![河北衡水中学2023届高三模拟数学试题附解析_第1页](http://file4.renrendoc.com/view/f12cb35bb2bea1dfd70af2c15fe23692/f12cb35bb2bea1dfd70af2c15fe236921.gif)
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文档简介
2023年高考数学模拟试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.
2.作答时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.已知有A、B、C、。四个命题,其中A为B的必要条件,B为C的充分条件,C为O的必要条件,。为
A的必要条件.若增加条件使得A、B、C、。中的任意一个命题均为A、B、C、。四个命题的必要条件,则
这个条件可以为().
A.B为C的必要条件B.8为A的必要条件
C.C为。的充分条件D.B为。的必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先由题设条件得到AuBnCuOuA,再利用充要条件的传递性对选项逐一分析即可.
【详解】因为A为8的必要条件,B为C的充分条件,C为。的必要条件,。为A的必要条件,
所以即AuBnCuOuA,
对于A,若B为C的必要条件,即3<=C,则AuBoCuOuA,
所以A、B、C、。互为充要条件,则4、B、C、。中的任意一个命题均为A、B、C、。四个命题的必要条
件,故A正确;
对于B,若8为A的必要条件,即BuA,则=易得B不是C的必要条件,故
B错误;
对于C,若C为O的充分条件,即C=O,则Au6=Co£>uA,易得8不是C的必要条件,故
C错误;
对于D,若B为。的必要条件,即则=且BuO,易得8不是C的必要
条件,故D错误.
故选:A
2.复数z=a+历若g—1=2,则()的值与a、6的值无关.
1111
A.z+-B.z+-C.z一—D.z——
3224
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算和模的公式化简条件,确定〃、〃关系,再依次判断各选项.
【详解】因为z=a+例,所以工一1=_^一1=L3="粤"粤=匕心)二四,
za+Z?ia+Z?i+a~+Zr
所以1一1=伫一/二F_bi(b
a2+h2)+(77^
za2+h~a2+h~
又J=2,所以(伫之三b
+=4,
z、a'+b~7TF
^a-a2-b2y+b2=4(/+Z?2)',所以4-2a(4+〃)+/=3(/+/)-,
因为a/¥0,所以所以片+。2+2£=1,所以++从=12
3I3)9
所以z+'=YiQ,即z+2的值与质6的值无关.
333
故选:A.
3.\7XHO,(x+工)可以写成关于(炉+盘)的多项式,则该多项式各项系数之和为().
A.240B.241C.242D.243
【答案】D
【解析】
/.\io
【分析】利用换元法,将X+-转化为。+2)5,从而利用赋值法即可求得该多项式各项系数之和.
,1
【详解】因为x+-+2,
X
则1/=卜+斗2]=S)5,
令f=l,则"+2)5=35=243,
所以该多项式各项系数之和为243.
故选:D.
4.函数/(x)的图像如图所示,已知"0)=2,则方程“X)-靖(x)=l在(a,。)上有()个非负实根.
A.0B.1C.2D.3
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数研究函数的单调性,结合零点存在性定理判断方程“X)-靖(x)=l
在(a,8)上的根的个数.
【详解】由图象可得函数/(力在(a,6)上有3个极值点,不妨设其极值点为芯,9,马,其中
<0<x2<x3,
设g(x)=/'(x),//(%)=/(x)-xg(x)—1,〃(x)=r(x)—g(x)—xg[x)=—xg,(x),
由图象可得g(w)=o,g(&)=0,xe(O,Xj)0t,函数/(x)单调递增,g(x)=r(x)>0,又函数
/(x)的图象由陡峭变为平缓,故|g(x)|逐渐变小,
所以当无«0,工2)时,函数g(x)单调递减,g'(x)<。,
当%«人,专)时,函数“X)单调递减,所以g(x)=/'(x)<0,函数的图象先由平缓变为陡峭,
再由陡峭变为平缓,|g(x)|先变大再变小,函数g(x)先单调递减再单调递增,所以g'(x)取值先负后
正,所以存在工4€(/,毛),使得g'(%4)=0,当xe(w,x4),g'(x)<0,当工€(£,天),
g'(x)>0,
当》€(天,。)时,函数/(X)单调递增,函数/(X)的图象由平缓变为陡峭,函数g(x)单调递增,所以当
》«玉,。)时,g'(x)>。,
当%e(O,%4)时,g'(%)<0,当X€(X4,b)时,g'(x)>0,
所以当%e(O,&)时,〃'(x)>0,函数〃(x)=/(x)-xg(x)-l在(O./)单调递增,
当工«尤4,,)时,”(%)<0,函数〃(x)=/(x)-xg(x)T在(0。)单调递减,
因为//(0)=〃0)-Oxg(O)—1=1>0,函数从。在(0,七)单调递增,
所以函数〃(x)=/(x)-xg(x)-1在(0,毛)上不存在零点,且//(%)>(),
因为/i伍)=/(8)一大口)一1="/(?i—g伍),
因为小M表示点伍,/回)与点(0,1)的连线的斜率,g(»表示曲线”X)在点伍,/0))处的切线的
b
斜率,结合图象可得,(?T<g。),故〃他)<0,所以函数
〃(x)=/(x)-xg(x)-l在(%4力)上存在唯一零点,
故方程"1)-矿(力=1在(。⑼上有1个非负零点,
故选:B.
5.函数/(x)=j5cos2x-4sinx+5-|3(:0同的最大值为().
A.2V2B.273C.2>/5D.3
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的平方关系将/(x)转化为点P到点A8的距离之差,再利用三角形两边之差小于
第三边,结合三角函数的值域即可求得结果.
【详解】因为5cos2x-4sinx+5=9COS2X-4COS2%-4sinx+5
=9cos2x+4sin2x-4sinx+l=(3cosx)"+(2sinx-l)",
所以/(无)=,5cos2x-4siar+5-|3cosx|=J(3COSJC)-+(2sinx-1)一_J(3cosx)-,
故/(x)的最大值转化为点P(3cosx,2sinx)到A(0,l)与3(0,2sinx)的距离之差的最大值,
因为一iWsinxWl,-2<-2sinx<2,-l<l-2sinx<3>
所以1PAi—|「目A8|=7(l-2sinx)2=|l-2sinx|<3,
当且仅当sinx=—l时,等号成立,则|印一|尸3区3,
经检验,此时cosx=0,/(x)=^5X02-4X(-1)+5-|3X0|=3,
所以〃x)«3,即/(x)的最大值为3.
故选:D.
八c17
6.4Z=1+sin0.1,h=e()1,c=1.011(),d=——,a,b,c,4间的大小关系为().
16
A.b>a>d>cB.b>c>a>d
C.b>c>d>aD.b>a>c>d
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数=—1,利用导数与函数单调性的关系证得b>c;利用二项式定理证得
ol+O.l,再构造函数g(x)=x—sinx证得0.1>sin0.1,从而得到。>。;构造函数
/i(x)=sinx--x|0<x<-|,证得sinO.l>!,从而得到a>d;由此得解.
'8I6J16
【详解】令/(x)=e-x—l(x>0),贝i」/'(x)=e'-l>eO—l=O,
所以〃x)在(O,+e)上单调递增,故F(x)>〃O)=eO-O-l=O,即e-x—1>0,
所以e*>x+l,则eom>0.01+1=1.01,即e°」>(1.0『°,故》>c;
因为c=1.0f°=(+0.01)i°,
所以其展开通项公式为几1=。产"、(0.0叶=(0.01)"1,
故Z=(O.Ol)°xC;o=l,4=(O.O『xC;o=O.l,4+1>0,
所以c=LOf°=(1+0.01)°>1+0.1,
令g(x)=x-sin>0),则g'(x)=1-cosx>0,
所以g(x)在(0,+e)上单调递增,则g(x)>g(())=。,即x>sinx,
所以0.1>sin0.1,故c>l+O.l>l+sinO.l,即c>a;
715
令/?(x)=sinx-,则”(x)—cosx—,
868
因为0<x(工,所以且<cosx<l,则cosx>正〉。,故〃(x)>0,
6228
所以/z(x)在[0,k上单调递增,则/?(1)>/?(())=(),即sinx〉Gx,
易知0.1/03],所以sinO.l>2xO.l=-L,则i+sinO.l>l+'=D,即a>";
V6;8161616
综上:b>c>a>d.
故选:B
7.已知数列{4}、{〃}J=y,%=闾,(〃6")其中国为不大于彳的最大整数.若4=4=,〃,
-2」2
m<1000,meN+»有且仅有4个不同的f,使得生工内,则也一共有()个不同的取值.
A.120B.126C.210D.252
【答案】C
【解析】
【分析】将〃z表示为92°+。2|+c222+C32、…+C92',其中c(),q,…,Qe{04},且生,。,…,C9不全为
0,m<1000.分析4工2与Co,。,…,。的取值的关系,由此确定满足条件的阳的取值的个数.
【详解】设机=q)2°+C|2i+C22?+C323+…+Cg29,其中c(),q,…,c9G{0」},且。不全为。,
m<1000,
若=1,则m=1+C2+q22+623+…+eg2。,%=l\=m,
9
1=]+Q2]+q+C423t--Pcs2,b2=/,
若c0=0,则机=c2+c?22+j23+…+Cg29,%=R=m,
m7m
a)=,bj-,
-222
所以若c0=1则,%ob?,若Co=O,则g=〃2,
9
若Co=O,q=0,贝ij/%=+c323H--FC92,%=b1=m,
m.mm,m
出=5,b?=5,%=I,4=]
9
若c0=0,C[=1,贝!Jm=2+Q2?+q2'H---Fc92,ax-bx-m,
m.mm-2,m
b、=—
~2223434
9
若Co=l,=0,贝!=1+,22?+c323H--Fc92,%=a=m,
m-\,mm—\,m-\
■2223434
若Co=l,C1=1,则m=1+2+。22?+q23+…+%29,ax-bx-m,
m-1.mm-3.m—1
=------,“=—,a,=-------,b.=-------,
~2223434
所以q=0时,a3=h3,q=l时,的工々,
同理可以证明q=0时,ak+2=%+2,/=1,a―工々+2,
因为有且仅有4个不同的f,使得巴工田,即c0,q,C2,…,。9中有且仅有4个变量取值为1,其余变量取值
为0,又从,,G,。2,…,。9中任选4个变量有C:)种取法,
故满足条件的机的个数为Gi,即210个,
故选:C.
++
8.平面上有两组互不重合的点,4、4……A”与4、B2……B„(m,rtGN,n>2),Vre[l,/?],zeN,
区:函=1则2小岛的范围为().
n2nnn2
A.—,—B.
mmm'm
2
n〃+〃n-\n2-1
C.—--D.
m2mmm
【答案】D
【解析】
【分析】考虑〃z=l,〃=2的特殊情况,验证选项可得答案.
【详解】当根=1,〃=2时,由题,有V/e[l,2],feN+,|44|=九
得|同|==2.则⑸在以4为圆心,半径为1的圆上,则层在以A为圆心,半径为2的圆上.
又2::44+1=4刍,则如下图所示,即乖;=瓦8;时,与取最小值为1;
如下图所示,即与刊=244时,片层取最大值为3.
则当根=1,〃=2时,X;:44+1的范围是[1,3],验证选项可排除A,B,C.
故选:D
【点睛】关键点点睛:本题因点的情况较为复杂,且又为选择题,故考虑利用特殊值验证选项得答案.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合
题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.工厂生产某零件,其尺寸。服从正态分布N00,0.0氏2)(单位:cm).其中人由零件的材料决定,且
%>0.当零件尺寸大于10.3cm或小于9.7cm时认为该零件不合格;零件尺寸大于9.9cm且小于10.1cm时
认为该零件为优质零件;其余则认为是普通零件.己知当随机变量X〜N(〃,cr2)时,
/5(X>X/+cr)*0.159,P(X>〃+2b)a0.023,P(X>"+3b)之0.001,则下列说法中正确的有
().
A.々越大,预计生产出的优质品零件与不合格零件的概率之比越小
B.左越大,预计生产出普通零件的概率越大
C.若女=1.5,则生产200个零件约有9个零件不合格
D.若生产出优质零件、普通零件与不合格零件盈利分别为3a,2a,-5a,贝U当左=1时,每生产1000个
零件预计盈利2580a
【答案】AC
【解析】
【分析】对于AB,利用正态分布曲线的图像变化即可得解;
对于C,结合参考数据,求出预计生产出的不合格零件的概率,从而得解;
对于D,结合参考数据,分别求出预计生产出的优质零件、普通零件与不合格零件的概率,从而得解.
【详解】依题意,得〃=10,。2=0.0次2,则b=o.M,k>0,
对于A,当攵变大时,b变大,则零件尺寸。的正态分布曲线越扁平,
所以预计生产出的优质品零件的概率越小,不合格零件的概率越大,则其比例越小,故A正确;
对于B,由选项A可知,预计生产出普通零件的概率越小,故B错误;
对于C,当左=1.5时,cr=0.U=0.15,
则?(X>10.3)=/(X>M+2b)a0023,而
P(X<9.7)=P(X<2cr)=P(X>"+2o■卜0.023,
所以预计生产出的不合格零件的概率为P(X>10.3)+P(X<9.7)«0.046,
故生产200个零件约有不合格零件的个数为200x0.046=9.2*9,故C正确;
对于D,当左=1时,<7=0.1左=0.1,
则P(X>10.3)=P(X>//+3<T)»0.001,P(X<9.7)®0.001,
P(9.9<X<10.1)=P(〃—b<X<〃+b)=l—2P(X>〃+o•卜0.682,
所以预计生产出优质零件的概率为0.682,不合格零件的概率为().002,普通零件的概率为
1-0.682-0.002=0.316,
故每生产1000个零件预计盈利1000X[0.682x3。+0.316x2。+0.002x(—5。)]=2668。,故D错误.
故选:AC.
22
10.已知椭圆C:二+与=1,(。>6>0)上有三点4、鸟、p3,A、B分别为其左、右焦点.则下列说
ah
法中正确的有().
A.若线段《£、鸟片、鸟片的长度构成等差数列,则点<、鸟、A的横坐标一定构成等差数列.
72
B.若直线68与直线6R斜率之积为-二,则直线耳巴过坐标原点.
a
c.若瑞鸟月的重心在y轴上,则田耳|+田耳|+区耳|=纭
D.面积的最大值为量
3
【答案】ABC
【解析】
【分析】先证明两个结论,结论1为焦半径公式,利用该公式可判断AC的正误,利用同一法可判断B的
正误,结论2为均值不等式,利用该结论可求内接三角形面积的最大值,从而可判断D的正误.
22
【详解】结论1:若尸(%〃)为椭圆。:a+方=1上的的动点,耳为其左焦点,则归耳|=a+?.
证明:\PF\=q(m+cf+〃2="m+c1+b2—;
t°”
l~2~IC2MC
=.a+2mcH----=a+—m,
Va~a
因为"2£(-〃,a],c<Q,故++故|尸耳|=々+£机.
aa
结论2:若玉20,7=1,2,3,4,则内+」+年+z24yxi工2尤3%4.
证明:因为X1+工2_2jx/220,
故王+922衣己,当且仅当用=々时等号成立,
同理凡+%之2我兀,当且仅当时等号成立,
2XXXXX
所以1元3工4+J%%之7Vi2V34=2^X1X2X3X4,
当且仅当X%=工3工4时等号成立,
所以%+X2+刍+*4»4yxi%2%3*4,当且仅当X=/二次3二14时等号成立.
由结论2可得内为24工4«1%+%;4+%),当且仅当石=马=%3=尤4时等号成立・
对于A、C,设于(乌,伪),£(%也),13也),则
由结论1可得:由耳|=a+」,i=l,2,3,
因为2区周=山耳|+出耳故2a+2x^=a+詈+〃+詈,
整理得到:2a2=4+%,故A正确.
因为鸟鸟的重心在》轴上,故幺士竽&=0,
故山耳|+区耳|+区耳|=3a+—(q+a2+—3a,故C正确.
对于B,设《关于原点的对称点为Q,则。(-4,一4),
故&>@=笠,3+么#0,否则与e=0,这与题设矛盾),
22
4+々2X4一々2一生
故kp^kpF)
"1+"2"1—":—公
b;1,4+3=1,所以可—£+圣—5=0,
哈b2aba-abb
力26?
所以2,而kppkpp,=--,故kpM=,0,
b;-吠a2312a
因6,Q均在椭圆上,故A,Q重合即直线《4过坐标原点,故B正确.
我们先证明一个命题
22
命题:设P(S")为椭圆C:二+与=1上点,直线/与椭圆交于不同的两点A8,则ARW面积的最
a~b
大悔为£3ab-
4
证明:当直线/的斜率不存在时,设直线=J
则的面积S=-^x|z-m|x2/jx^l--^-=Z?x|/-w|
24a—2mV
若/>〃?,则S=《yX«-〃2)«-〃2
4;
,6a丫272i2日n。/35/3.
因为一故=——crb~,即SK---ah,
3a2164
故此时S=2叵ab.
当且仅当月(一。,0),f=|时等号成立,
mux।
同理可证:当,(加时,号皿=¥,仍•
过当直线/的斜率存在,可设/:y="+,,
产+:,,,可得(二+以2左2)』+202^+“2s2一q2b2=0,
由<
故△=4a%2s2_492+a2k2g2s2_)>0故△一土+小公>。,
而|AB|=EX型亚三透,
b-+crk
\kni-n+s\
又P到/的距离为d=l/L故△碗的面积为:
J1+42
1\km-n+s\r~”2aby]h2-s2+a2k2ab(\km-n+s^y/b2-s2+a2k2
2J1+氏2b~+a~k~b~+a~k~
对于给定的Z,先考虑的〃一〃+s|的最大值,
设〃2=0©05。,=65111。,贝!]=|。左cos6-/?sine+s|
ak-b
,其中sin。=
da2k2+〃y/crk2+b2
若s20,则\hn-n+s|的最大值为7a2^2+Z72+s,
ab(\lcrk1+b2+s)\Jb2-s2+a2k2
此时s<
b-+a2k2
设M=a2k~+b2>则“2〃,故
由结论2可得:
(4+s)(4+s)(4-s)(ViI+5)=((〃+S)(〃+S)(34-3S)(4+S)
1(64丫27/当且仅当5=巫时等号成立,
<——----=-----
-
3\4/162
-s2+a2k2的最大值为孚女2
故[y]a2k2+b2+s)x后
3百
"(。干+的_3百小
故sw,
F77P一—昉
4
若5<0,则|初?一〃+5|的最大值为,“2公+从一S,同理可得54乎6必,
综上,ABAB面积的最大值为九3ab.
4
对于D,考虑耳为椭圆上的点,直线/为直线鸟鸟,
由前述命题可得:面积的最大值为史必,故D错误.
4
故选:ABC.
【点睛】思路点睛:椭圆上的动点到焦点的距离可以转化为动点的某坐标与离心率、半长轴的关系来处
理,而多变量的最值问题,往往是通过降低变元的个数逐步处理.
元、
11.已知函数/(x)=asinx---+-戾inx+一,其中〃、b>0.则下列说法中正确的有().
4JI4J
A./(X)的最小值为一。
B.7(x)的最大值为+廿
C.上有三个解
7T3乃
D.在7'T上单调递减
【答案】BC
【解析】
271
一Ja?+bsin<0z]
【分析】根据题意,可得/(%)=«,由sin|x-a>0,求解
7t
\Ja2+b2sinX-会小产
4MT
出X的取值范围,根据对应范围内的函数解析式,/(x)即可求出/(x)的最值,进而判断A、B选项;令
3兀717T5%
/(%)=/?,分尤€和XG
T54W'7两种情况解方程,即可判断C选项;取
7T5乃713万715乃
X&U,求出此时函数/(X)的单调区间,即可判断函数在上的单调性,从而
5'万5'彳
713兀
判断在上的单调性,进而判断D选项.
2,~2
,.兀,71
【详解】f(X)asin+加inxd——+bcos,x---
I4(4
2271
-\la-^-bsinx---j,sinfx-^j<0
4b
即f(x)=,,其中sine=
71
\Ja2+b2sin工一(+@卜in卜>0
"呜•
JI5TT
由sin[x_(>0,即xw—+2Z肛——+2攵万,ZeZ,
44
22
所以当无£?+2左肛,+24〃时,/(x)=yja+bsinT+q,
乃
即工一区+夕£[0+2Z乃,夕+乃+2左7],(p€
jrjr34i
所以当%—^+0=耳+2攵〃,即x=z--0+2攵万时,〃x)gx=J/+匕2,
2
当x—7+夕=。+乃+2%万,即x=-^-+2Z乃时,f(x)min——yjcr+hsin(p——h;
3兀+24匹?+2女乃j时,f(x)=Aa?+/si兀
当sinx---~(P,
I4
即九一5一夕£(一0一乃+2《乃,一0+2%)),夕£(0,]1,
所以当%—W+9=-5+2%4,即x=—"^一"+2火"时,/(x)=dci?+b?,
由于x—?+°w一夕一万+2%),所以/(x)无最小值.
综上所述,/(%)的最小值为-6,最大值为,片+尸,故A错误,B正确;
由/(x)=",所以当无—4~"~4时,7a2+〃sinx———(p^—b,
.(7i\b../\
即smx----(p=——.=-sin=sin\-(p),
I4J1a2+b?
ZT7C
即尤——=2Z乃或x----29=4+2攵万,&cZ,
44
所以“.7或1、=一3T£U+2外济0,3
44
715万
当xw时,J/+/sinx-
/
71
即sinx-----\-(p=sm(p
I4f
冗、/[
即尤---=2%乃或x---+2°=万+2攵笈,keZ,
44
54
所以X=----1(p,(P&,
4V2;
综上所述,方程上有三个解,故C正确;
715万时,/(x)=y/a2+/?2sinX一卜,
取5'7"
rrJr37r77r
令]+2k兀Gx—工+(p4工+2kjr,BP--(p+2k7r<x<—~(p^2k/r;
兀冗兀JI3TC
^---+2k7r<x--+(p<—+2k7r,BR---^>+2k/r<x<--(p+lk7r;
由于ew[o,品,所以当o<°<;时,函数/(x)在上单调递增,在|今一夕,今)上单调
715717137t
递减,上有增有减,5'T上有增有减,故D错误.
故选:BC.
12.直线4、,2为曲线y=e'与y=lnt的两条公切线.4从左往右依次交e*与Inx于A点、B点;从左往
右依次交e'与Inx于C点、。点,且A点位于C点左侧,。点位于8点左侧.设坐标原点为0,4与4交于
点P.则下列说法中正确的有().
A.AD<BCB-M<T
e17T
C.tanNBOC<—I---D.ZAOC>-
22e2
【答案】CD
【解析】
【分析】先由/(x)=e'和g(x)=lnx是一对反函数,图像关于直线y=x对称,得出点AC关于直线
>=x对称,点50关于直线>=%对称,点尸在直线>=x上,再算出/(x)=e'和g(x)=lnr的公切线
方程,设。点坐标为(天3加),用/(1<与<2)表示出4?。三个点的坐标,由直线性质算出P点坐标,
再依次通过计算得出每个选项的正误即可.
【详解】由题意,画出大致图像如图,
设〃x)=e*与g(x)=lnx,4为直线A5,4为直线8,
且〃x)=e’和g(x)=lnx是一对反函数,图像关于直线丁=%对称,
则点AC关于直线〉=%对称,点BO关于直线>=%对称,点P在直线>=
设〃x)=e'的切点为(A,yj,g(x)=ku的切点为(金,%),
由/"(x)=e\g<x)=J,
得/(x)=e'的切线方程为y=e*'(x-xj+e”,
g(x)=lnx的切线方程为y=—(x-x2)+lnx2,
当两函数的切线方程重合时,即为公切线,
X1
e1=—x+]
则{4,将Z=ef代入下式得e*=±j,
A,
(l-Xj)e=-1+Inx2”
x+1尢+]
设方程e*=-L—的其中一个解为%=%(拓>1),则e"=-^―
由e2>2il,可得
2—1
又因e』=,则方程d=九三的另一个解为%=一/(1</<2),
因此A点坐标为(一x°,ef),8点坐标为(ea,Xo),C点坐标为卜一%,一/),。点坐标为(小3").
因为AD与BC关于直线>=》对称,所以AO=BC,选项A错误;
由点P在直线AB上可得——-=—―-
演一乙XB-XP
设点p坐标为⑸/),贝"蟹(二就,解得斗=看&
x+1)2e-A
设〃(》)=三?-(1)2/+(
,(l<x<2),"(x)
、2
-X(er+e-x
设j(x)=-(x-1)iex+(x+1)2e-v,(l<x<2),/(x)=(e'+e-')(-^2+l)<0,
则J(x)=—(x-l)2e'+(x+l)2e-x在(1,2)上单调递减,
4Q
由/⑴=_>o,j(2)=_e2+W<0,
ee
可得/(同=一(》一1)26'+(》+1)26-£在(1,2)上的函数值为先正后负,
,,/、-(x-1)-e"+(x+1)-e。'
即〃(x)=4----L---------------在(1,2)上的值为先正后负,
(eA+e-r)'7
/1
则h(x]=:,在(1,2)上的单调性为先增后减,
eA4-e'
75
乂刈1)=-f畸)
J7T>且〃⑴<〃(2),
e+一Cn--r
ee
x2+121
则“3------->〃(1)---->—*0+11
e'+e-Jte+!2,即x产>——,
e殉+e-x°2
e
所以|研=符+Xp取)拳,选项B错误;
分别连接BO,CO,如图,
yt
由
tanZBOx=A=A=x()e-^o,tanZCOx==/e"
4e0xce%
tanZBOx+tanZCOx
得tanZBOC=tan(ZBOx+ZCOx)="N二<o<£+,选项C
1-tanZBOxtanZCOxl-x;22e
正确;
分别连接A。,CO,如图,
TT
得NAOC>第三象限夹角,即44OC>—,选项D正确.
2
故选:CD.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.底边和腰长之比为正二1的等腰三角形被称为“黄金三角形”,四个面都为“黄金三角形”的四面体被
2
称为“黄金四面体”.“黄金四面体”的外接球与内切球表面积之比为.
23+3石
【答案】
2
【解析】
【分析】画出符合题意的四面体,由其特征将其补形为长方体,分别计算外接球与内切球表面积可得答案.
【详解】如图,设四面体4-BG。为“黄金四面体”,
\B\B\B_\B__行—I
=m,
而~~BD~一而--
得A。=BD=AG=BQ=n,
又因四个面都为“黄金三角形",则G。==,.
注意到四面体4对棱相等,则将其补形为如图所示长方体A8CO-A耳GA,则该长方体外接
球与该四面体外接球重合.
设AA^=a,AB=bfAD=c,
则长方体外接球半径R为长方体体对角线长度的一半,有R=®巨*■,又注意到:
2
22
a+b=A{B~=r
a2+c2=A]D2=zi2,
b2+c2=BD2=n2
得/+/+°2=li+〃2,又匚=病,得R=J-+/上j=‘、忙+1.
2rr22V2
注意到匕88-A4GA=+匕-A4G+匕)-AGA++^-ABD»
V=V=V=V=—cihc,
VB-A4GD-AGRC「BCDvAy-ABD6
41
则匕A-B口「CQ八=abc---6abc=-3abc.
又在VA§G中,£4=C.B,取45中点为£,
则1\B,故s=_Lf*
4Ag2y4
又由前面分析可知四面体A-3G。的四个面全等,
则四面体4一BG。的表面积S=4S=2tjn2---
4Ag]/4
设四面体A-5G。的内切球半径为,则9_3。=gsr,
注意到AG=BG,则“2+02=7777na=b,
,又一=m,
n
2、(2A(2、2
1mm
4〃21+——1——41+—
2
4nR-J、2)m2+3+4,
2(2、1
4nr22mm
mn1-
\27
代入加=避二1,得比值为:23+3指
22
故答案为:23+3M
2
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