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文档简介

第五章线性方程组的迭代法高云迭代法迭代法：从一个初始向量出发，按照一定的迭代格式，构造出一个趋向于真解的无穷序列迭代解法是目前求解大规模线性方程组的主要方法。只需存储系数矩阵中的非零元素运算量不超过O(kn2)，其中k为迭代步数

(1)迭代格式的建立(3)误差估计和收敛速度研究内容：(2)收敛性判断静态迭代法的基本

迭代格式的建立Ax=bA=M-NMx

=Nx

+

bk=0,1,2,…给定一个初始向量x(0)，可得迭代格式：若产生的迭代序列{x(k)}

收敛到一个确定的向量x*，则x*

就是原方程组的解。

其中

B称为迭代矩阵。Jacobi迭代k=0,1,2,…则可得雅可比(Jacobi)迭代格式:令A=D-L-

U，

其中称为雅可比(Jacobi)迭代矩阵Jacobi迭代在计算时，如果用代替，则可能会得到更好的收敛效果。此时的迭代公式为Jacobi迭代的分量形式：GS迭代写成矩阵形式:称为GS迭代矩阵此迭代格式称为高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代k=0,1,2,…解得SOR迭代称为SOR迭代矩阵为了得到更好的收敛效果，可在修正项前乘以一个参数w，于是就得到所谓的逐次超松弛迭代法，简称SOR迭代，其中w

称为松弛因子。此时在GS迭代中解得Jacobi、GS和SOR算法

Jacobi算法

GS算法

SOR算法举例解：例：解线性方程组取初始向量

x(0)=(0,0,0)，迭代过程中小数点后保留4位。Jacobi迭代格式令则迭代得：x(1)=(0.5000,2.6667,-2.5000)Tx(21)=(2.0000,3.0000,-1.0000)T举例（续）GS迭代格式得x(1)=(0.5000,2.8333,-1.0833)Tx(9)=(2.0000,3.0000,-1.0000)T举例（续）SOR迭代格式取w=1.1，得x(1)=(0.5500,3.1350,-1.0257)Tx(7)=(2.0000,3.0000,-1.0000)T如何确定SOR迭代中的最优松弛因子是一件很困难的事。

矩阵分裂法

Jacobi迭代

GS迭代

SOR迭代A=M

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