河北衡水中学2023届高三模拟数学试题附解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.

2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知有A、B、C、。四个命题，其中A为B的必要条件，B为C的充分条件，C为O的必要条件，。为

A的必要条件.若增加条件使得A、B、C、。中的任意一个命题均为A、B、C、。四个命题的必要条件，则

这个条件可以为（）.

A.B为C的必要条件B.8为A的必要条件

C.C为。的充分条件D.B为。的必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先由题设条件得到AuBnCuOuA,再利用充要条件的传递性对选项逐一分析即可.

【详解】因为A为8的必要条件，B为C的充分条件,C为。的必要条件，。为A的必要条件，

所以即AuBnCuOuA,

对于A,若B为C的必要条件，即3<=C,则AuBoCuOuA,

所以A、B、C、。互为充要条件，则4、B、C、。中的任意一个命题均为A、B、C、。四个命题的必要条

件，故A正确；

对于B,若8为A的必要条件，即BuA,则=易得B不是C的必要条件，故

B错误；

对于C,若C为O的充分条件，即C=O,则Au6=Co£>uA,易得8不是C的必要条件，故

C错误；

对于D,若B为。的必要条件，即则=且BuO,易得8不是C的必要

条件，故D错误.

故选：A

2.复数z=a+历若g—1=2,则（）的值与a、6的值无关.

1111

A.z+-B.z+-C.z一—D.z——

3224

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的运算和模的公式化简条件，确定〃、〃关系，再依次判断各选项.

【详解】因为z=a+例，所以工一1=_^一1=L3="粤"粤=匕心）二四，

za+Z?ia+Z?i+a~+Zr

所以1一1=伫一/二F_bi(b

a2+h2)+(77^

za2+h~a2+h~

又J=2,所以（伫之三b

+=4,

z、a'+b~7TF

^a-a2-b2y+b2=4(/+Z?2)',所以4-2a(4+〃)+/=3(/+/)-,

因为a/¥0,所以所以片+。2+2£=1,所以++从=12

3I3）9

所以z+'=YiQ,即z+2的值与质6的值无关.

333

故选：A.

3.\7XHO,（x+工）可以写成关于（炉+盘）的多项式，则该多项式各项系数之和为（）.

A.240B.241C.242D.243

【答案】D

【解析】

/.\io

【分析】利用换元法，将X+-转化为。+2）5,从而利用赋值法即可求得该多项式各项系数之和.

,1

【详解】因为x+-+2,

X

则1/=卜+斗2]=S)5,

令f=l,则"+2)5=35=243,

所以该多项式各项系数之和为243.

故选：D.

4.函数/(x)的图像如图所示，已知"0)=2,则方程“X)-靖(x)=l在(a,。)上有()个非负实根.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】利用导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理判断方程“X)-靖(x)=l

在(a,8)上的根的个数.

【详解】由图象可得函数/(力在(a,6)上有3个极值点，不妨设其极值点为芯,9,马，其中

<0<x2<x3,

设g(x)=/'(x),//(%)=/(x)-xg(x)—1,〃(x)=r(x)—g(x)—xg[x)=—xg，(x),

由图象可得g(w)=o,g(&)=0,xe(O,Xj)0t,函数/(x)单调递增，g(x)=r(x)>0,又函数

/(x)的图象由陡峭变为平缓，故|g(x)|逐渐变小，

所以当无«0,工2)时，函数g(x)单调递减，g'(x)<。，

当%«人,专)时,函数“X)单调递减，所以g(x)=/'(x)<0,函数的图象先由平缓变为陡峭，

再由陡峭变为平缓，|g(x)|先变大再变小，函数g(x)先单调递减再单调递增，所以g'(x)取值先负后

正，所以存在工4€(/，毛)，使得g'(%4)=0，当xe(w，x4),g'(x)<0,当工€(£,天)，

g'(x)>0,

当》€(天,。)时，函数/(X)单调递增，函数/(X)的图象由平缓变为陡峭，函数g(x)单调递增，所以当

》«玉，。)时,g'(x)>。，

当％e(O,%4)时,g'(%)<0,当X€(X4，b)时，g'(x)>0,

所以当％e(O,&)时,〃'(x)>0,函数〃(x)=/(x)-xg(x)-l在(O./)单调递增，

当工«尤4，，)时，”(%)<0,函数〃(x)=/(x)-xg(x)T在(0。)单调递减，

因为//(0)=〃0)-Oxg(O)—1=1>0,函数从。在(0,七)单调递增，

所以函数〃(x)=/(x)-xg(x)-1在(0,毛)上不存在零点，且//(%)>()，

因为/i伍)=/(8)一大口)一1="/(?i—g伍),

因为小M表示点伍,/回)与点(0,1)的连线的斜率，g(»表示曲线”X)在点伍,/0))处的切线的

b

斜率，结合图象可得,(?T<g。),故〃他)<0,所以函数

〃(x)=/(x)-xg(x)-l在(%4力)上存在唯一零点,

故方程"1)-矿(力=1在(。⑼上有1个非负零点，

故选：B.

5.函数/(x)=j5cos2x-4sinx+5-|3(：0同的最大值为().

A.2V2B.273C.2>/5D.3

【答案】D

【解析】

【分析】利用三角函数的平方关系将/(x)转化为点P到点A8的距离之差，再利用三角形两边之差小于

第三边，结合三角函数的值域即可求得结果.

【详解】因为5cos2x-4sinx+5=9COS2X-4COS2%-4sinx+5

=9cos2x+4sin2x-4sinx+l=（3cosx）"+（2sinx-l）",

所以/（无）=，5cos2x-4siar+5-|3cosx|=J（3COSJC）-+（2sinx-1）一_J（3cosx）-，

故/(x)的最大值转化为点P(3cosx,2sinx)到A(0,l)与3(0,2sinx)的距离之差的最大值,

因为一iWsinxWl,-2<-2sinx<2,-l<l-2sinx<3>

所以1PAi—|「目A8|=7(l-2sinx)2=|l-2sinx|<3,

当且仅当sinx=—l时，等号成立，则|印一|尸3区3,

经检验，此时cosx=0,/（x）=^5X02-4X（-1）+5-|3X0|=3,

所以〃x)«3,即/(x)的最大值为3.

故选：D.

八c17

6.4Z=1+sin0.1,h=e()1，c=1.011(),d=——,a,b,c,4间的大小关系为().

16

A.b>a>d>cB.b>c>a>d

C.b>c>d>aD.b>a>c>d

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数=—1,利用导数与函数单调性的关系证得b>c；利用二项式定理证得

ol+O.l,再构造函数g(x)=x—sinx证得0.1>sin0.1,从而得到。>。；构造函数

/i(x)=sinx--x|0<x<-|,证得sinO.l>!，从而得到a>d；由此得解.

'8I6J16

【详解】令/(x)=e-x—l(x>0),贝i」/'(x)=e'-l>eO—l=O,

所以〃x)在(O,+e)上单调递增，故F(x)>〃O)=eO-O-l=O,即e-x—1>0,

所以e*>x+l，则eom>0.01+1=1.01，即e°」>(1.0『°,故》>c；

因为c=1.0f°=(+0.01)i°,

所以其展开通项公式为几1=。产"、(0.0叶=(0.01)"1，

故Z=(O.Ol)°xC；o=l，4=(O.O『xC；o=O.l，4+1>0，

所以c=LOf°=(1+0.01)°>1+0.1,

令g(x)=x-sin>0),则g'(x)=1-cosx>0,

所以g(x)在(0,+e)上单调递增，则g(x)>g(())=。，即x>sinx,

所以0.1>sin0.1,故c>l+O.l>l+sinO.l,即c>a；

715

令/?(x)=sinx-,则”(x)—cosx—,

868

因为0<x(工，所以且<cosx<l,则cosx>正〉。，故〃(x)>0,

6228

所以/z(x)在［0，k上单调递增，则/?(1)>/?(())=(),即sinx〉Gx,

易知0.1/03],所以sinO.l>2xO.l=-L,则i+sinO.l>l+'=D,即a>"；

V6；8161616

综上：b>c>a>d.

故选：B

7.已知数列｛4｝、｛〃｝J=y，%=闾，(〃6")其中国为不大于彳的最大整数.若4=4=，〃,

-2」2

m<1000,meN+»有且仅有4个不同的f,使得生工内,则也一共有()个不同的取值.

A.120B.126C.210D.252

【答案】C

【解析】

【分析】将〃z表示为92°+。2|+c222+C32、…+C92',其中c()，q，…,Qe｛04｝，且生，。,…,C9不全为

0,m<1000.分析4工2与Co,。，…，。的取值的关系，由此确定满足条件的阳的取值的个数.

【详解】设机=q)2°+C|2i+C22?+C323+…+Cg29,其中c(),q,…,c9G{0」}，且。不全为。，

m<1000,

若=1,则m=1+C2+q22+623+…+eg2。，%=l\=m,

9

1=]+Q2]+q+C423t--Pcs2,b2=/,

若c0=0,则机=c2+c?22+j23+…+Cg29,%=R=m,

m7m

a)=，bj-，

-222

所以若c0=1则，%ob?,若Co=O,则g=〃2，

9

若Co=O,q=0,贝ij/%=+c323H--FC92,%=b1=m,

m.mm,m

出=5，b?=5,%=I，4=]

9

若c0=0,C[=1,贝！Jm=2+Q2?+q2'H---Fc92,ax-bx-m,

m.mm-2,m

b、=—

~2223434

9

若Co=l,=0,贝！=1+，22?+c323H--Fc92,%=a=m,

m-\,mm—\,m-\

■2223434

若Co=l,C1=1,则m=1+2+。22?+q23+…+%29,ax-bx-m,

m-1.mm-3.m—1

=------,“=—,a,=-------,b.=-------，

~2223434

所以q=0时，a3=h3,q=l时，的工々，

同理可以证明q=0时，ak+2=%+2，/=1,a―工々+2，

因为有且仅有4个不同的f,使得巴工田,即c0,q,C2,…,。9中有且仅有4个变量取值为1，其余变量取值

为0,又从，，G，。2，…，。9中任选4个变量有C：）种取法,

故满足条件的机的个数为Gi,即210个,

故选：C.

++

8.平面上有两组互不重合的点，4、4……A”与4、B2……B„（m,rtGN,n>2）,Vre[l,/?],zeN，

区:函=1则2小岛的范围为（）.

n2nnn2

A.—,—B.

mmm'm

2

n〃+〃n-\n2-1

C.—--D.

m2mmm

【答案】D

【解析】

【分析】考虑〃z=l,〃=2的特殊情况，验证选项可得答案.

【详解】当根=1,〃=2时，由题，有V/e[l,2],feN+，|44|=九

得|同|==2.则⑸在以4为圆心，半径为1的圆上，则层在以A为圆心，半径为2的圆上.

又2：:44+1=4刍，则如下图所示，即乖；=瓦8；时，与取最小值为1；

如下图所示，即与刊=244时，片层取最大值为3.

则当根=1,〃=2时，X；：44+1的范围是[1,3],验证选项可排除A,B,C.

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题因点的情况较为复杂，且又为选择题，故考虑利用特殊值验证选项得答案.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.工厂生产某零件，其尺寸。服从正态分布N00,0.0氏2)(单位：cm).其中人由零件的材料决定，且

%>0.当零件尺寸大于10.3cm或小于9.7cm时认为该零件不合格；零件尺寸大于9.9cm且小于10.1cm时

认为该零件为优质零件；其余则认为是普通零件.己知当随机变量X〜N(〃,cr2)时，

/5(X>X/+cr)*0.159,P(X>〃+2b)a0.023,P(X>"+3b)之0.001,则下列说法中正确的有

().

A.々越大，预计生产出的优质品零件与不合格零件的概率之比越小

B.左越大，预计生产出普通零件的概率越大

C.若女=1.5,则生产200个零件约有9个零件不合格

D.若生产出优质零件、普通零件与不合格零件盈利分别为3a,2a,-5a,贝U当左=1时，每生产1000个

零件预计盈利2580a

【答案】AC

【解析】

【分析】对于AB,利用正态分布曲线的图像变化即可得解；

对于C,结合参考数据，求出预计生产出的不合格零件的概率，从而得解；

对于D,结合参考数据，分别求出预计生产出的优质零件、普通零件与不合格零件的概率，从而得解.

【详解】依题意，得〃=10,。2=0.0次2,则b=o.M,k>0,

对于A,当攵变大时，b变大，则零件尺寸。的正态分布曲线越扁平，

所以预计生产出的优质品零件的概率越小，不合格零件的概率越大，则其比例越小，故A正确；

对于B,由选项A可知，预计生产出普通零件的概率越小，故B错误；

对于C,当左=1.5时，cr=0.U=0.15,

则?（X>10.3）=/（X>M+2b）a0023,而

P（X<9.7）=P（X<2cr）=P（X>"+2o■卜0.023,

所以预计生产出的不合格零件的概率为P（X>10.3）+P（X<9.7）«0.046,

故生产200个零件约有不合格零件的个数为200x0.046=9.2*9,故C正确；

对于D,当左=1时，<7=0.1左=0.1,

则P（X>10.3）=P（X>//+3<T）»0.001,P（X<9.7）®0.001,

P（9.9<X<10.1）=P（〃—b<X<〃+b）=l—2P（X>〃+o•卜0.682,

所以预计生产出优质零件的概率为0.682,不合格零件的概率为（）.002,普通零件的概率为

1-0.682-0.002=0.316,

故每生产1000个零件预计盈利1000X[0.682x3。+0.316x2。+0.002x（—5。）]=2668。，故D错误.

故选：AC.

22

10.已知椭圆C：二+与=1,（。>6>0）上有三点4、鸟、p3,A、B分别为其左、右焦点.则下列说

ah

法中正确的有（）.

A.若线段《£、鸟片、鸟片的长度构成等差数列，则点<、鸟、A的横坐标一定构成等差数列.

72

B.若直线68与直线6R斜率之积为-二，则直线耳巴过坐标原点.

a

c.若瑞鸟月的重心在y轴上，则田耳|+田耳|+区耳|=纭

D.面积的最大值为量

3

【答案】ABC

【解析】

【分析】先证明两个结论，结论1为焦半径公式，利用该公式可判断AC的正误，利用同一法可判断B的

正误，结论2为均值不等式，利用该结论可求内接三角形面积的最大值，从而可判断D的正误.

22

【详解】结论1：若尸（％〃）为椭圆。：a+方=1上的的动点，耳为其左焦点，则归耳|=a+?.

证明：\PF\=q（m+cf+〃2="m+c1+b2—；

t°”

l~2~IC2MC

=.a+2mcH----=a+—m,

Va~a

因为"2£（-〃,a],c<Q,故++故|尸耳|=々+£机.

aa

结论2：若玉20,7=1,2,3,4,则内+」+年+z24yxi工2尤3%4.

证明：因为X1+工2_2jx/220，

故王+922衣己，当且仅当用=々时等号成立，

同理凡+%之2我兀，当且仅当时等号成立，

2XXXXX

所以1元3工4+J%%之7Vi2V34=2^X1X2X3X4，

当且仅当X%=工3工4时等号成立，

所以％+X2+刍+*4»4yxi%2%3*4，当且仅当X=/二次3二14时等号成立.

由结论2可得内为24工4«1%+%；4+%）,当且仅当石=马=%3=尤4时等号成立・

对于A、C,设于（乌,伪）,£（%也）,13也），则

由结论1可得：由耳|=a+」,i=l,2,3,

因为2区周=山耳|+出耳故2a+2x^=a+詈+〃+詈，

整理得到：2a2=4+%，故A正确.

因为鸟鸟的重心在》轴上，故幺士竽&=0,

故山耳|+区耳|+区耳|=3a+—（q+a2+—3a,故C正确.

对于B,设《关于原点的对称点为Q,则。（-4，一4），

故&>@=笠，3+么#0,否则与e=0,这与题设矛盾）,

22

4+々2X4一々2一生

故kp^kpF)

"1+"2"1—"：—公

b；1,4+3=1,所以可—£+圣—5=0,

哈b2aba-abb

力26?

所以2，而kppkpp,=--,故kpM=,0,

b；-吠a2312a

因6,Q均在椭圆上，故A，Q重合即直线《4过坐标原点，故B正确.

我们先证明一个命题

22

命题：设P（S"）为椭圆C：二+与=1上点，直线/与椭圆交于不同的两点A8,则ARW面积的最

a~b

大悔为£3ab-

4

证明：当直线/的斜率不存在时，设直线=J

则的面积S=-^x|z-m|x2/jx^l--^-=Z?x|/-w|

24a—2mV

若/>〃?，则S=《yX«-〃2)«-〃2

4;

，6a丫272i2日n。/35/3.

因为一故=——crb~,即SK---ah,

3a2164

故此时S=2叵ab.

当且仅当月（一。,0）,f=|时等号成立,

mux।

同理可证：当，（加时，号皿=¥，仍•

过当直线/的斜率存在，可设/：y="+，,

产+：,,，可得(二+以2左2)』+202^+“2s2一q2b2=0,

由＜

故△=4a%2s2_492+a2k2g2s2_)>0故△一土+小公>。,

而|AB|=EX型亚三透，

b-+crk

\kni-n+s\

又P到/的距离为d=l/L故△碗的面积为:

J1+42

1\km-n+s\r~”2aby]h2-s2+a2k2ab(\km-n+s^y/b2-s2+a2k2

2J1+氏2b~+a~k~b~+a~k~

对于给定的Z,先考虑的〃一〃+s|的最大值，

设〃2=0©05。,=65111。，贝！]=|。左cos6-/?sine+s|

ak-b

,其中sin。=

da2k2+〃y/crk2+b2

若s20,则\hn-n+s|的最大值为7a2^2+Z72+s，

ab(\lcrk1+b2+s)\Jb2-s2+a2k2

此时s<

b-+a2k2

设M=a2k~+b2>则“2〃，故

由结论2可得:

(4+s)(4+s)(4-s)(ViI+5)=((〃+S)(〃+S)(34-3S)(4+S)

1(64丫27/当且仅当5=巫时等号成立,

<——----=-----

-

3\4/162

-s2+a2k2的最大值为孚女2

故[y]a2k2+b2+s)x后

3百

"（。干+的_3百小

故sw，

F77P一—昉

4

若5<0,则|初?一〃+5|的最大值为,“2公+从一S,同理可得54乎6必，

综上，ABAB面积的最大值为九3ab.

4

对于D,考虑耳为椭圆上的点，直线/为直线鸟鸟,

由前述命题可得：面积的最大值为史必，故D错误.

4

故选：ABC.

【点睛】思路点睛：椭圆上的动点到焦点的距离可以转化为动点的某坐标与离心率、半长轴的关系来处

理，而多变量的最值问题，往往是通过降低变元的个数逐步处理.

元、

11.已知函数/(x)=asinx---+-戾inx+一,其中〃、b>0.则下列说法中正确的有().

4JI4J

A./(X)的最小值为一。

B.7(x)的最大值为+廿

C.上有三个解

7T3乃

D.在7'T上单调递减

【答案】BC

【解析】

271

一Ja?+bsin<0z]

【分析】根据题意,可得/(%)=«,由sin|x-a>0,求解

7t

\Ja2+b2sinX-会小产

4MT

出X的取值范围，根据对应范围内的函数解析式，/(x)即可求出/(x)的最值，进而判断A、B选项；令

3兀717T5%

/(%)=/?,分尤€和XG

T54W'7两种情况解方程，即可判断C选项；取

7T5乃713万715乃

X&U,求出此时函数/(X)的单调区间，即可判断函数在上的单调性，从而

5'万5'彳

713兀

判断在上的单调性，进而判断D选项.

2,~2

,.兀,71

【详解】f(X)asin+加inxd——+bcos,x---

I4(4

2271

-\la-^-bsinx---j,sinfx-^j<0

4b

即f(x)=,,其中sine=

71

\Ja2+b2sin工一(+@卜in卜>0

"呜•

JI5TT

由sin[x_(>0,即xw—+2Z肛——+2攵万,ZeZ,

44

22

所以当无£?+2左肛,+24〃时，/(x)=yja+bsinT+q,

乃

即工一区+夕£[0+2Z乃,夕+乃+2左7],(p€

jrjr34i

所以当％—^+0=耳+2攵〃，即x=z--0+2攵万时，〃x)gx=J/+匕2，

2

当x—7+夕=。+乃+2%万，即x=-^-+2Z乃时，f(x)min——yjcr+hsin(p——h；

3兀+24匹?+2女乃j时，f(x)=Aa?+/si兀

当sinx---~(P，

I4

即九一5一夕£(一0一乃+2《乃，一0+2%)),夕£(0,]1,

所以当％—W+9=-5+2%4，即x=—"^一"+2火"时，/(x)=dci?+b?,

由于x—?+°w一夕一万+2%)，所以/(x)无最小值.

综上所述，/(%)的最小值为-6，最大值为，片+尸,故A错误，B正确;

由/(x)=",所以当无—4~"~4时,7a2+〃sinx———(p^—b,

.(7i\b../\

即smx----(p=——.=-sin=sin\-(p),

I4J1a2+b?

ZT7C

即尤——=2Z乃或x----29=4+2攵万,&cZ,

44

所以“.7或1、=一3T£U+2外济0，3

44

715万

当xw时，J/+/sinx-

/

71

即sinx-----\-(p=sm(p

I4f

冗、/[

即尤---=2%乃或x---+2°=万+2攵笈,keZ,

44

54

所以X=----1(p,(P&,

4V2；

综上所述，方程上有三个解，故C正确;

715万时，/(x)=y/a2+/?2sinX一卜,

取5'7"

rrJr37r77r

令]+2k兀Gx—工+(p4工+2kjr,BP--(p+2k7r<x<—~(p^2k/r；

兀冗兀JI3TC

^---+2k7r<x--+(p<—+2k7r,BR---^>+2k/r<x<--(p+lk7r；

由于ew[o,品，所以当o<°<;时，函数/(x)在上单调递增，在|今一夕,今)上单调

715717137t

递减,上有增有减,5'T上有增有减，故D错误.

故选：BC.

12.直线4、，2为曲线y=e'与y=lnt的两条公切线.4从左往右依次交e*与Inx于A点、B点；从左往

右依次交e'与Inx于C点、。点，且A点位于C点左侧，。点位于8点左侧.设坐标原点为0,4与4交于

点P.则下列说法中正确的有().

A.AD<BCB-M<T

e17T

C.tanNBOC<—I---D.ZAOC>-

22e2

【答案】CD

【解析】

【分析】先由/(x)=e'和g(x)=lnx是一对反函数，图像关于直线y=x对称，得出点AC关于直线

>=x对称，点50关于直线>=%对称，点尸在直线>=x上，再算出/(x)=e'和g(x)=lnr的公切线

方程，设。点坐标为(天3加)，用/(1＜与＜2)表示出4?。三个点的坐标,由直线性质算出P点坐标,

再依次通过计算得出每个选项的正误即可.

【详解】由题意，画出大致图像如图，

设〃x)=e*与g(x)=lnx,4为直线A5,4为直线8,

且〃x)=e’和g(x)=lnx是一对反函数，图像关于直线丁=%对称，

则点AC关于直线〉=%对称，点BO关于直线＞=%对称，点P在直线＞=

设〃x)=e'的切点为(A，yj,g(x)=ku的切点为(金，%)，

由/"(x)=e\g＜x)=J,

得/(x)=e'的切线方程为y=e*'(x-xj+e”,

g(x)=lnx的切线方程为y=—(x-x2)+lnx2,

当两函数的切线方程重合时，即为公切线,

X1

e1=—x+]

则｛4，将Z=ef代入下式得e*=±j,

A,

(l-Xj)e=-1+Inx2”

x+1尢+]

设方程e*=-L—的其中一个解为％=%(拓＞1),则e"=-^―

由e2>2il,可得

2—1

又因e』=,则方程d=九三的另一个解为％=一/（1</<2）,

因此A点坐标为（一x°，ef），8点坐标为（ea,Xo），C点坐标为卜一%,一/）,。点坐标为（小3"）.

因为AD与BC关于直线>=》对称，所以AO=BC,选项A错误；

由点P在直线AB上可得——-=—―-

演一乙XB-XP

设点p坐标为⑸/），贝"蟹（二就，解得斗=看&

x+1)2e-A

设〃（》）=三?-(1)2/+(

,(l<x<2),"(x)

、2

-X(er+e-x

设j(x)=-(x-1)iex+(x+1)2e-v,(l<x<2),/(x)=(e'+e-')(-^2+l)<0,

则J(x)=—(x-l)2e'+(x+l)2e-x在(1,2)上单调递减,

4Q

由/⑴=_>o,j(2)=_e2+W<0,

ee

可得/（同=一（》一1）26'+（》+1）26-£在（1,2）上的函数值为先正后负,

,,/、-（x-1）-e"+（x+1）-e。'

即〃（x）=4----L---------------在（1,2）上的值为先正后负，

（eA+e-r）'7

/1

则h（x]=:,在（1,2）上的单调性为先增后减,

eA4-e'

75

乂刈1)=-f畸)

J7T>且〃⑴<〃(2)，

e+一Cn--r

ee

x2+121

则“3------->〃(1)---->—*0+11

e'+e-Jte+!2,即x产>——,

e殉+e-x°2

e

所以|研=符+Xp取）拳,选项B错误;

分别连接BO,CO,如图,

yt

由

tanZBOx=A=A=x()e-^o,tanZCOx==/e"

4e0xce%

tanZBOx+tanZCOx

得tanZBOC=tan(ZBOx+ZCOx)="N二<o<£+，选项C

1-tanZBOxtanZCOxl-x；22e

正确；

分别连接A。，CO,如图,

TT

得NAOC>第三象限夹角，即44OC>—,选项D正确.

2

故选：CD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.底边和腰长之比为正二1的等腰三角形被称为“黄金三角形”，四个面都为“黄金三角形”的四面体被

2

称为“黄金四面体”.“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为.

23+3石

【答案】

2

【解析】

【分析】画出符合题意的四面体，由其特征将其补形为长方体，分别计算外接球与内切球表面积可得答案.

【详解】如图，设四面体4-BG。为“黄金四面体”，

\B\B\B_\B__行—I

=m，

而~~BD~一而--

得A。=BD=AG=BQ=n,

又因四个面都为“黄金三角形"，则G。==，.

注意到四面体4对棱相等，则将其补形为如图所示长方体A8CO-A耳GA,则该长方体外接

球与该四面体外接球重合.

设AA^=a,AB=bfAD=c,

则长方体外接球半径R为长方体体对角线长度的一半，有R=®巨*■,又注意到：

2

22

a+b=A{B~=r

a2+c2=A]D2=zi2,

b2+c2=BD2=n2

得/+/+°2=li+〃2,又匚=病,得R=J-+/上j=‘、忙+1.

2rr22V2

注意到匕88-A4GA=+匕-A4G+匕）-AGA++^-ABD»

V=V=V=V=—cihc，

VB-A4GD-AGRC「BCDvAy-ABD6

41

则匕A-B口「CQ八=abc---6abc=-3abc.

又在VA§G中，£4=C.B,取45中点为£,

则1\B,故s=_Lf*

4Ag2y4

又由前面分析可知四面体A-3G。的四个面全等，

则四面体4一BG。的表面积S=4S=2tjn2---

4Ag]/4

设四面体A-5G。的内切球半径为，则9_3。=gsr，

注意到AG=BG,则“2+02=7777na=b，

,又一=m,

n

2、（2A（2、2

1mm

4〃21+——1——41+—

2

4nR-J、2）m2+3+4,

2（2、1

4nr22mm

mn1-

\27

代入加=避二1,得比值为:23+3指

22

故答案为：23+3M

2