已知数列q,—,一,・・工是首项为8,公比为二得等比数列，则由等于（）

qa24I2

A.64B.32C.2D.4

2y2

9.已知双曲线x二=1（。>00>0）的左、右焦点分别为斗巴，过心作一条直线与双曲线右支交于A,B两点,

a一瓦

坐标原点为。，若/+/,忸用=5%贝！］该双曲线的离心率为（）

V15

A.B.—

2亍

io.如图是计算;+；+春+:+5值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）

A.k>5

k<5

C.k>5

D.k<6

11.已知数列｛4｝为等差数列，且q+4+%i=2%,则sin（%+%）=的值为（

]_]_

旦D.

.~r22

12.下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角

形ABC的斜边8C、直角边AB、AC,已知以直角边AC、A8为直径的半圆的面积之比为［，记NABC=a,则

4

cos2a+sin2a=（）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知复数Z=（"2）2（i为虚数单位），贝！Jz的共物复数是,|z|=.

14.点（2,1）到直线3x+4y=0的距离为

22/T

15.已知椭圆C：I+方=13＞。〉0）的离心率是学，若以N（0,2）为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为

V26.此时椭圆。的方程是.

16.某次足球比赛中，A,B,C,。四支球队进入了半决赛.半决赛中，A对阵C,8对阵。，获胜的两队进入决

赛争夺冠军，失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示.

ABCD

A获胜概率—0.40.30.8

B获胜概率0.6—0.70.5

c1获胜概率0.70.3—0.3

。获胜概率0.20.50.7—

则A队获得冠军的概率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，过点M(2,2)且平行与X轴的直线交椭圆］+>2=机(加>0)于4、8两点，且痴'=3砺.

(1)求椭圆的标准方程；

11

(2)过点/且斜率为正的直线交椭圆于段C、D,直线AC、80分别交直线x=2于点E、F,求证：河一口用是

定值.

18.(12分)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,/7,c,若当a=B(sinC+百cosC).

(1)求角8的大小；

7T

(2)若A=g，。为AA3C外一点，03=2,8=1,求四边形A3DC面积的最大值.

19.(12分)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保

护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理

科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4

人参加学校的环保知识竞赛.

(1)设事件A为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有“，求事件A发

生的概率；

(2)用X表示抽取的4人中文科女生的人数，求X的分布列和数学期望.

20.(12分)如图，在三棱柱ABC-A/1C1中，AiAJ_平面ABC,ZACB=90°,AC=CB=CiC=l,M,N分别是A8,

4c的中点.

(1)求证：直线MNJ_平面AC&；

(2)求点G到平面BtMC的距离.

21.(12分)已知a>82:0,。2c，"，且就2cd.

(1)请给出a,上c,△的一组值，使得a+b22(c+4)成立；

(2)证明不等式a+Z?2c+d恒成立.

22.(10分)已知矩形A6C。中，AB=2BC=4,E,尸分别为AB，CD的中点.沿EF将矩形AEFD折起，使

ZAEB=\350,如图所示.设尸、。分别为线段。尸，8C的中点，连接PQ.

(1)求证：PQ〃平面DEB；

(2)求二面角A-8E-。的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断.

【详解】

A.假设直线与8c共面，则A,D,B,C共面，则AB,B共面，与ABua,COu,矛盾，故正确.

B.根据异面直线的性质知，过只有唯一平面与3C平行，故正确.

C.根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.

D.根据异面直线的性质知，过AD不一定能作一平面与8c垂直，故错误.

故选：D

【点睛】

本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

2、B

【解析】

由y=2'的单调性，可判断p是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q是假命题，依次分析即得解

【详解】

由函数y=2'是R上的增函数，知命题P是真命题.

对于命题q,当X+l»(),即xN-l时，|x+l|=x+l>x；

当x+l<0,即X<-1时，=

由—x—得x=—二，无解，

因此命题q是假命题.所以(rp)vq为假命题，A错误；

为真命题，B正确；

0人4为假命题，C错误；

p/\(F)为真命题，D错误.

故选：B

【点睛】

本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.

3、C

【解析】

根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得A=工，再根据面积公式可求得历=6(2-0),再代入余弦定理求解即可.

4

【详解】

△ABC中,acos8+bsinA=c,由正弦定理得sinAcosB+sin8sinA=sinC,

又sinC=sin(A+5)=sinAcos3+cosAsin3,

:.sinBsinA=cosAsinB,XsinB0,/•sinA=cosA,AtanA=1,又Aw(0,%),

，A=%.,S.ABC=*sinA=去be=3(6-1),

be=6(2-V2),Va=2,.,.由余弦定理可得a?=(b+c)2-2bc-2Z?ccosA,

：.S+C)2=4+(2+BWC=4+(2+夜)X6(2-0)=16,可得〃+C=4.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.

4、C

【解析】

设出为，%),B(X2,y2),设直线/的方程为：y=kx+b,与抛物线方程联立，由A>0得幼<1,利用韦达定理结

合已知条件得人=2±-±小,/〃=2*,代入上式即可求出攵的取值范围.

kk

【详解】

设直线/的方程为：y=kx+b,A5,y),B(x2,y2),

v-+b

联立方程1「，消去)'得：k2x2+(2kh-4)x+b2=0,

y=4x

=(2妨-4)2-4氏2b2>0,

:.kb<\,

4—2kbb2

且％+々厂，中2=涯

4

y,+y=k(X]+x)+2b=~,

22k

••・线段AB的中点为(ZM>0),

4-2kb.4c

—=2，+y2=-=2/n,

:.bx2

m=一,

k

m>0,

：.k>0,

2-k2

把力=一■代入妨<1,得2—%2<],

k

k2>l>

：.k>l,

故选：C

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题.

5、C

【解析】

首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4,然后借助于三角函

数的周期性确定其值即可.

【详解】

解：/(x)=sin2>/3sin—xcos-^-x.

444

17Tyj3.Tr

=—(Z11-cos-x)------sm—x

2222

./万乃、1

=-sin(—x+—)+-,

262

「/、..7C7T、1

JM=—sin(—x+—)+—，

262

T2乃

・•・/(X)的周期为£,

2

/⑴=1，〃2)=1，〃3)=¥，〃4)=0，

/(l)+/(2)+43)+〃4)=2.

.•,/(1)+/(2)+-+/(2020)

=505x[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]

=505x2

=101().

故选：c

【点睛】

本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于

中档题.

6、A

【解析】

先解A、B集合，再取交集。

【详解】

x(x-2)<0=0<x<2,所以B集合与A集合的交集为{1},故选A

【点睛】

一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。

7、D

【解析】

因为4={x|f<1}={x|-l<x<l},B={x|lnx<l}={x|0<x<e),

所以AnB={x[O<x<l},AUB=W-l<x<e},故选D.

8、A

【解析】

根据题意依次计算得到答案.

【详解】

根据题意知：6=8,a=4,故&=32,2=2,田=64.

4a2

故选：A-

【点睛】

本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.

9、B

【解析】

由题可知|Q4|=c」忸用，々Ag=90。，再结合双曲线第一定义，可得|4周=|4国+2。，对放“片3有

|做「+朋2=研2,

即(,用+2a『+(|A周+3。丫=(5。『，解得|伍|=凡再对Rt368，由勾股定理可得/+(3a『=(2c)?,化简

即可求解

【详解】

如图，因为忸用=5“，所以|叫|=5a-2a=3a.因为|OA|=c=；忻用所以/平g=90。.

在—A耳8中，kG『+|AB『二|%『，即(|A用+2ay+(|A用+3a『=(5af,

得|AE|=a,贝1||A用=a+2a=3a.在RtAAF；鸟中，由/+(3“f=(2c『得《，=孚.

故选：B

【点睛】

本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题

10、B

【解析】

根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,进而可得判断框内的不等

式.

【详解】

因为该程序图是计算；+；+:+g+$值的一个程序框圈

所以共循环了5次

所以输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,

即判断框内的不等式应为Z26或%>5

所以选C

【点睛】

本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题.

11、B

【解析】

由等差数列的性质和已知可得4=可，即可得到/+为=等，代入由诱导公式计算可得.

【详解】

2万

解：由等差数列的性质可得4+%+4i=34=2万，解得牝=彳，

4+佝=2%=可，

./、.4兀.(万、.乃V3

sin(a,+)=sin—=sinI^-+-jI=-siny=--—

故选：B.

【点睛】

本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题.

12、D

【解析】

根据以直角边AC、AB为直径的半圆的面积之比求得一上=二1，即tana的值，由此求得sina和cosa的值，进而求

AB2

得所求表达式的值.

【详解】

1AC1112

由于直角边4C、A3为直径的半圆的面积之比为一，所以一=一，即tana=-,所以sina=—^,cosa=下,

4AB22J5J5

所以cos?a+sin2a=

故选：D

【点睛】

本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3+4/5

【解析】

直接利用复数的乘法运算化简，从而得到复数Z的共甄复数和Z的模.

【详解】

•.•z=（i—2）2=『—41+4=3—43则复数二的共枕复数为3+4i,且同=丁?+（-4]=5.

故答案为：3+4z；5.

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题.

14、2

【解析】

直接根据点到直线的距离公式即可求出。

【详解】

|3x2+lx4|

依据点到直线的距离公式，点（2,1）到直线3x+4y=0的距离为=2。

V32+42

【点睛】

本题主要考查点到直线的距离公式的应用。

丫2v2

15、—+—=1

189

【解析】

根据题意设P（x°，%）为椭圆上任意一点,表达出|PN『,再根据二次函数的对称轴与求解的关系分析最值求解即可.

【详解】

rr22

因为椭圆的离心率是乂二,/=尸+,所以片=2巴故椭圆方程为匚+乌=1.

22b-b2

因为以N(0,2)为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为V26，所以椭圆C上的点到点N(0,2)的距离的最大值为

V26.

22

设P(%,%)为椭圆上任意一点测金+*=1.

所以IPNf=x°2+(%-2)2=2《1_$卜(%_2)2

22

=-y。-4yo+2b+4(-b<y0<b)

因为/(%)=一%2-4%+»2+4(一人〈为Wb)的对称轴为%=-2.

⑴当b>2时,/(%)在［一反一2］上单调递增，在［-2,b］上单调递减.

此时九*(%)=/(-2)=8+归=26,解得〃=9.

(ii)当0〈人42时，/(%)在［—"可上单调递减.

此时九*(%)=/(-8)=〃+劭+4=26,解得/,=后—2>2舍去.

22

综上。2=9,椭圆方程为上+上=1.

189

22

故答案为：—+^=1

189

【点睛】

本题主要考查了椭圆上的点到定点的距离最值问题,需要根据题意设椭圆上的点，再求出距离，根据二次函数的对称轴与

区间的关系分析最值的取值点分类讨论求解.属于中档题.

16、0.18

【解析】

根据表中信息，可得A胜C的概率；分类讨论B或D进入决赛，再计算A胜B或A胜C的概率即可求解.

【详解】

由表中信息可知，A胜C的概率为0.3;

若B进入决赛，B胜D的概率为0.5,则A胜B的概率为0.5x04=0.2；

若D进入决赛，D胜B的概率为0.5,则A胜D的概率为0.5x0.8=0.4；

由相应的概率公式知，则A获得冠军的概率为P=0.3x(0.5x0.4+0.5x0.8)=0.18.

故答案为：0.18

【点睛】

本题考查了独立事件的概率应用，互斥事件的概率求法，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)工+£=1；(2)证明见解析.

2412

【解析】

(1)由题意求得的坐标，代入椭圆方程求得〃?，由此求得椭圆的标准方程.

(2)设出直线CD的方程，联立直线8的方程和椭圆方程，可得关于x的一元二次方程，设出的坐标，分别

11

求出直线AC与直线BD的方程，从而求得民厂两点的纵坐标，利用根与系数关系可化简证得口词一向为定值.

【详解】

(1)由已知可得：A(-4,2),8(4,2)

代入椭圆方程得：机=12

22

椭圆方程为土■+工=1;

2412

(2)设直线的方程为y=%(%一2)+2,代入/+2/=24,得:

(1+2女2)/+8左(1—»x+8公—16%—16=0

8Mz-1)8左2—16%—16

设C1(石,%)，£>(马,%)，则有再+/=

1+2公1+2公

k(x.—2)、6Mxi-2)

则AC的方程为丁=~^(z》+4)+2,令x=2,得先一二+2

玉+4、/xt+4

双)的方程为y='(*二?)(x—4)+2,令x=2,得=3^3+2

V7

X2-4X2-4

11_11_x}+4X2-4

yE-l~2-yF~6k2k(x2-2)

(X]+4)(&-2)—3(%2—4)(玉—2)—2%1%2+10(%+，2)-32

6汰[尤]%2-2(玉+w)+4]

6/c(Xj--2)(X2-2)

8必一16%-16

-2

1+2公

8%2—16Z—16c8人("1)一

6k1+2P-2-r4-

1+2%2

—16k2+32左+32+80%280〃—32—64%2-48左2

=---=----------------------------------=-=-----=——讦毕

6A[弘2_1616-16公+16左+4+8/]-12k3'"十。

【点睛】

本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是难题.

18、(1)B=N(2)至+2

34

【解析】

(1)根据正弦定理化简等式可得tan8=6,即8=?

(2)根据题意，利用余弦定理可得5C2=5-4COSO,再表示出履8/=sin。，表示出四边形邑皿。，进而可得最

值.

【详解】

(1),/A/3«=Z>(sinC+V3cosC),由正弦定理得：V3sinA=sinB(sinC+>/3cosC)

在AABC中,sinA=sin(8+C),则百sin(B+C)=sin8sinC+百sinBcosC,

即VScosjBsinC=sin8sinC,

sinC/0,5/3cosB=sinB,即tan8=百

TT

B=y.

(2)在AfiCQ中，BD=2,CD=1..BC2=12+22-2xlx2xcosr>=5-4cos£>

2

又4=三，则AA3C为等边三角形，S^ABC=1BCxsin-73cosD

3234

又SRM，=—xBDxDCxsin。=sinD,

/AO/JC2

-

SABCD=^^-+sinD-5/3cosD=+2sin(£)y)-

二当。="时，四边形ABC。的面积取最大值，最大值为述+2.

64

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题.

4

19、(1)(2)见解析

【解析】

(1)按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可(2)由超

几何分布求解即可

【详解】

(1)因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人,

文科男生1人，女生3人.

4

所以()一C,0一210一

(2)X的可能取值为0,1,2,3,

P(x=o)=牙二

Go6

P(X=1)=甘=5，

CIO乙

*=2)=蟹得’

「依3)=箸$，

X的分布列为

X0123

31

P

621030

L1Z八1,1c3cl6

EX=0x—F1x—F2x-----F3x—=一.

6210305

【点睛】

本题考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题

20、(1)证明见解析.(2)旦

3

【解析】

(1)连接AG,8G,结合中位线定理可证MN〃5G,再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证ACL8G,

BCi±BxC,即可求证直线MN_L平面AC81：

(2)作MP_L8C交于点P,通过等体积法，设G到平面8cM的距离为人则有3sBi火力,结合

几何关系即可求解

【详解】

(1)证明：连接AG,BCx,则NCAG且N为AG的中点；

••,M是A8的中点.

所以：MN〃BCi；

,.•AMJL平面ABC,ACu平面ABC,

：.AiAl.AC,

在三棱柱ABC-Ai&G中，AA1//CC,

...ACLCG,

VZACB=90°,BCHCCt=C,3Cu平面881clC,CGu平面B81GC,

...AC_L平面BBCC,BCu平面BBxCiC,

.".ACrBCi；又MN〃BC\

：.AC±MN,

VCB=CiC=l,

二四边形BBCC正方形，

：.BCi±BiC,：.MNVBiC,

而ACnBC=C,且ACu平面ACB1,C%u平面ACBi,

.,.MN_L平面AC&,

(2)作MP1BC交于点P,设G到平面BxCM的距离为h,

因为MP=g,S^CC[=1,

所以％.用cq=；,S“B1cG•■0=正’

5

因为CM=芋，BIC=6；

BiM=员,所以

2

1Zo

所以：

24

因为必_0MC=Vw-4GC，所以3SB、MC，3*^B1C|C,解得"3

所以点G，到平面AMC的距离为B

3

【点睛】

本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，一般证明面面垂直都用线面垂直转化为面面垂直，而点到面的距

离常用体积转化来求，属于中档题

21、（1）a=2b=Lc=L1=—1（答案不唯一）（2）证明见解析

【解析】

（1）找到一组符合条件的值即可；

cd

（2）由a，c2△可得（。一c）（a-，0，整理可得a2+c