2012年全国高中数学联赛试题及详细解析

PAGEPAGE62012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．1.设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是．2.设的内角的对边分别为，且满足，则的值是.3.设，则的最大值是.4.抛物线的焦点为，准线为ｌ，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段ＡＢ的中点在ｌ上的投影为，则的最大值是.5．设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球．若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是．6.设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是．7.满足的所有正整数的和是．8.某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．9.（本小题满分16分）已知函数（1）若对任意，都有，求的取值范围；（2）若，且存在，使得，求的取值范围．10.（本小题满分20分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有（1）当时，求所有满足条件的三项组成的数列;（2）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11.（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且．（1）求证：为定值；（2）当点A在半圆（）上运动时，求点的轨迹．

当且仅当时等号成立.故的最大值为1.5.【答案】4【解析】如图.连结,则平面,垂足为正的中心,且过球心,连结并延长交于点,则为的中点,且,易知分别为正三棱锥的侧面与底面所成二角的平面角,则,从而,因为所以即所以,故6.【答案】【解析】由题设知,则因此,原不等式等价于因为在上是增函数,所以即又所以当时,取得最大值因此,解得故的取值范围是7.【答案】33【解析】由正弦函数的凸性,有当时,由此得所以故满足的正整数的所有值分别为它们的和为.8.【答案】【解析】用表示第周用种密码的概率,则第周末用种密码的概率为.于是,有,即由知，是首项为，公比为的等比数列。所以，即，故二、解答题9.【解析】(1)令则分对任意,恒成立的充要条件是分(2)因为所以所以分因此于是,存在,使得的充要条件是故的取值范围是分10.【解析】(1)当时,,由得.当时,,由得或‥‥‥‥‥‥‥5分当时,若得或;若得;综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-1，1‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分(2)令则从而两式相减,结合得当时,由(1)知;当时,即所以或‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥15分又所以‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分11.【解析】因为所以山的共线‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥5分如图,连结,则垂直平分线段,设垂足为,于是有(定值)‥‥‥‥10分(2)设其中则.因为所以‥‥‥‥‥15分由(1)的结论得所以从而故点的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为‥‥‥‥‥‥20分2012年全国高中数学联赛加试试题一、【解析】证明：如图.连接,过点作的垂线交的延长线于点,则是的外接圆的切线.因此‥‥‥10分因为所以‥‥‥‥20分因而是的外接圆的切线‥‥‥‥‥‥‥‥30分故所以三点共线。‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分二、【解析】证明:对任意的,设则如果是任意一个小于的正整数,则‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分由于与中,一个为奇数,它不含素因子,另一个是偶数,它含素因子的幂的次数最多为,因此一定不是的倍数；‥‥‥‥‥‥‥20分若,且设其中为非负整数,为大于的奇数,则‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥30分下面给出(2)的三种证明方法:证法一:令消去得由于这方程必有整数解;其中为方程的特解.把最小的正整数解记为则,故使是的倍数．‥‥‥40分证法二:由于由中国剩余定理知,同余方程组在区间上有解即存在使是的倍数．‥‥‥‥40分证法三:由于总存在使取使则存在使此时因而是的倍数．‥‥‥‥‥40分三、【解析】证法一:不妨设先证明:对任意正整数,都有显然,对均成立,只有时右边取等号……10分所以,只要证明当时,有即可.以为圆心,为半径画个圆,它们两两相离或外切;以圆心，为半径画圆，这个圆覆盖上述个圆‥‥‥‥‥‥‥20分所以‥‥‥‥‥‥‥30分由易知‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分所以对时也成立.综上,对任意正整数都有.因而‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥50分证法二:不妨设以为圆心,为半径画个圆,它们两两相离或外切;‥‥‥10分设是是圆上任意一点,由于‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥20分因而,以为圆心,为半径的圆覆盖上述个圆‥‥‥‥‥‥‥‥‥30分故‥‥‥‥‥‥‥‥‥40分所以‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥50分四、【解析】证法一:(1)对任意,有‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥10分令则‥‥‥‥‥‥‥20分又令,则因此存在使得所以‥‥‥‥‥‥‥30分不然一定存在使得因此这与矛盾.所以一定存在使得‥‥‥‥‥40分(2)假设只有有限个正整数使得令则则不存在使得这与（1）的结论矛盾.所以数列中有无穷多项属于.终上所述原命题成立‥‥‥‥‥‥‥‥50分证法二:(1)‥‥‥‥‥‥‥10分因此,当充分大时,可以大于如何