自然许多的物理现象均牵涉到短时间内量的变化

33導數與導函數大自然許多的物理現象均牽涉到短時間內量的變化，例如汽車的瞬間加速度，或者是運動選手的暴發力等等。如果數據可以簡化成一個數學函數，那麼這個函數的導函數(derivative)即是量測這些瞬間變化率的一個量規，而導數即是用量規所量測到的數值。本章將介紹導函數的求法、它們的物理觀念，以及有關Maple用來計算導函數之指令等等。辆3芬.1诚切線與導捆函數医妇3府-2夫3灰.2记導函數膊的求法旺符3艘-答17亦3摇.艳3名Maple曾的微分指令凝注3截-式22僚3师.交4三角组函數的導函忌數越伸3龟-2饼8雨3苍.狂5鏈鎖垂律屋迎3轿-3杀3夜3闪.住6高階舍導函數婶苗3赛-3哈7兼3钱.7带隱微分法蜓振3-41引3.8孔微分量與近奔似值曾史3-46贸3竭.1遵切線與導函团數惨本節介紹了列函數圖形於语某一點的切捕線，以及切深線與導函數宫之間的關係察。首先從幾士何上的觀點坏來探討切線浑於幾何上的测意義。衫3差.息1菜.1缸切線劈假設油與作為函數场圖形上的兩纳點，如圖怎3.疑1绵.1兄所示。由(冷染)式可知，象連接脏P毫、佳Q休兩點之直線川L存的斜率為暑(3泪.1.1)xyxyPQ圖3.1.1割線的斜率傅直線敬L塘稱為割線假(seca预ntli锐ne)滩，而割線方葱程式可以簡统單的由兩點剩式或點斜式成來求得。當蜘趨近於唐時，直線的惩斜率將趨近形於函數在狗之切線(伍tange搬ntli奉ne)秃的斜率，由于(3.1.烘1)绕式可得函數拍在爬之切線的斜说率為更(3帅.1.2)猪如果令攻，則當偏時，电。所以(3怎.1.2)夕式可改寫成谎(3督.1.3)阔定義仇3搬.1.1览切線的斜率疫設铅為函數贿圖形上的一他點，則通過逆P鱼點之切線的领斜率為北Maple凯的张stude井nt蜻程式庫裡提焰供了葵showt面angen烫t龄指令，用來霜繪製函數於律某一點之切讲線。它的用谣法與選項與革plot穗指令相似，肺但需額外指骗定所欲繪製司切線之點。姻讀者必須注菊意，在使用考showt理angen学t侧指令之前，减必須先載入衔stude虑nt探程式庫。猜showt头angen寄t(f(x踢),x=我x0岸,x=帆x1放..掩x2锅,淋optio诵ns柳)包以子optio篮ns椅為選項，範邀圍取帐，繪出切拆於衬的切線巷【例題兆喜】試求切们圖形於點鞭之切線的斜剥率。躁【解】因饲，炼，由定義乏富拒可知，芬啦故可知通過块點伪之切線斜率鸭為2。犯現在再嚐試霸利用sho淋wtang崇ent指令剃來繪出此條辰切線，並由仆圖上來驗證专所得之斜率缓的正確性。菌載入箭stude骡nt班繪圖程式庫碰。并>wit壮h(stu伏dent)膏:阀繪出通過萄之切線，並逗指定繪圖的挥比例為舰1:1驻。由圖中約椅略可見切線锯的斜率為床2莲，剛好符合胳本題的計算勉結果。炎>泥showt纽angen惨t(x^2敏,x=1,示x=0..为2,夏>诞y=0..原2,sca脂ling=纱const费raine死d);寸繪製函數的丽切線，除了浓使用sho赤wtang叶ent指令叉之外，也可绞以利用割線夫的繪圖來一介步步的逼近责切線，如此奴更可說明了贤函數圖形之毯切線於幾何腥上的意義。傅接下來以函壳數娇為範例來做掩說明。首先这於函數圖形色上取励P鞋、府Q芬兩點，求出可通過揪P顷、应Q迈兩點之直線慨方程式並做拥圖，然後將床Q朵點往梦P扬點移動，看盈看通過尾P认、盟Q套兩點的直線默會有什麼變劣化。术載入汗plo臂ts残與糠stude属nt遗繪圖程式庫懒。养>wit老h(plo挤ts):奥>wit恰h(stu派dent)巷:枝定義虏。等>f:=热x->-(势x-3)^肥2+9;谎繪出帝的圖形，由征圖中可見其抚圖形為一開花口向下的拋鬼物線。于>plo好t(f(x皱),x=0毛..6);柏設定落P恋為蜓圖形上的一究點，其坐標蓝為蹈。枪>P:=辅[1,f托(1)];赖設定跳Q楚為芹圖形上的另轿一點，其坐倚標為壁。嘴>Q:=阶[3,f(拔3)];浑利用考stude围nt型程式庫裡的吊slope两指令計算連缩接敌P桨、埋Q品兩點之直線葛的斜率，得裤到斜率為妥2旱。州>m:=旋slope时(P,Q)破;壁利用點斜式逢，可以求出辞通過普P来、射Q役兩點的直線路方程式為捉。您>eqn愈:=f(1拳)+m*(将x-1);耐繪出庆的圖形，並疏把圖形設給虫變數劝g1抽。注意在指蚀令之後加上已冒號，目的偿在不顯示任婶何輸出，但芽會執行運算贯。黄>g1:眨=plot供(f(x)袄,x=0.字.6):垄繪出通過君P印、浙Q慢兩點的直線致與撤的函數圖。唤很明顯的，瓶直線交器於匆與般兩點，由此在可驗證所求芒的直線方程恋式正確無誤肠。捡>dis焦play(岩plot(习eqn,x才=0..6妹,圾>y=0衫..10)象,g1);判現在把勿Q休點移近禾P巨點，取妹。灾>Q:=伐[2,f(狠2)];棉計算过P智、哥Q绵兩點連線的夕斜率，得到园斜率為3。船>m:=班slope治(P,Q)布;绵這是通過丝P嗓、惕Q科兩點之直線考方程式。睡>eqn尼:=f(1贤)+m*(突x-1);朝繪出通過央P请、姥Q钟兩點的直線毁與正的圖形。由阴圖中可看出川直線交略於殿與梢兩點。访>dis慨play(桐plot(汽eqn,x瑞=0..6昂,渠>y=0壶..10)微,g1);应接下來，再膏將工Q梦點往左移，华令仿。剪>Q:=汽[1.1,升f(1.1远)];牺計算得恭P为、它Q既兩點連線的详斜率為氏3.9优。蓝>m:=核sl煌ope(P玉,Q);原這是通過滤P灰、事Q疲兩點之直線滚方程式。砍>eqn轮:=f(1蝇)+m*(洽x-1);局繪出熔與通過馆P舞、嗽Q希兩點的直線挪圖。由圖中绢可觀察到惑P役、小Q义兩點的連線淋近似一條切浇於朽P测點的切線。球>dis然play(桂plot(作eqn,x炮=0..6产,伯>y=0阻..10)休,g1);饱最後，取帜。直覺上，待現在的债Q径點相當接近喇於宴P订點。帖>Q:=女[1.穷01,f(弯1.01)梦];病P堪、宰Q万兩點連線的波斜率為紧3.9防9。綜觀上缺面的計算，甜若把辨Q础點越往死P抗點移動，其冻連線的斜率奇越接近4捉.0什。芹>slo慰pe(P,塌Q);允這是利用定河義临奇來求切線斜蝴率的數學式响。阅>Lim攻it((f苏(x+h)炼-f(x)誉)/h,h骡=0);柳用退value否指令來對上据式求值，可缸得斜率之函焦數為闷。序>L:=银value丰(%);芬因电P罪點的雄x拥坐標為1，宾故可找出當认時，切爹於雪P促點的切線斜纪率為棋4虑。此值與先勾前的預測頗刺為吻合。延>eva输l(L,x照=1);器事實上，利奖用(烈武)式亦可求姥出相同的結饱果。右式是哈以(带据)式所求出设的數學式。债>Lim戏it((f蚀(x)-f蕉(x0))店/(x-x付0),x0首=x);垫用搬value舰指令求值，睛可得相同的穷答案。各>val滚ue(%)欢;木showt蛮angen灵t指令可以继更快速的繪帖出函數於某栏點的切線。油右圖顯示直漂線切函數於种(1,5顶)姻。敌>sho轻wtang斤ent(f悔(x),x蓝=1,x=粪0..6,务>y=0欲..10)懒;仆本例已經求地出斜率的函回數為盗，而有趣的朋是，在哪一李點斜率會是铸零？還有，贴斜率為零的留點會有哪些吃特性？接下控來將初淺的宴探討這兩個师問題。验solve饮指令可求得例於返時，斜率為毅0。围>sol下ve(-2竭*x+6=耐0,x);循繪出切材於愧的切線與函纱數圖。由圖垦中可看出，炭斜率為0之梁點正是函數阻的極大值。老>sho句wtang泥ent(f血(x),x饼=3,x=必0..6,流蛋>y=0侍..10)钩;县，故可知乓的極大值為痛9饿。贵>f(3砖);终用固stude姜nt嫩程式庫裡的伸maxim抓ize聪指令來驗證没，亦可得到弄相同的極大喉值。辛>max宣imize且(f(x)攀,x);挂由上面的討意論可觀察到伏，函數的極皇值讽(extr纹ema蛛，意指極大群或極小值火)富可能位於函纳數斜率為零虫之處，這是纱一個重要的剧觀念，關於间這個部分留锦到驰4.蹦2節再做詳渴細的介紹，充目前讀者僅发需要知道於堪幾何上有這伸項性質即可嗽。迹紫恰導函數與導误數钞如果刪掉定愧義弓欣中伸x到的下標，即基可得到微積挤分學裡一個攀重要的函數执--導函數并(deri灰vativ妙e)匹。而拳的導函數之阵物理意義，窃即是寇之切線的斜峰率函數。踢定義拳3稀.1.御2既導函數竭函數扶的導函數定盟義為贺，迟而晚的定義域為努使得該極限逼存在的所有吩x众所組成映求導函數的盖過程稱為微过分鸭(diff冒erent仇iate)剖，而其方法匪則稱為微分坡法。通常以凯或绿來代表微分恨運算子豪(diff愉erent精ialo咱perat次or)僻，因此冲。销【例題植3.1.输2】設晨，試依導函大數的定義式圣來計算宰。【解】亮漠刚(待展開平方項感)看甜昂钻肚孟姨笑(凤消去相同的略項届)(約去h)赖雖然於例題肥3.1.姐2中，導函醒數的計算頗过為煩瑣，然聋而大多數的纲導函數公式伸卻是經由這危個推導過程侍而得的。導色函數的計算举公式留於病3.2过節再做討論惭，在此先看走看如何利用炎Maple些模仿例題姻3.1.塘2的步驟來援計算導函數宫。禾定義色。淡>f:=巾x->x^弟2+3*x允-4;屋計算闪。糠注意后Maple夜已做了少量恩的化簡，再闲輸出右式。仙>Lim撞it((f斤(x+h)兰-f(x)衡)/h,h销=0);余用速expan沃d狡指令展開上子式，可化簡等得戒。式>exp递and(%碰);奔value羊計算得上式块的極限值為豆，與例題醉3.1.线2所得的答戚案相同。洗>val掌ue(%)遮;多【例題磁3.1.降3】設唇，試依導函幕數的定義式塞來計算疏。【解】舱鞋矛压(通分墓)故(芬約去亡h敲並化簡研)(約去h)梅函數的極值飘是導函數的舞一個有趣的桑應用。於立汪節已提過，念導函數即代界表切線的斜盐率，而函數圣的極值則可启能挺(捧但不一定)洞位於切線斜键率為零之處嗓。下面的範堤例說明了如卷何利用導函怀數來求解方威程式的極值。按定義派。略>f:=绘x->x^仍3+x^2总-3*x+肠2;桶繪出搅的函數圖。热由圖中可看优出钢有兩個斜率保為零之處，攻而這兩個位慨置也就是函寿數極值之所扒在。它們約耽略位於机與坟。凶於數學上，罪這兩個極值彩稱為區域極战值钢(loca宪lext绪rema)怒或相對極值怜(real吩tive企extre皱ma)射，有別於全搭域極值膀(glob赵alex危terma株)练，因為它們茧並不是整個置函數的極值粘。础>plo适t(f(x凤),x=-丙3..2)望;云利用定義盗商來求竟的導函數。爆>Lim流it((f赏(x+h)匆-f(x)伐)/h,h趋=0);煤用撕value逃指令求解上胡式，可解得董導函數為式，這個函數输也就是骡之切線斜率寒的函數。家>val承ue(%)踏;展定義撒為商的導函數。营>fp:牌=unap公ply(%必,x);党繪出窃與虚的函數圖。替讀者可以發滔現俯為三次曲線朱，而个為二次曲線感。此外，於党函數匹相對極值的讽點其對應的眼斜率晋(仔即爬的值径)至均為零。行>plo染t([f先(x),f耳p(x)]材,x=-3原..2,y市=-7..钳8);应用辽fsolv悦e虏指令可以解雄得斜率為零三之處的數值卡解。沈>sol肆:=fso要lve(f笑p(x)=蚀0,{x}务);勉將所求得的芝解代入县中，解得相颠對極大值為颈5.416黑，而相對極赌小值為像0.731目。您可以與嫁上圖比對看弦看這兩個值校是否與圖形怕吻合。钉>map缠(subs立,[sol笼],f(x城));披函數患的導函數液本身亦為一劫函數，而導刷函數逃上的某個點肚的值都則稱為導數评，下面說明邀了導數的定续義。农定義脆3怪.1.盈3却導數慈函數巡在呀的導數記為来，亦即狱若函數能在是的導數识存在，亦即霜(3.1轨.4)圣則稱同f睬在喘可微分鸟(diff储erent颜iable毫)瘦。若努於定義域內柿的每一點皆例可微分，則保函數痛稱為可微分颤函數咳(diff菊erent浇iable予funct口ion)棚。一般而言阁，若请f凑在浴可微分，則没必可繪出一队條通過般點的切線。避這也意味著墙此切線於幸不能有斷裂井，或者是不毅連續的情況印發生。澡【例題饼3.1.谅4】試討論攀(a)瑞，(乖b)馒於蝶的可微分性晋。锻【解】壳(绝a菌)肆因為守步當悄時吹為一定值，镜故乡於骆為可微分。轿事實上，因虑為平滑且連伍續，所以一当定可以找到区一切線切函壁數於任意點漏，故束處處可微分拍。油哀(b)墓當摸時，过(試驗證之月!!纤)奖因驴於拉時並不存在缸，故窗於伙不可微分。桐一般而言，瓶函數锋於崖不可微分通淹常發生於下趋面三種情況姿：才函數的圖形谦於傍為一尖角或伐折點。斩函數於乖不連續(帜斷點缴)踪。焰函數於霸的切線為一敞垂直線迎(凡斜率為淹)歇。犹下面的範例售分別探討了筋這幾種常見今的情況。盯利用pie屿cewis肿e亲指令暖定義菜。抱>f:=会x->pi将ecewi设se(x<纲=2,把>神-(2-x太)^(1/表3)+1,岩x>2,(凑x-2)^近(1/3)今+1);补繪出更的函數圖。岸由圖中隱約峰可見於籍之處，函數耕切線的斜率展為一垂直線帆。臂>p暖lot(f宾(x),x米=0..4饱,y=-0棉.5..2盟.5);邮計算如於帮的右極限與工左極限，二禽者均得到1版，故可知闲於膊連續。稻>lim形it(f(桥x),x=瘦2,lef如t),王>菠limit向(f(x)纺,x=2,勾right鲁);奏依定義府口來計算厦，其值為無葵限大，故闻並不存在，纲所以劫於认不可微分。岛>lim危it((f容(2+h)懒-f(2)老)/h,h泊=0);旦定義喉。蔬>g:=雁x->5-冠abs(x级^2-4)熊;苍繪出眨的函數圖。番由圖中可看省出於岛之處圖形有先一尖點存在王，因而可預示測岭於弦不可微分。替>plo堡t(g(x资),x=0牲..4);长於爆的雙邊極限贝存在，故可原知颈於此處連續倡。槽>lim业it(g(愉x),x=琴2);屿依稻(3.刮1融.4)夫式來測試掠是否存在，贝計算得颗。饿>lim颈it((g柱(2+h)撒-g(2)喘)/h,h讨=0,le杜ft);旗。因左右極秧限不相等，稳故可知凑並不存在。坦>lim闭it((g勉(2+h)味-g(2)井)/h,h牲=0,ri新ght);缓直接以定義挪逗來求丝，冬Maple奴回應汽undef格ined汗，故可知惭於垦並沒有定義兆，亦即不存肯在。篇>lim崖it((g注(2+h)雨-g(2)坐)/h,h汁=0);局定義陪。闯>p:=滩x->pi岂ecewi皮se(x<伴=1,x^券2+1,x港>1,滔>2*x栏);光繪出弯的函數圖。宵雖然欧為一片段函悔數，但右圖攻中顯示於需之處既連續响，且無尖角晃、折角，或悲者是跳躍的刃情形發生，海故可預測割於壮之處可微分捧。吗>plo拿t(p(x焰),x=-绿2..3)贵;庭，因為雙邊女極限存在，胜故可知祝於阅之處可微分秤。汇>lim排it((p中(1+h)衰-p(1)灿)/h,h越=1);阴定義消。剪>q:=畏x->pi叼ecewi导se(x<铅=1,x治^2-2,挂x>1,雄>x-2箩);纷繪出架的函數圖。术雖然胀於座之處為連續动，但於此處毁有折角發生肌，故可預測瞎於己之處不可微淡分。高>plo苗t(q(x脂),x=-贝2..4)没;萍因雙邊極限姻並不存在，活故可知简也不存在，隔因而责於扎之處不可微俭分。深>lim捞it((q雷(1+h)馅-q(1)业)/h,h砖=0);答由上面的討续論可知，函掏數於某一點坟為可微分巷(diff饶erent尸iable少)匹的必要條件浸之一為--广函數於該點赵必須要連續彻(cont言inuou晴s)布。事實上，申函數的連續屡性與是否可傍微分有著密恰切的關係，贞下面的定理联說明了這兩穴者的關係。秒定理蛛3鼓.1.掏1泪可微分與連岂續烤若函數魔在似為可微分，错則轰在书連續。局因此由定理缺3左.1.哲1可知，若忧在粱可微分，則辽在关連續，但此妖定理反過來预並不成立，受亦即若虹在版連續，則生在粮並不一定可副微分。事實精上，前面的音幾個範例已船說明了這個手事實，讀者武可由這些範淘例來做驗證颜。绸習題倾3嚷.1索於習題俗1~6败中，依導函浇數的定義式堡來求膛。鹊1除.明锈盾敞多稼奔2.蛇3.畅粉亦效果秆耽4.询5抹.拾易清污夜拢述其6.袄於習題陈7~9堵中，給予一贸函數鬼f录與函數圖形存上的一點惠p索，試計算洪f似於丝p怒點之切線斜稻率。来7.种;符於點商。矛8.垮;易於點趣。支9.欢;必於點铃。休10.许考慮下面的问函數圖。xxy剂(1)朋於江，哪一個函斩數的導函數牌之值較大孝?塌(2)趋於愧，哪一個函怖數的導函數盖之值較大耀?援11.日若烧，是否意味孙著携必須成立?声為什麼反?裙12.辩試以幾何上墨的觀點來說保明為什麼幼於串的導函數不览存在悟?很3篇.勺2導函數播的求法欢於上節中，镜已介紹了如顾何以導函數炉的定義式伪(3.2.教1)芬來求得函數骗的微分。但爽因其計算的额過程頗為煩据瑣，故許多测微分法則也泳就相繼發展鞭而出。本節娃將介紹一些截微分的基本窑公式，以方腿便導函數的店計算。限於待篇幅的關係刘，本書並無闹法對每一個叶定理都詳加赞證明，有興粒趣的讀者可因以參考相關榴的微積分書种籍。状定理椅3单.墙2枣.1诱常數的微乘分為零草設格為一常數函结數，則爷定理开3去.但2罗.1茄的證明並不巷難，把猎代入氏(3.2.娃1)泪中，可得寻故可得證。樱以幾何的觀桃點來看，常南數函數的圖押形為一水平第線，無論位兆於何處，其种切線的斜率榨均為零，故徒也可由此推母測常數函數迁的導函數為互0。服定理短3略.你2要.2扰乘冪律(塞power目rule降)浅若势n储為正整數，提則筝雖然於定理扒胸中，指數吨n菜為正整數，顾但事實上，脉n役為實數時，玩本定理亦成霜立。极定理没3允.蹲2急.2泡可以利用二外項式公式督(招呆)罪來證明。令桐，則狼消去分子與摆分母中的共哨同因子释h裁，於括號內洁除了第一項澡之外，每一喝項均含有那h笋。當惑時這些項的暖極限值均為净0，故可得惩(3.2.化3)微利用悠Maple并的确limit朝指令也可以防驗證這個結乖果：哭定義誉。愉>f:=善x->x^决n;当這是求解導网函數的公式捐。齿>Lim巾it((f蜡(x+h)励-f(x)登)/h,h帆=0);圆利用糖value袭指令求解極价限值並化簡乞之，可得與夏定理撞娱相同的結果除。疾>sim蛛plify比(valu哥e(%))蔬;坊定理劲3挂.尘2沃.阔3劳常數與函散數相乘之微丙分嘉若荡c怀為一常數，袖且杆f言為可微分函忍數，則终cf霞亦為可微挂分函數，且瞒扮定理牺3甲.兵2抚.待3可以直接烛將恰代入定義足(3.2.报1)友中來驗證明铃。蜡定理眼3华.剩2庄.城4而和與差的公伟式饶若搁f锄與旱g杆為可微分函躁數，則左，椅定理大驶說明了函數乎之和或差的挑導函數，等形於各別函數疲之導函數的久和或差。速【例題秘溉】覆試求控的導函數香。兔【解】屠彻脉价刻(定理号3.祝2从.拼4邮)接谋任产屯(定理怕3.呆2音.艳1、骆3.厅2英.低3播)单槽狼肥牛(定理颗3.庙2端.次2国)抚魔現在利用崭Maple血來驗證所求心得的結果：倒定義版。境>f:=概x->6*高x^3-4泡*x+3;饰利用(象夫)年式，可求得警與先前之計荡算相同的答园案。响>lim微it((f耽(x+h)译-f(x)判)/h,h凭=0睁);敢【例題剧爷】曲設火，試求通過草f侦上之一點皇的切線方程认式。偿【解】厕加因劫代表函數圖投形之切線斜彩率，故只要蓬計算出宏，即可利用沙點斜式來求正出通過點贺的切線方程她式。依定理套3.省2托.2馒，可得搏郊因此，當懂時，函數圖膊形之切線斜纷率责m工為畅由點斜式止，可得切線闻方程式為汗現在，以举

Mapl盛e累來驗證上面锄的計算過程烂：柜定義漆。毒>f:=扫x->x^刃(1/3)文;脑由(铲臂)驳式可求得弯。涂>lim私it((f秤(x+h)慎-f(x)更)/h,h酸=0)找;驼將硬代入云，可求得挖，故可知於域時，函數圖嘉形之切線斜籍率為逗。臭>sub抢s(x=1驴,%);辞由點斜式可苍知切線方程熊式為趟。午>y:=页1+(x-屯1)/3;帝繪出序的圖形與切研線的圖形。竭由圖中可看郊出切線切函妹數圖形於独這點，故可兔驗證計算的素正確性。维>plo喝t([f(乓x),y]智,x=0.智.4);尊值得注意的臂是，函數乘角積或商的導瑞函數並不等愚於各別函數揪之導函數的柜商或和。下京面的定理列练出了函數乘喷積與商之導顽函數之公式遗，相關的證耐明可以參考齐本節的習題胆。萌定理苏3历.躲2秃.盐5腥積的公式燥(prod畜uctr不ule)炒若博f爪與掘g诉皆為可微分扫函數，則赞定理鸭3伤.尖2碑.6今商的公式碍(qu包otien傻trul抬e)诚若竹f舰與磨g鬼皆為可微分后函數，且孝，則墓【例題尊3.2.乌3】减設车，試求肥。热【解】伸支谢绒(定理撞3.含2洗.厨6兽)稠寿肉冠烤分铜恨抽夏(1)类仍接下來，利吩用工Maple养以導函數的阶定義式來驗殊證所求得的榜結果。磁定義幕。因>蛾f树:=x->镰(x-2)辰/(x^2灵-1);狡以衫吨式求導函數主，Mapl忌e回應與御(1)延式相同的結津果。顾>快l善imit(皇(任f符(x+h)竭-尺f裳(x))/虽h,h=0刑);趟到目前為止谦，本書均以莫導函數的定贱義式來要求粘Maple椒計算函數的况導函數。事毫實上，洁Maple冶的內建指令那diff东提供了更方牧便的方法來索計算微分，两於下節裡，倘我們將介紹洁它的使用方裹法與技巧，狗讀者更能藉款此瞭解招Maple累在符號運算烧上的潛能，篮以及它所帶散來的便利性师。栗習題吸3谱.2拢於習題哀1~6副中，試計算返各式的導函个數。流1.播找牺谱晓咬稠2.度3.垦诊慰洞亡符4.卷5.添斑亮削呈下6.幅7.债設念，試求出切绵f黑於底的切線方程完式。套8.咳試以導函數岔的定義式偷(3.2.裳1)佛來導出積的颗公式盼9.元試以定理朽茂來證明定理疯需。(提示：或可以寫成轿)。桃10.脏如果饱，這個關係烛是否意味著歇?試解釋之乏。哲3惯.衣3最Maple趁的微分指令到Maple焦提供了微分征指令秘diff驼與微分運算嚷子费D滚來處理函數注的微分。锻dif击f太是用來計算吹函數的微分乘，而情D暑則是針對函摄數運算子所茂設計，用以童求出運算子絮的微分式。死以下兩個小欢節分別介紹农這兩個微分响指令。霜鞭加微分指令膀diff徒Maple春以斜diff芳來計算函數饮的微分。露diff菌可以把一函厉數對單一變羽數微分，或忽者是對多個闸變數微分。亏而梢Diff糊指令則保留粒了微分的原临式，而不對舌微分式求值抓。省diff扫(童f嗓(额x),x巧)吧或类diff(盘f(x),牛[x])似計算微分式啦Diff胞(袋f抖(姑x),x析)俭保留微分的鹊原式，不對拆微分式求值拨Maple健的微分指令蛛計算猎。侮>dif采f(x^3浮,x);犯計算匙。泊>dif景f((x-隐2)/(x劣^2-1)哈,x);种除了指定的当變數之外，霉Maple片視其它的符证號為常數。衫於此例中，坊指定直x谋為變數，而缝a及,孟b窜與碍c堂均為常數。齐>dif胡f(a*x形^2+b*攻x+c,x渡);刺Diff班指令挑(逗以大寫的凉D流開頭摆)构有別於蹲diff恢指令，支Diff慈並不對微分康式求值，而烛只會回應所垒輸入的微分报式。如果想沉求出微分式仇的值，可以这使用请val怎ue妖指令來達成摔。此外，數令學上慣用以帆來表示單變述數函數驼f妨對虾x聋微分。若女f美為多變數函示數，則習慣范上以忘來表示输f库對离x桨的偏微分奇(part溉iald廊iffer形entia填tion侧)。值得注汇意的是，靠Maple拣的輸出是以问較廣義的偏里微分符號酬來取代慣用色的悬。皱Diff弹以標準的數陵學式來顯示购所輸入的微教分指令。於府數學上，慣睡用岩來代表對單寇變數函數做光微分，但去Maple医則以偏微分楼符號暂來表示所有燕的微分式。贷>Dif穷f(x^2舍+b*x,络x);况用右式的語叛法，可以建匪構一個完整景的數學式。你>Dif运f(x^2果+b*x,驾x)=di秩ff(x^逃2+b*x纹,x);截微分毒。讀者可以倒注意到，函阻數和的微分旗等於微分的返和。碗>dif畅f((f+唤g)(x)士,x);狗這是微分的伟乘法公式。魄>dif痒f((f*猴g)(x)要,x);阵這是微分的牧除法公式。蝇>dif胡f((f/敲g)(x)狮,x);网norma郊l梨指令則可以胡把兩個分式猛合併成一個除分式。您可贸以對照一下指，右式正是造定理涨唯的公式。惭>nor过mal(%特);伍3产.3.2身微分運算子怀D()掩在介紹微分栏運算子之前巩，讀者必須矮先瞭解务Maple刻的函數運算戏子(僻funct转ional烛oper给ator)救。董Maple茧的內建函數毕如眼sin思、促cos舟、虑abs皱與纹sqrt方等皆為函數肯運算子，而套函數運算子末加上引數旨(县如滨、漏...应等霉)倍即成為一個愁標準的函數跪，如圖堪3.3.后1所示。sin(x)sin(x)函數運算子引數sin為內建的函數運算子圖函數運算子與其引數的關係偏函數運算子押加上引數即为成為一個標予準的函數。胸>(si精n+sqr葬t)(x)结;党如果於液Maple熊裡自定一個召函數斑，其語法為域f:=x-令>2*x+他3哪則其中的雷x->2*胳x+3殊即為自定的芬函數運算子蛇。德因自定的函搂數運算子通化常頗為冗長漂且不易記憶破，故習慣上脏，常會把它饰設給一個變蜘數(如讨f:=x-孟>2*x+般3)要，而以這個球變數來代表捷這一整個函册數運算子。菜圖略3.3.针2狐說明了函數辰運算子與其月引數的關係夏。f(6)f(6)函數運算子引數f:=x->2*x+3函數運算子設定f為函數運算子利用函數運算子來計算圖3.3.2自定的函數運算子與其引數的關係荒x->2*未x+3是一壮個函數運算站子。呀>x->挨2*x+3耻;把在函數運算卖子之後加上锈一個引數，况Maple谦即可求得其村函數值。放>(x-蹦>2*x+千3)(4)烤;隐設定朱f滨為函數運算鄙子x->2革*x+3。梅>f:=缘x->2*来x+3;办利用所定義所的函數運算贯子來計算尸的值。於此申例中，讀者螺可以發現桑f供與雁sin路兩個函數運奉算子實有異碰曲同工之妙缴。哗>f(4戒),sin年(P嘴i);絮熟悉了跌Maple膜的函數運算暖子之後，再形來看看微分割運算子息D遇。勺Maple丧的微分運算途子係針對函叠數運算子所六設計，給予丢一函數運算巾子，微分運对算子费D字即可求出這悄個運算子的秀微分式。因温此，容D级是用在計算衬函數運算子忌的微分，而勉diff利則是用來計丛算數學運算估式的微分。拘由此可知，烦diff汤的運算結果喜是一個運算从式，而积D罩的運算結果寄則是一個運志算子。逼D喉(盟f险)拆求函數運算坡子凶f性的一階微分养運算子浮微分運算子莲D()座接下來的範屑例介紹了微证分運算子的运各種用法，侄其中有部份颈的範例取材泰於三角函數律的微分，這神個部分的微省分理論很快洒的於下節中捷便會介紹，顺但讀者可以供先參考一下甘微分運算子迎D()酷的用法。计sin味為豪Maple唯的一個內建顾函數運算子屠，微分此一址運算子可得歉cos锯，而畏cos少本身也是一塞個函數運算永子。再>D(s殿in);捉diff留則是用來計当算數學式的味微分。偷>dif昨f(sin枕(x),x秤);柿D(sin缠)回應仓cos贩，故D(s驰in)(x展)回應菠。屋>D(s希in)(x故);压同時對數個罢函數運算子震的組合微分裁。注意其結你果是一組函殃數運算子。赵>D(s彼in+co际s+sqr后t)促;潜函數運算子贷加上引數即共成一般的數言學表示式。显>D(s朝in+co所s+sqr细t)(x)剧;姓D张指令不僅可定以用在省Maple咸的內建函數玩運算子，同纱時也可以用绘在自定的函楚數運算子，镰其用與上面柳的幾個例子鄙相同於。米定義一函數桨運算子壁f笨。盐>f:=桑x->x^铸3+x+1画;易的結果亦為旅一函數運算栗子。於右邊链的範例中，读我們把運算秀結果設給另页一變數嫂g后。恰>g:=卷D(f);内求挣的值，得到龙在信時的導數。亩>g(k乐);扁計算房。货>D(f底+g)(x蛇);陶計算归於胃時的導數。咳>D(f滑*g)(1掌);南除去蛛f积與速g颂的定義。园>una南ssign三(f,g)僚;抱因叠f拖並沒有任何乘定義，故汗回應原式。匹>D(f环);障這是函數運恒算子的一階撑微分，並於邻零這一點求刻值。此式相应當於窗。但>D(f蜡)(0);各此式相當於潜。侍>D(f裂)(x);率利用雁conve揭rt已指令可以將穴微分運算子燕的表示式轉鉴換成傳統的桂數學表示式计。晋>con垫vert(团%,dif今f);双D(sin厉)得蜓cos块，而销cos(0仔)=1瑞。变>D(s医in)(0挖);答習題法3钩.3盼於習題勉1~8淹中，試以哗Maple慕的粘diff蚊指令計算各告式。妈1摔.胸吩午挑湾目玻亲2.祸3.膛明辉样周稳究4.煮5.须惧处引仇劳彻不撇6.咽7.孟是霜帜解讲爬览8.课9.孟試以虽Maple异的微分運算芹子肥D惑來計算習題坟1~8屈，並驗證所零得的結果是哑否相同。享於習題宋10~12寿中，試以哈Maple渣的微分運算脚子鞋D爸來計算各式智。梦10.竟，求夫。伐11.虾，求洒。刻12.凡，求派。发13.炊設骆。钞(1)简試繪出选的圖形，範跳圍取知。垃(倾2献)答繪出窗的圖形，範蚁圍取锁。错(3)队的點約位於砍何處艰?生試由所繪的箭圖形來說明慌。搏(爹4)兽試以腿solve名指令求出竟所有的解，柱並由函數圖巨形來驗証所产求得的答案敬。富(相5)剑的最高點與赵最低點約位险於何處夫?歌試由函數喇的圖形來說攻明。将(6)械於秆的最高點與丝最低點之處任，莲的值為何革?脸試由函數难的圖形來說垄明。或3祝.4汉三角函數左的導函數译本節將探討带如何計算三猛角函數的導乌函數，而於级推導的過程银中，所有的息角度均以弳颠度為單位。恶附錄疤E灿附有三角函际數簡單的複盛習，有需要击的讀者可逕紧行參考。於穗本節一開始肆先來推導末的導函數，较其它三角函崭數的導函數谎均可藉由诚的導函數與析微分的基本辣公式來導出徒。由導函數掩的定義，两柄谈惜娇劫阶(導函數的铺定義倒)秤惨权雀禾(它將倒展開废)泡扑衬印(糕提出歪與跨)厌(矩爆)稍後將證明买與埋(贵3.4.拿2蝇)底故(辟灰)刑式可以化簡签成貌(歼3.4.诉3惰)砍的導函數可铃仿照上例，肝由(香3.4.怜2袖)谨式，可得普淡债未苏雁旋好观临邻色(原3.4.箱4秋)搅的導函數可具由壳(3.4.素3)潮與坟(3.4.宝4)猴式來推導而婚得：於是，可得钞(文3.4.壳5恭)恶其它三角函添數的導函數份之證明將留霉做習題：妄臭材钻铁合旗榜宗辣底愁诸(驾3.4.禁6嚼)换足笼房今柴傍钻肠匙差寻呜(且3.4.眯7葡)轰行液斗胶勾黑咽始盟向抹谎(扒3.4.烧8从)域定理仗3浑.珠4变.1抚窑(骨a)觉勒(b)贡定理右3尝.昏4揭.1递的證明頗粪為有趣，以秧下先證出赖(a)碗的部份，而血(b)嘱的證明則留绝做習題。如原圖职她所示，先於蠢紙上繪一個傻半徑為1的蛙四分之一圓正，並交心x伍軸於伍A显點。繪一線朋段选交圓於由B串點，而跃垂直於督x晃軸。xxyCBAOh半徑r=1圖定理3.4.1(a)的證明酒由圖中可看蒸出娃OAB香的面積嚷扇形山OAB神的面積垫OAC听的面積铺因三角形面逐積為底乘高脆除二，而扇锋形面積為必，其中优r致為半徑，殊為角度。所佣以并OAB砖的面積谱魂，上扇形毫OAB闭的面積形，织OAC衫的面積用故可得士將上式同乘嚷，再取倒數得，可得谱(3.4叫.9)很(3.4悬.9)龟式係在盐的區間內所桶推導而得，川事實上，在鸟區間內，萝(3.4.设9)茫式亦成立，挡因為當昼時，怜，故由夾擊导定理可推得桥(3.4冰.开10天)狮定理争3帜.吧4悟.1虏(岁b帅)式的證明饲可由境(3.4.赤10狮)破推導而得，伴這個部分留曾做習題。有允趣的是，如恭果把境(3.4.举9)铜的每一個函扒數繪於拾的範圍內，绢則更可以了窑解夾擊定理再所表現的真候實意義：杀繪出冈與1纠

答的函數圖。探圖中顯示最购頂端的水平脾線為帐，而最底端极的曲線為兰，而坚的圖形則被语"纯夾擊"在幅1非與盖之間。由圖哭中可看出當宇時，由。贵>plo宇t([co储s(h),赚sin(h脸)/h,1立],结>阴h=-Pi冬/2..P禾i/2,y算=0.4.栽.1.2)浅;沸接下來，再庙來看幾個翅Maple尿計算三角函歪數之導函數造的範例。更這是饱的定義式。绿>Lim嚷it((s暖in(x+巧h)-si卸n(x))窄/h,h=修0);件利用页value巡求值，得到亮。肌>val剪ue(%)此;须直接以捉diff碑指令計算卷。优>dif哈f(sin涝(x),x担);斧以微分運算杨子慧D你也可以求得怕相同的結果和。塞>D(s师in)(x枯);类繪出坊(紅色养)剂與其導函數请(析即历，綠色授)袋的圖形。由运圖中可看出杰於爷的極大值處伤，其導函數乌的值為零，拌相同的，當艺導函數碰的值為極大逗時，幕的值亦為零陷。灭>plo究t([si枕n(x),寇diff(断sin(x旱),x)]萍,绸>x=-膜Pi..2赌*Pi);阿計算年的導函數。辛由三角恆等贴式克，故可知末的導函數亦予可寫成金。奉>Dif吸f(tan厕(x),x亲):%=v觉alue(迫%);城這是角的導函數。勤>Dif愤f(sec序(x),x算):%=v肤alue(掠%);命習題性3扁.4慰於習題度1~3宇中，試導出题各恒等式。1.2.3.猎4.哈試證明熊(脆提示：將原的分子與分卸母同乘绩，經運算後凝再利用驻(冰3气.4.10出)这式來計算誓)置於習題箱5~10杜中，試計算厅各微分式。瘦5侵.鱼6.运7.骗汽烛羊拥连呜8柄.享9.区架10.垃11.迈試求质之圖形在點垮之切線方程该式，並繪圖顿來驗證所求刷得的結果。狸3占.籍5鏈鎖律踪本節將探討弱合成函數蚁(comp厅osite水func己tion)践的微分，而灭合成函數的询微分需要用充到一些小技迹巧。在此先鸦舉一個範例趁來做說明，嚼於前幾節裡程已經學過如辅何微分函數與博那麼，要如档何利用已知腰的微分方法胁，來求得合鼻成函數要的導函數呢级？首先，設，則，於是约(3.5收.1)妄定拉姓屋鲁塘待打盖桥紫贿(3.5转.2)克如果把咽看成是一個雄簡單的除法冤，則超可以改寫成骆蛙肯便楚秋训旗坏询趁察栽朋(3.5往.3)膜將羽(3.5.交1)狡與毫(3.5.杯2)渡式代入周(3.5.截3)动式，可得狱再把狼代入上式里，即可得府如此便可求过得合成函數逆的導函數。自(3.5.扎3)读式所用的微葱分方法稱為集鏈鎖律傍(chai苏nrul斜e)磨，下面的定聚理說明了鏈老鎖律的法則弄。滋定理丝3终.技5笔.1求鏈鎖律同瓜設独g忆在宪x故為可微分，涂且吸f踏在沾為可微分，材則合成函數男在呜x毫為可微分，逆且疗如果設摇且书，塌則定理叛3旧.方5箭.1罗可以改寫成碰(3.5贷.吓4题)袭讀者可以注厦意到，此式阀與么(3.5.钓3)进式相同。裁【例題锯莲】設藏，試求够。败【解】令邮，画，由渐(3.5.糕4)扛式，可得悟有些函數可写能須要用到行兩次，或者跨是兩次以上连的鏈鎖律才傲能求得其導孕函數。下面哭的範例說明锈了這個情形恳。耻【例題扎3.5.浆2】設返，試求早。消【解】怖缺設槽，則麻，所以(a)且要求出上式椅中的泥，必須再用郑一次鏈鎖律痛。設依，泉，於是(b)得將记(b)冠式入踪(a)这中可得域於許多的應畅用中，計算灰的微分可直共接利用廣義狗的乘冪律寇(gene新ralp构ower间rule)慕，此定律的铃敘述如下：满定理思3姐.他5轮.与2廣義的域乘冪律阀算若烘為跟x勒的可微分函钱數，則轿讀者該不難僚發現，事實匠上，廣義的车乘冪律僅是肿鏈鎖律的一那個應用。通鹊常這個定律慧可用來快速偿的計算函數株的導函數。仇例如，切下面為睁Mapl戏e凝應用在鏈鎖启律之計算的槐幾個例子。仿Maple方也是利用鏈习鎖律來計算某合成函數的装導函數。条>dif怀f((x^阅3+6*x欺)^12,规x);鉴計算裤。您可以比杠較右式的結逼果，看看與扩例題昌3.5.剪2的結果是辽否相同。特>dif院f(sin崭(x^2+淹4)^3,喜x);季這是合成函给數场的胸Maple畅表示法，其黄中画為合成函數楚運算子。驼>(f@品g)(x)桐;可對合成函數肯運算子的微丽分。右邊的馆結果可以看忽成侵，亦即拢D(f)那合成腾g卸，再將其結奏果乘上约D(g)顶。出>D(f果@g);凝與上例做比旺較，晶f真即為喉sin蜻，而伶g总則為滩sqrt象。庭D(f)=曲cos镇，眨D(g)=铲1/(2s伟qrt)愧，故条Maple税回應闭cos@s蛾qrt/(上2*sqr疏t)侨。戒>D(s降in@sq换rt);般加上引數則蜂可求得价。迹>D(s士in@sq倒rt)(x糟);健利用君diff眼指令直接對凯微分，也可移以得到相同惕的結果。话>dif欺f(sin疗(sqrt钓(x)),月x);戒習題较3任.5涌於習題隶1~8垦中，計算绝。梅1早.奖沙抓防愉步粒您2.蚀3.盐叨坟愧菌牌惠4.公5.菊典辫乌义暑嘴6.劝7.价香式吸室膛固8.9.設说(1)霉試驗證母為圖形上的把一點。广(贫2设)晒試求出通過悠點帅的切線方程资式，並繪圖歌來驗證所求道得的結果。10.設胞(1)寨試繪出那的圖形。鹊(岂2团)锤試求函數圖寇形上的一點调，使得通過旁p颂的切線與都y仓軸截交於症這點。精11.先大魚吃小魚户，小魚吃小掉蝦為海洋生无態的食物鏈厌。設半y秩為大魚的數胳目，流u穷為小魚的數热目，而壤x蹄為小蝦的數拖目。血(中1)鸡試解釋向、昏與范的涵義。衬(洗2酷)本試以食物鏈独的關係來解瓦釋鍵鎖律木。郑3左.贩6高階導架函數办如果函數族的導函數尺為一可微分坏函數，則考稱為侧f逃的一階導函罚數(蜜first补orde营rder台ivati愉ve)符。如果再把岩微分一次，柜則可記之為距，而函數哑稱為迹f购的二階導函秘數(依seco愤ndor荷derd采eriva猪tive)滥。依此類推夫，可定義衔f汇的三階、四拐階孔…捧導函數：土(3.6健.1)渣(3.6嚼.2)垂氧(3.6港.3)酒挨(3.6近.4)木一般而言，贩的耕n绝階導函數可昆以寫成才，或者是投。例如唯則可以寫成队，或者是闸，而眼的三階導函数數可寫成涨、兴或者是株。蹦【例題表3.鸟6阀.1创】铁試求送的一階、二将階、三階與辰四階導函數份。伯【解】茧颤依领(3.6.暗4)资式，可得姿的高階導函帖數：康因0的導函愤數為零，故泉其餘較高階双的導函數均餐為0。喂栗灿让永面谊【例題锋3.狼6持.孔2】睁試求肆【解】利使用鏈鎖律，，鸟M张aple塞計算二階以千上之導函數秋的指令與一湾階相同，只视是語法稍有罪不同。下表雨列出了慎diff画指令與微分丘運算子允D咽在二階以上慰之導函數的率用法。靠dif辽f恩(谜f忌(支x),x$适n恭)炮或险diff吸(代f略(童x),[x案$n缴)朵])求計算微分式颂(踪D塌@@n)(船f剃)迟計算函數運箭算子禽f恢的亡n超階導函數路遭計算高階導乱函數的指令坝定義密。事>f:=骄x->x*挨sin(x亭);把這是我的定義式。甚>Lim竖it((f源(x+h)榨-f(x)丹)/h,h保=0);穿求出炒，再利用杰unapp护ly肌設定繁。泰>fp:文=unap情ply(v河alue(熄%),x)刃;递這是贡的二階導函客數之定義式状。书>Lim环it((f跑p(x+絮h)-fp芝(x))/签h,h=0怀);碧以秩value征指令即可求信得稼的二階導函牵數，即聚的值。乳>val脾ue(%)秧;询以好diff暂計算柴的值，可以疲得到相同的胞結果。智>dif堡f(f(x冶),x$2诞);示計算於瓣時，叛的二階導數超之值。绪>eva嫂l(%,x亿=P崭i/2);陪利用微分運递算子臭D煮來計算比。睡>(D@纯@2)(f讯)(x);贷以微分運算拥子离D币來計算政的值。提>(D@充@2)(f严)(Pi/夸2);澡計算珠。注意本例跃中所得的答耍案與例題丘3.幕6倘.塞2相同。刮>Dif裂f(sin慈(x)^2省,x$2)服:%=va证lue(%很);铜如果函數劣f尚沒有任何的约定義，則以湖D躲運算子來計蝇算腐f敌的導函數時凯，掠Mapl冤e祖會以特定的除格式來表示犁f烦的導函數。凤移去恶f吸的所有設定堪。艘>una勤ssign续(f);择這是函數運咱算子的二階钢微分式。迫>D(D雕(f));留(D@@2纺)表示函數科運算子的二剖階微分。补>(D@筛@2)(f诉);剧這是函數運繁算子的昏n锄階微分。认>(D@刊@n)(f素);客這是計算函券數運算子的磁一階微分，答再將一階微企分的結果平调方。勇>(D^肠2)(f)岗;避習題快3.6掏於習題缩1~8飞中，試計算氏各微分式。或1弹.蛛脖码袍旁丛柱2.侨3.税弦江列船赏愈的4.赖5.毕脏校翼话慰够盒6.利7.躺膏滥巡圣丸许8.雨9.土設粱，試求柏。冲10.稀設脊。泼(1)熊試繪出狱與桐的圖形。肌(碍2)叛試找出所有上的區間使得胳。移3坝.良7隱微分陶法颈如果方程式蒙無法表示成糟的型式，則伞前幾節所介块紹的微分法渔便不適用，铅因此必須嚐禁試另一種方欢來求得函數水f尺的微分。例半如，考慮方仁程式象(3.7锣.1)缩顯然的，上虫式並無法把袜它表示成蓝的型式。有狭趣的是，要孝如何由竞(3.7.思1)湾來求出掌呢榨?四要解決這個瓦問題，可依智照下面的步音驟來進行：邪摩属(把味(3.7.坝1)吵等號的兩邊第對贿x浊做微分)岩奔喊扩(視输y费為震x事的函數，利咐用定理组欢來微分斯)裳把君當成一個變寿數並求解之唐，即可得集(3.7学.息2级)课以這種方法著求解導函數夹的方法稱為昨隱微分法帖(meth犁odof纹impli廉citd裤iffer难entat例ion袜)。利用狱Maple光的受diff病指令也可以应模仿上面的眠步驟，求出翠(3.7.才1)萍的隱微分。绩設定迫。注意於右西式中，我們演明確的設定撇y询為冰x娃的函數，即斩。宴>eqn讽:=x^2钟+y(x)蝇^3=2*茂x+y(x骨);宅把上面的方睁程式對繁x弓微分，可得胃如右式的微惹分式。讀者凝可以注意到懒，右式中的哨即是本範例涨中所要求的仔隱微分。骆>dif陵f(eqn喷,x);造用体solve碰指令求解念，即得方程变式动的隱微分。且讀者可對照躺(3.7.熄2)佳式，看看是扫不是解出了经相同的結果箩！赞>sol决ve(%,百{diff毫(y(x)旦,x)})嘉;腿【例題框喂】設雷，利用隱微廊分法求效。及【解】坡對衫的兩邊做隱育微分，可得艰於是可以解凑得(1)曾對伸(1)煮式的兩邊再挣做一次隱微吗分，可得(2)柳典將泪(赶1)常式代入(2目)式，得到(3)垒株最後，將原新方程式淡代入疮(3)课式並化簡之弦，可得(4)景利用平Maple含的方diff岁指令也可以彩解出本例中罚的二階隱微猜分：痛定義方程式朱。朝>eqn宏:=x^2肝-4*y(蜜x)^2=混3;停把上式對笨x宇微分，可得恢右式的輸出睛。筋>dif柳f(eqn光,x);严由上式可解费得除。注意此式寿與凤(1)湿式相同。后>sol售1:=so圣lve(%扮,{dif住f(y(x薄),x)}真);鼓把香eqn妄對廊x疯微分兩次可奥得右式。於川右式中，盐已解出，而乱正是本題中旗所要求的解珠。馒>sol觉2:=di仔ff(eq伟n,x$2旦);案由上式解出验。晋>sol送ve(so太l2,di业f喷f(y(x蛛),x$2斜));搬將捎代入上式即婆可解出胳。舌>sub斜s(sol咱1,%);甲利用原方程滴式抱來化簡上式铜，可得最精早簡的式子。遮讀者可以注哭意到，右邊努的輸出與秘(4)起式相同。眨>sim虎plify绑(%,{e酒qn});系事實上，於辛Maple伯的環境裡計刑算隱微分並贯不必像例題夜洁般的複雜，胡Maple恨提供了一個挥簡單的械impli吨citdi资f浮f关指令，可以欲更方便的計避算函數的液n救階隱微分。钢impli和citdi需ff狗(f(x姨,y株)仆=0仆,列y,x京)猪求方程式叠的隱微分棕impli宫citdi胞ff袭(博f(x,y聋)=0蜂,撞y,左x$往n糠)活求籍n漂階隱微分玉Maple百的隱微分指拴令放計算槽的隱微分。束>imp必licit负diff(战x^2+y孤^3=2*移x+y,y蒸,x);剃定義隱函數特。呆>f:=递(x,y)绵->sin众(x*co煌s(y))筒;丢已知函數买，以隱微分梦法求傍。裂>imp飘licit羽diff(臂f(x,y岗)=0,y茄,x);风這是函數仍於半的微分值些(摸斜率德)酒。流>sub孔s({x=蹦3,y=1恩},%);怒以隱微分法项求双。晓>imp喂licit末diff(诚f(x,y歪)=0,y劣,x$2)锤;蠢【例題睁吨】考慮方程弃式提，試以渴Maple须求解下列兩吓個問題：爸(a)止試求出切線州為水平線的俊x饰軸坐標值。具君(鲁b)肃於椒x赌軸的坐標值各為何時，圖掩形之切線為样一垂直線踏?京【解】例首先對方程宗式腥做圖，以求虹得一些幾何晃上的概念。恋因此方程式诸為一隱函數脏，故可利用蹦plots援程式庫裡的微impli贿citpl风ot茄指令來做隱犬函數的繪圖权：颜